第一節 數學、天文學與地圖學
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數學 魏晉南北朝時期，我國湧現了一批優秀的數學家。
劉徽，魏晉時數學家，撰有《九章算術注》和《海島算經》。
《隋書·律曆志》雲：“魏陳留王（曹奂）景元四年（公元263年）劉徽注《九章》。
”劉徽在《九章算術·方田》章圓田術注和《商功》章圓術注裡都提到“晉武庫中有漢時王莽所作銅斛”。
而晉武庫于惠帝元康五年（公元295年）發生火災，“焚累代之寶”（《晉書·惠帝紀》）。
可知劉徽撰《九章算術注》，始于曹魏景元四年，而成于西晉武帝時。
劉徽在《九章算術·方田》章約分術注說道：“物之數量，不可悉全（整數），必以分（分數）言之。
”《少廣》章開方術注說道：“凡開積（正方形面積）為方（方邊），方之自乘當還複其積。
”《方程》章正負術注裡說道：“今兩算（數）得失相反，要令正負以名之。
”他對于抽象的數學概念，都已作了正确的注解，而且說得很透徹。
劉徽還在《九章算術·少廣》章開立圓術注裡算出球體積是球徑立方的十六分之九，指出東漢張衡受着“陰陽奇偶之說”的束縛，“不顧疏密”，以緻把球體積算成是球徑立方的八分之五，錯誤是非常明顯的。
在這個問題上，充分體現了他那種實事求是的唯物主義精神。
《九章算術》圓面積的量法，采用古法的“周三徑一”（&pi＝3），這是不夠精密的。
西漢末，新莽鑄銅斛，從它的銘文，知道銅斛的圓徑是1.4142＋2×0.0095＝1.4332尺，圓面積是1.62方尺。
從圓徑和面積，計算出圓周率約等于4×1.62÷1.43322＝3.1547。
東漢時，張衡著《靈憲》，取為圓周率。
東吳王蕃《渾儀論》取為圓周率。
這些圓周率的近似值，都不夠精密。
劉徽認為舊的割圓率太疏舛，應該“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣”（《九章算術·方田》章圓田術注）。
劉徽從圓内接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數，一直計算到内接正九十六邊形。
由于面積的增大，邊數愈大則内接正多邊形面積愈近于圓面積。
劉徽在實際計算中，采用了來計算圓面積。
而在精密計算中，認為圓面積等于方寸，由此得這個近似分數值，化成十進小數是3.1416，自然是更加精密了。
劉徽雖然隻求到小數後第四位，但他知道可以繼續往下算下去。
劉徽在中國數學史上，可以算作第一個用“極限”的人。
劉徽在《九章算術·少廣》章開方術注中，認為在開平方或開立方不盡時，原來那種用分數來表示奇零部分的方法也并不十分準确，他主張繼續開方下去，“求其微數。
微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。
退之彌下，其分彌細”。
以求得出以十進分數表示平方根或立方根的近似值來。
劉徽在《九章算術注》中還創立了不少新的演算方法，比起舊的演算方法來要簡捷得多。
在西漢時，天文學家為了測量夏至日太陽離地面的高度，創立了兩次測量日影的方法，東漢數學家稱之為重差術。
舉例來說，在南北相距一千裡的兩處地方，各立高八尺的表，夏至日日中量二表的影長，北表影長一尺六寸，南表影長一尺五寸，影長相差一寸。
由此計算夏至日太陽高出地面約為裡。
因為地面是球面，不是平面，用這種方法來測量太陽的高遠，是不會得到正确的答數的。
但是如果用它來測量地面上近距離的目的物的高、深、廣、遠，譬如推算海島的距離，測量高樓的高遠，還是有用處的。
劉徽在《九章算術注》中總結了這種方法，舉出九個例題來說明它的應用，補寫了《重差》一章。
到了唐朝初年，這一章獨立成書，稱為《海島算經》，作為當時官立算學（培養天文、數學人才的學校）的重要教材。
劉徽在數學上的貢獻是很大的。
祖沖之（公元429&mdash500年），字文遠，南朝宋、齊時人，祖籍範陽遒縣（今河北涞源北），祖先流寓江南。
沖之曆仕宋、齊，官至長水校尉。
他是南北朝時代一位傑出的科學家，在天文曆法、數學、機械制造等方面都有重大成就。
在數學方面，他在劉徽的基礎上，“更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數（過剩近似值）三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，數（不足近似術）三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈、二限之間。
密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。
約率：圓徑七，周二十二”（《隋書·律曆志》上）。
他精确地算出圓周率是在3.1415926和3.1415927之間。
他還求得兩個分數值的圓周率，一個是（約等于3.1415927），這一個數比較精密，所以稱為“密率”；另一個是（約等于3.14），這一個數比較粗疏，所以稱為“約率”。
祖沖之是世界上第一個把圓周率的準确數值算到小數點後七位數字的人。
九百多年以後，15世紀時阿拉伯數學家阿爾·卡西（拉丁音al-Kashi）求得的結果方才超過了他的成就。
至于密率，在歐洲直到1573年，德國的奧托（ValenlinusOtto）才重新得到這一數值，這已是一千一百年後的事了。
祖沖之在數學方面的研究成果，記載在他的數學名著《綴術》裡。
這部書到了唐代被列為算學的主要課本之一，學習年限四年，政府舉行數學考試時多從《綴術》中出題，它的重要性可想而知。
可惜到了北宋中期，這部很有價值的科學著作竟失傳了。
祖沖之的兒子祖，生活在南齊和梁朝，也是一位有名的數學家。
顔之推就說：“算術亦是六藝要事，&hellip&hellip江南此學殊少，唯範陽祖精之。
