第五章 數學與形而上學家
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一時刻這樣的事物。
一個時刻與下一時刻之間的間隔必須是無窮小的，因為假如我們取彼此間具有一種有限間隔的兩個時刻，那麼在這個間隔内總會有其他一些時刻。
因而，假如不存在無窮小量，那麼沒有哪兩個時刻是完全連續的，而是在任何兩個時刻之間總存在其他的時刻。
因此，任何兩個時刻之間都一定存在無窮多的時刻；因為假如真的隻有有限多的時刻，一個人就會最接近于這兩個時刻中的第一個，并因此緊鄰它。
這可以被認為是一種困難；但事實上，正是在這裡，無窮哲學派上了用場，并使得一切都變得直截了當。
空間方面也發生了同樣的情況。
假如把任意一片物質一切為二，然後再把每一部分對半分，并一直這樣分下去，那麼切分所得到的碎片将變得越來越小，并且從理論上說，我們可以讓這些碎片小到我們想要的地步。
不管它們可以小到什麼地步，我們還能對它們進行切分并使其變得更小。
但是，不管它們可以小到什麼地步，它們将總是擁有某種有限的大小。
我們絕不能以這種方式達到無窮小量，而且任何有限次的切分都不會讓我們達到點。
不過，點是存在的，隻是我們将不會通過連續的切分而達到這些點。
在這裡，無窮哲學又一次向我們表明這是如何可能的，以及點為什麼不是無窮小的長度。
在運動和變化問題上，我們獲得一些同樣奇怪的結果。
人們過去常常認為，當一個事物變化時，它一定處在一種變化的狀态中，并且當一個事物移動時，它就處在一種運動的狀态中。
現在，我們知道這種看法是錯誤的。
當一個物體移動時，我們最多能說，它在一個時間處于一個地方，而在另一個時間處于另一個地方。
我們一定不要說，在下一個瞬間它将在附近的一個地方，因為不存在下一個瞬間。
哲學家們常常告訴我們，當一個物體處于運動中時，它是在瞬間之内改變其位置的。
對于這種觀點，芝諾在很早以前就提出了這樣的緻命反駁，即每一個物體都總是在其所在的地方。
但是，一種如此簡明扼要的反駁并不是哲學家們通常看重的那種，而且直到我們今天這個時代，他們還在繼續重複這些同樣的激起這位愛利人破壞性熱情的說法。
隻是在最近，我們才有可能根據芝諾從前的說法并以同哲學家的悖論相反的方式來詳細地解釋運動。
我們現在終于可以任性地持有這種令人感到舒适的信念，即一個運動的物體在其所在的地方恰恰和一個靜止的物體一樣真實。
運動僅僅在于以下這一事實：物體有時在一個地方，有時在另一個地方，而在中間的時間它們處于中間的地方。
隻有那些在這個問題上奮力穿過哲學思考泥潭的人，才能認識到這種簡單而又明了的平常事實在何等程度上把我們從古老的偏見中解放了出來。
如我們剛才已看到的那樣，無窮小量哲學主要是破壞性的。
人們過去常常相信它，而現在他們已看出自己的錯誤。
另一方面，無窮哲學完全是建設性的。
人們以前假定，無窮數以及通常的數學的無窮是自相矛盾的。
但是，由于明顯存在諸多無窮，例如數的數目，關于無窮的矛盾似乎就不可避免了，而且哲學似乎已走進了一條&ldquo死胡同&rdquo。
這個困難導緻了康德的二律背反，而且因此或多或少間接導緻了黑格爾辯證法中的許多東西。
迄今為止，很少有幾個哲學家意識到這樣的事實，即在無窮概念問題上一切古老而又可敬的矛盾都已一勞永逸地解決了；而幾乎所有當前的哲學都因為這個事實而感到不安。
造成這個事實的方法是極有趣且極富啟發性的。
首先，盡管從希臘思想的開端直到今天人們都在無窮問題上誇誇其談，但未曾有人想到過問什麼是無窮。
假如任請一個哲學家給出一個關于無窮的定義，那麼他可能會說出某種無法理解的拉拉雜雜的東西，但他确實不能提供一個在任何情況下都有某種意義的定義。
大約二十年以前，戴德金和康托爾就問過這個問題，而且更值得注意的是，他們回答了這個問題。
也就是說，他們發現了一個完全精确的關于無窮數或由事物所構成的無窮集合的定義。
這是第一步，也可能是最重要的一步。
然後，還要考察這個概念中的想象出來的矛盾。
在這裡，康托爾以唯一的恰當的方式繼續前進。
他以幾對相互矛盾的命題作為例子，這些命題對中的矛盾雙方通常都被認為是可證明的；他嚴格考察了假想的證明。
他發現，一切不利于無窮的證明都包含某個原理，而且這個原理乍一看顯然是真的，但其産生的後果幾乎可以毀滅一切數學。
另一方面，有利于無窮的證明并不包含任何擁有有害後果的原理。
因而看起來，常識已經允許自己被一種似是而非的基本原理欺騙，而且一旦這個基本原理被排除了，一切就都解決了。
