第五章 數學與形而上學家
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出現。
然而，所有這些都是一種讓步，并且它們都已被皮亞諾教授一掃而光。
例如，假如我們希望學習整個算術、代數、微積分以及事實上通常被稱作純數學的所有東西（除了幾何學），我們必須從一部包含三個詞的詞典開始。
一個符号代表零，另一個代表數，再一個代表後繼。
假如你希望成為一名算術家，那麼你就有必要知道這些概念的意義是什麼。
但是，在為三個概念創立了各種符号之後，在算術的整個發展過程中我們所需要的并不是另一個詞。
所有後來的符号都是用先前的符号以及這三個概念加以解釋的。
甚至連這三個概念也可以用關系和類的概念加以解釋；但是，這需要關系邏輯，而皮亞諾對此絕未論及。
必須承認，數學家所須知道且由之出發的東西是不多的。
所有純數學（包括幾何學）的所有概念都由之複合而成的概念至多有十來個。
在一派才華非常出衆的年輕的意大利追随者的幫助下，皮亞諾教授已經表明這一點是如何能做得到的；而且，對于他已經發明的這種方法，盡管我們有能力在很大程度上推進得比他更深入，但先驅者的榮譽一定屬于他。
兩百年以前，萊布尼茨就預見了皮亞諾所完成的這門科學，并嘗試着去創立它。
因為尊重亞裡士多德的權威，他未能取得成功；他不能相信亞裡士多德犯有明确的形式上的謬誤。
但是，不顧一切有優越感的人在對待其方案時所表現出的那種居高臨下式的輕蔑态度，他希望創立的這門學科現在誕生了。
從他所稱的這種&ldquo普遍文字&rdquo中，他希望找到關于所有問題的一個解決方案，并為所有争論找到一個結果。
他說：&ldquo假如争論出現了，在兩個哲學家之間，就如在兩個會計之間一樣，沒有必要争論。
對他們來說，帶着手中的筆，坐到桌旁，并相互向對方說&lsquo我們來計算一下吧&rsquo（如果他們願意，還可以請一個朋友作為見證人），這就足夠了。
&rdquo這種樂觀現在看起來多少有點過分了：依然有一些問題，關于它們的解決方案是可疑的，而且依然有一些争論是計算所無法解決的。
但是，在由先前有争議的東西所構成的整個一大片領域中，萊布尼茨的夢想已變成并不誇張的事實。
過去，整個數學哲學至少像哲學的任何其他部分一樣充滿懷疑；而現在，在這個領域中，順序和确定性已取代先前盛行的混亂和猶豫。
當然，哲學家尚未發現這個事實，并繼續按先前的方式就這些問題進行寫作。
但至少在意大利，數學家們現在有能力以一種精确的、熟練的方式處理數學，而且通過這種方式，數學的确定性也延伸到了數學哲學。
因此，在過去被列入重大的謎的問題中，有許多現在已絕不再容易招緻懷疑或引起讨論了，例如無窮的性質，連續的性質和空間、時間與運動的性質就是這樣。
那些希望知道這些東西的性質的人隻需閱讀像皮亞諾或格奧爾格·康托爾這樣的一些人的著作，他們将在那裡發現關于所有這些一度曾是謎的東西的準确而又不可懷疑的解釋。
在這個變幻莫測的世界中，再沒有什麼比身後的名聲更變幻莫測了。
後世對其缺乏判斷的最著名的例子之一，就是埃利亞的芝諾。
我們可以把這個人看作無窮哲學的創始人；在柏拉圖的《巴門尼德斯篇》中，他相對蘇格拉底處于教育者這樣的特權地位。
他提出了四個論證，每一個都是無限精妙而又無限深刻的；這些論證旨在證明運動是不可能的，阿基裡斯注27絕不可能追上烏龜，以及飛矢确實是靜止的。
在遭遇亞裡士多德以及從那時起到今天的每一個後來的哲學家的反駁後，這些論證被一位德國教授恢複了。
這位教授使這些論證成為一種數學複興的基礎，而他可能做夢也沒有想到自己和芝諾之間會有某種聯系。
通過嚴格從數學中排除對無窮小量（infinitesimals）注28的使用，魏爾施特拉斯注29（Weierstrass）最終表明，我們生活在一個不變化的世界中，而且飛矢真的處于靜止中。
芝諾的唯一錯誤就在于他作出了如下的推斷（假如他确實這樣做了）：因為不存在像變化的狀态這樣的事物，所以世界在任一時刻的狀态都與其在任一其他時刻的狀态相同。
這絕不是一個推論的結果，而且在這方面，德國數學家比善于創造的希臘人更具建設性。
魏爾施特拉斯把自己的觀點體現于數學中，而在這門科學中，熟悉真理即可消除常識的粗俗偏見。
通過這樣的做法，他已能夠為芝諾悖論賦予平凡言談的體面外表；假如這個結果對于熱愛理性的人來說不如芝諾的大膽挑戰令人愉快，那麼它至少更适合于撫慰學究式的人類。
事實上，芝諾關心三個問題。
在這三個問題中，每一個都是通過運動而呈現出來的，但每一個都比運動更抽象，而且能以純算術的方式加以處理。
這三個問題分别是無窮小量問題、無窮問題及連續性問題。
清晰地陳述所涉及的困難，就相當于完成了哲學家的任務中興許最為困難的那個部分。
這項工作是由芝諾完成的。