”（《顔氏家訓·雜藝篇》）他首先求出球體積的準确公式
劉徽，魏晉時數學家，撰有《九章算術注》和《海島算經》。
《隋書·律曆志》雲：“魏陳留王（曹奂）景元四年（公元263年）劉徽注《九章》。
”劉徽在《九章算術·方田》章圓田術注和《商功》章圓術注裡都提到“晉武庫中有漢時王莽所作銅斛”。
而晉武庫于惠帝元康五年（公元295年）發生火災，“焚累代之寶”（《晉書·惠帝紀》）。
可知劉徽撰《九章算術注》，始于曹魏景元四年，而成于西晉武帝時。
劉徽在《九章算術·方田》章約分術注說道：“物之數量，不可悉全（整數），必以分（分數）言之。
”《少廣》章開方術注說道：“凡開積（正方形面積）為方（方邊），方之自乘當還複其積。
”《方程》章正負術注裡說道：“今兩算（數）得失相反，要令正負以名之。
”他對于抽象的數學概念，都已作了正确的注解，而且說得很透徹。
劉徽還在《九章算術·少廣》章開立圓術注裡算出球體積是球徑立方的十六分之九，指出東漢張衡受着“陰陽奇偶之說”的束縛，“不顧疏密”，以緻把球體積算成是球徑立方的八分之五，錯誤是非常明顯的。
在這個問題上，充分體現了他那種實事求是的唯物主義精神。
《九章算術》圓面積的量法，采用古法的“周三徑一”（&pi＝3），這是不夠精密的。
西漢末，新莽鑄銅斛，從它的銘文，知道銅斛的圓徑是1.4142＋2×0.0095＝1.4332尺，圓面積是1.62方尺。
從圓徑和面積，計算出圓周率約等于4×1.62÷1.43322＝3.1547。
東漢時，張衡著《靈憲》，取為圓周率。
東吳王蕃《渾儀論》取為圓周率。
這些圓周率的近似值，都不夠精密。
劉徽認為舊的割圓率太疏舛，應該“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣”（《九章算術·方田》章圓田術注）。
劉徽從圓内接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數，一直計算到内接正九十六邊形。
由于面積的增大，邊數愈大則内接正多邊形面積愈近于圓面積。
劉徽在實際計算中，采用了來計算圓面積。
而在精密計算中，認為圓面積等于方寸，由此得這個近似分數值，化成十進小數是3.1416，自然是更加精密了。
劉徽雖然隻求到小數後第四位，但他知道可以繼續往下算下去。
劉徽在中國數學史上，可以算作第一個用“極限”的人。
劉徽在《九章算術·少廣》章開方術注中，認為在開平方或開立方不盡時，原來那種用分數來表示奇零部分的方法也并不十分準确，他主張繼續開方下去，“求其微數。
微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。
退之彌下，其分彌細”。
以求得出以十進分數表示平方根或立方根的近似值來。
劉徽在《九章算術注》中還創立了不少新的演算方法，比起舊的演算方法來要簡捷得多。
在西漢時，天文學家為了測量夏至日太陽離地面的高度，創立了兩次測量日影的方法，東漢數學家稱之為重差術。
舉例來說，在南北相距一千裡的兩處地方，各立高八尺的表，夏至日日中量二表的影長，北表影長一尺六寸，南表影長一尺五寸，影長相差一寸。
由此計算夏至日太陽高出地面約為裡。
因為地面是球面，不是平面，用這種方法來測量太陽的高遠，是不會得到正确的答數的。
但是如果用它來測量地面上近距離的目的物的高、深、廣、遠，譬如推算海島的距離，測量高樓的高遠，還是有用處的。
劉徽在《九章算術注》中總結了這種方法，舉出九個例題來說明它的應用，補寫了《重差》一章。
到了唐朝初年，這一章獨立成書，稱為《海島算經》，作為當時官立算學（培養天文、數學人才的學校）的重要教材。
劉徽在數學上的貢獻是很大的。
祖沖之（公元429&mdash500年），字文遠，南朝宋、齊時人，祖籍範陽遒縣（今河北涞源北），祖先流寓江南。
沖之曆仕宋、齊，官至長水校尉。
他是南北朝時代一位傑出的科學家，在天文曆法、數學、機械制造等方面都有重大成就。
在數學方面，他在劉徽的基礎上，“更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數（過剩近似值）三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，數（不足近似術）三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈、二限之間。
密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。
約率：圓徑七，周二十二”（《隋書·律曆志》上）。
他精确地算出圓周率是在3.1415926和3.1415927之間。
他還求得兩個分數值的圓周率，一個是（約等于3.1415927），這一個數比較精密，所以稱為“密率”；另一個是（約等于3.14），這一個數比較粗疏，所以稱為“約率”。
祖沖之是世界上第一個把圓周率的準确數值算到小數點後七位數字的人。
九百多年以後，15世紀時阿拉伯數學家阿爾·卡西（拉丁音al-Kashi）求得的結果方才超過了他的成就。
至于密率，在歐洲直到1573年，德國的奧托（ValenlinusOtto）才重新得到這一數值，這已是一千一百年後的事了。
祖沖之在數學方面的研究成果，記載在他的數學名著《綴術》裡。
這部書到了唐代被列為算學的主要課本之一，學習年限四年，政府舉行數學考試時多從《綴術》中出題，它的重要性可想而知。
可惜到了北宋中期，這部很有價值的科學著作竟失傳了。
祖沖之的兒子祖，生活在南齊和梁朝，也是一位有名的數學家。
顔之推就說：“算術亦是六藝要事，&hellip&hellip江南此學殊少，唯範陽祖精之。
”（《顔氏家訓·雜藝篇》）他首先求出球體積的準确公式