這個基本原理是，假如一個集合是另一集合的一部分，那麼前者所擁有的項比後者所擁有的項少。
這個基本原理适用于有窮數。
例如，英國人隻是歐洲人中的一部分，而且英國人少于歐洲人。
但是，當我們涉及無窮數時，這個基本原理就不再适用了。
掃除了這條基本原理，我們就能獲得關于無窮的精确定義。
一個項的集合是無窮的，當它包含另外一些恰好與其擁有一樣多的項的集合作為其部分時。
假如你能夠移除一個集合中的一些項，同時卻又不會減少項的數量，那麼該集合中存在無窮多個項。
例如，偶數在數目上恰好與全體的數一樣多，因為每一種數目都能增加一倍。
若把奇數和偶數全都放在一行，且又單獨把偶數放在下一行，我們就可以看到這一點&mdash&mdash 1，2，3，4，5，直至無窮。
2，4，6，8，10，直至無窮。
顯然，下一行和上一行恰好擁有同樣多的數，因為對于上一行中的每一個數，下一行中都有一個與其對應。
這種性質先前被認為是一種矛盾，而現在則被轉換成了關于無窮的一種無害的定義；而且在上例中，它表明有窮數的數目是無窮的。
但是，缺乏特定知識的人可能會覺得好奇：處理一個數不完的數目是如何可能的呢？不可能一個接一個地數完所有的數并算出總數，因為不論我們可能數了多少個數，後面總是還有更多的數。
事實上，數數（counting）是發現一個集合中有多少個項的一種非常普通而又初級的方式。
而且，無論如何，數數向我們提供了數學家所說的序數，即我們的集合中的項的序數。
也就是說，它按一定順序或者說在一個序列中排列我們的項，而且其結果告訴我們什麼類型的序列将從這種排列中産生。
換言之，如果不先數某些事物而後再數其他事物，那麼我們就不可能去數事物，所以數數總是與順序有關。
這一來，當隻存在數目上有窮的項時，我們能按照我們想要的任何順序數它們；但是，當存在一個無窮的數目時，類似于數數行為的東西将按照我們由之完成此種行為的方式而為我們提供一些完全不同的結果。
因而，從一般可被稱為數數的行為中産生的序數，不僅依賴于我們有多少個項，而且依賴于（項的數目在這裡是無窮的）那些項的排列方式。
基本的無窮數不是序數，而是所謂的基數。
我們不是通過按順序排列好我們的項并去數它們而獲得基數的；基數是通過一種不同的方法被獲得的，這種方法首先告訴我們兩個集合是否擁有相同數目的項，或者假如它們擁有不同數目的項，它會首先告訴我們哪一個擁有
一個時刻與下一時刻之間的間隔必須是無窮小的，因為假如我們取彼此間具有一種有限間隔的兩個時刻，那麼在這個間隔内總會有其他一些時刻。
因而，假如不存在無窮小量，那麼沒有哪兩個時刻是完全連續的，而是在任何兩個時刻之間總存在其他的時刻。
因此，任何兩個時刻之間都一定存在無窮多的時刻；因為假如真的隻有有限多的時刻，一個人就會最接近于這兩個時刻中的第一個，并因此緊鄰它。
這可以被認為是一種困難；但事實上，正是在這裡，無窮哲學派上了用場，并使得一切都變得直截了當。
空間方面也發生了同樣的情況。
假如把任意一片物質一切為二，然後再把每一部分對半分，并一直這樣分下去，那麼切分所得到的碎片将變得越來越小，并且從理論上說，我們可以讓這些碎片小到我們想要的地步。
不管它們可以小到什麼地步，我們還能對它們進行切分并使其變得更小。
但是，不管它們可以小到什麼地步，它們将總是擁有某種有限的大小。
我們絕不能以這種方式達到無窮小量，而且任何有限次的切分都不會讓我們達到點。
不過，點是存在的，隻是我們将不會通過連續的切分而達到這些點。
在這裡，無窮哲學又一次向我們表明這是如何可能的，以及點為什麼不是無窮小的長度。
在運動和變化問題上，我們獲得一些同樣奇怪的結果。
人們過去常常認為，當一個事物變化時，它一定處在一種變化的狀态中，并且當一個事物移動時，它就處在一種運動的狀态中。
現在，我們知道這種看法是錯誤的。
當一個物體移動時，我們最多能說，它在一個時間處于一個地方，而在另一個時間處于另一個地方。
我們一定不要說，在下一個瞬間它将在附近的一個地方，因為不存在下一個瞬間。
哲學家們常常告訴我們，當一個物體處于運動中時，它是在瞬間之内改變其位置的。
對于這種觀點，芝諾在很早以前就提出了這樣的緻命反駁，即每一個物體都總是在其所在的地方。
但是，一種如此簡明扼要的反駁并不是哲學家們通常看重的那種，而且直到我們今天這個時代，他們還在繼續重複這些同樣的激起這位愛利人破壞性熱情的說法。
隻是在最近，我們才有可能根據芝諾從前的說法并以同哲學家的悖論相反的方式來詳細地解釋運動。
我們現在終于可以任性地持有這種令人感到舒适的信念，即一個運動的物體在其所在的地方恰恰和一個靜止的物體一樣真實。
運動僅僅在于以下這一事實：物體有時在一個地方，有時在另一個地方，而在中間的時間它們處于中間的地方。
隻有那些在這個問題上奮力穿過哲學思考泥潭的人，才能認識到這種簡單而又明了的平常事實在何等程度上把我們從古老的偏見中解放了出來。
如我們剛才已看到的那樣，無窮小量哲學主要是破壞性的。
人們過去常常相信它，而現在他們已看出自己的錯誤。
另一方面，無窮哲學完全是建設性的。
人們以前假定，無窮數以及通常的數學的無窮是自相矛盾的。
但是，由于明顯存在諸多無窮，例如數的數目，關于無窮的矛盾似乎就不可避免了，而且哲學似乎已走進了一條&ldquo死胡同&rdquo。
這個困難導緻了康德的二律背反，而且因此或多或少間接導緻了黑格爾辯證法中的許多東西。
迄今為止，很少有幾個哲學家意識到這樣的事實，即在無窮概念問題上一切古老而又可敬的矛盾都已一勞永逸地解決了；而幾乎所有當前的哲學都因為這個事實而感到不安。
造成這個事實的方法是極有趣且極富啟發性的。
首先，盡管從希臘思想的開端直到今天人們都在無窮問題上誇誇其談，但未曾有人想到過問什麼是無窮。
假如任請一個哲學家給出一個關于無窮的定義，那麼他可能會說出某種無法理解的拉拉雜雜的東西，但他确實不能提供一個在任何情況下都有某種意義的定義。
大約二十年以前，戴德金和康托爾就問過這個問題，而且更值得注意的是，他們回答了這個問題。
也就是說，他們發現了一個完全精确的關于無窮數或由事物所構成的無窮集合的定義。
這是第一步，也可能是最重要的一步。
然後，還要考察這個概念中的想象出來的矛盾。
在這裡，康托爾以唯一的恰當的方式繼續前進。
他以幾對相互矛盾的命題作為例子，這些命題對中的矛盾雙方通常都被認為是可證明的；他嚴格考察了假想的證明。
他發現，一切不利于無窮的證明都包含某個原理，而且這個原理乍一看顯然是真的，但其産生的後果幾乎可以毀滅一切數學。
另一方面，有利于無窮的證明并不包含任何擁有有害後果的原理。
因而看起來，常識已經允許自己被一種似是而非的基本原理欺騙，而且一旦這個基本原理被排除了，一切就都解決了。
這個基本原理是，假如一個集合是另一集合的一部分，那麼前者所擁有的項比後者所擁有的項少。
這個基本原理适用于有窮數。
例如，英國人隻是歐洲人中的一部分，而且英國人少于歐洲人。
但是，當我們涉及無窮數時，這個基本原理就不再适用了。
掃除了這條基本原理，我們就能獲得關于無窮的精确定義。
一個項的集合是無窮的，當它包含另外一些恰好與其擁有一樣多的項的集合作為其部分時。
假如你能夠移除一個集合中的一些項，同時卻又不會減少項的數量，那麼該集合中存在無窮多個項。
例如，偶數在數目上恰好與全體的數一樣多，因為每一種數目都能增加一倍。
若把奇數和偶數全都放在一行，且又單獨把偶數放在下一行，我們就可以看到這一點&mdash&mdash 1，2，3，4，5，直至無窮。
2，4，6，8，10，直至無窮。
顯然，下一行和上一行恰好擁有同樣多的數，因為對于上一行中的每一個數，下一行中都有一個與其對應。
這種性質先前被認為是一種矛盾，而現在則被轉換成了關于無窮的一種無害的定義；而且在上例中，它表明有窮數的數目是無窮的。
但是，缺乏特定知識的人可能會覺得好奇：處理一個數不完的數目是如何可能的呢？不可能一個接一個地數完所有的數并算出總數，因為不論我們可能數了多少個數，後面總是還有更多的數。
事實上，數數（counting）是發現一個集合中有多少個項的一種非常普通而又初級的方式。
而且，無論如何，數數向我們提供了數學家所說的序數，即我們的集合中的項的序數。
也就是說，它按一定順序或者說在一個序列中排列我們的項，而且其結果告訴我們什麼類型的序列将從這種排列中産生。
換言之，如果不先數某些事物而後再數其他事物，那麼我們就不可能去數事物，所以數數總是與順序有關。
這一來，當隻存在數目上有窮的項時，我們能按照我們想要的任何順序數它們；但是，當存在一個無窮的數目時，類似于數數行為的東西将按照我們由之完成此種行為的方式而為我們提供一些完全不同的結果。
因而，從一般可被稱為數數的行為中産生的序數，不僅依賴于我們有多少個項，而且依賴于（項的數目在這裡是無窮的）那些項的排列方式。
基本的無窮數不是序數，而是所謂的基數。
我們不是通過按順序排列好我們的項并去數它們而獲得基數的；基數是通過一種不同的方法被獲得的，這種方法首先告訴我們兩個集合是否擁有相同數目的項，或者假如它們擁有不同數目的項，它會首先告訴我們哪一個擁有