從芝諾到我們自己的時代，每一代中最優秀的才智非凡者輪番攻擊這些問題，但一般說來卻毫無所獲。
然而，在我們自己的時代，魏爾施特拉斯、戴德金及康托爾三人不僅改進了這三個問題，而且完全解決了它們。
對于那些熟悉數學的人，這些解決方案非常清晰，以至于不再會有絲毫的疑點或難點。
這項成就很可能是我們這個時代必須引以為自豪的最偉大成就，而且我不知道還有哪個時代（也許除了希臘黃金時期）能更加令人信服地證明自己貢獻了其偉大人物的卓越才智。
在這三個問題中，無窮小量問題是由魏爾施特拉斯解決的，其他兩個問題是由戴德金着手解決并由康托爾最終完成的。
無窮小量先前在數學中起到了一種重要的作用。
它是由希臘人引進的；希臘人認為，一個圓與一個具有許許多多個邊且邊長很小的等邊多邊形之間的差别是無窮小的。
它的重要性在逐漸增長；最終，當萊布尼茨發明微積分時，它似乎成了所有高等數學的基本概念。
在其《腓特烈大帝史》中，卡萊爾向人們透露萊布尼茨以前常常是如何向普魯士女王索菲娅·夏洛特講述無窮小問題的，以及女王又會如何回敬他說她在那個問題上是不需要接受教育的&mdash&mdash文武百官的行為已經使她完全熟悉了這個問題。
但是，哲學家們和數學家們因為多半不太熟悉王宮生活，所以繼續讨論這個話題，盡管沒有取得任何進展。
微積分需要連續性，而且人們假定連續性需要無窮小；但是沒有人能夠揭示無窮小可能是什麼。
它顯然完全不是零，因為我們看到，數目足夠多的無窮小量加起來就組成了一個有限的整體。
但是，沒有人能夠指出任何既非零又非有窮數的極小的數。
因而，這就出現了僵局。
但最後，魏爾施特拉斯發現，無窮小量是根本不需要的，而且一切事情都可以在沒有它的情況下得以實現。
因而，無需再假定存在這樣的一種東西。
現在，數學家們因此比萊布尼茨更有尊嚴：他們不再談論無窮小，而是談論無窮大。
不幸的是，無窮大這個題目，無論多麼适合于君主，但對他們所産生的吸引力似乎甚至比不上無窮小對萊布尼茨為之講述的君主們所曾産生的吸引力。
對無窮小量的排除産生了各種各樣奇特的後果，一個人必須逐步熟悉這些後果。
例如，不存在像下
然而，所有這些都是一種讓步，并且它們都已被皮亞諾教授一掃而光。
例如，假如我們希望學習整個算術、代數、微積分以及事實上通常被稱作純數學的所有東西（除了幾何學），我們必須從一部包含三個詞的詞典開始。
一個符号代表零，另一個代表數，再一個代表後繼。
假如你希望成為一名算術家，那麼你就有必要知道這些概念的意義是什麼。
但是，在為三個概念創立了各種符号之後，在算術的整個發展過程中我們所需要的并不是另一個詞。
所有後來的符号都是用先前的符号以及這三個概念加以解釋的。
甚至連這三個概念也可以用關系和類的概念加以解釋；但是，這需要關系邏輯，而皮亞諾對此絕未論及。
必須承認，數學家所須知道且由之出發的東西是不多的。
所有純數學（包括幾何學）的所有概念都由之複合而成的概念至多有十來個。
在一派才華非常出衆的年輕的意大利追随者的幫助下，皮亞諾教授已經表明這一點是如何能做得到的；而且，對于他已經發明的這種方法，盡管我們有能力在很大程度上推進得比他更深入，但先驅者的榮譽一定屬于他。
兩百年以前，萊布尼茨就預見了皮亞諾所完成的這門科學，并嘗試着去創立它。
因為尊重亞裡士多德的權威，他未能取得成功；他不能相信亞裡士多德犯有明确的形式上的謬誤。
但是，不顧一切有優越感的人在對待其方案時所表現出的那種居高臨下式的輕蔑态度，他希望創立的這門學科現在誕生了。
從他所稱的這種&ldquo普遍文字&rdquo中，他希望找到關于所有問題的一個解決方案，并為所有争論找到一個結果。
他說：&ldquo假如争論出現了，在兩個哲學家之間，就如在兩個會計之間一樣，沒有必要争論。
對他們來說，帶着手中的筆，坐到桌旁，并相互向對方說&lsquo我們來計算一下吧&rsquo（如果他們願意，還可以請一個朋友作為見證人），這就足夠了。
&rdquo這種樂觀現在看起來多少有點過分了：依然有一些問題，關于它們的解決方案是可疑的，而且依然有一些争論是計算所無法解決的。
但是，在由先前有争議的東西所構成的整個一大片領域中，萊布尼茨的夢想已變成并不誇張的事實。
過去，整個數學哲學至少像哲學的任何其他部分一樣充滿懷疑；而現在，在這個領域中，順序和确定性已取代先前盛行的混亂和猶豫。
當然，哲學家尚未發現這個事實，并繼續按先前的方式就這些問題進行寫作。
但至少在意大利，數學家們現在有能力以一種精确的、熟練的方式處理數學，而且通過這種方式，數學的确定性也延伸到了數學哲學。
因此，在過去被列入重大的謎的問題中，有許多現在已絕不再容易招緻懷疑或引起讨論了，例如無窮的性質，連續的性質和空間、時間與運動的性質就是這樣。
那些希望知道這些東西的性質的人隻需閱讀像皮亞諾或格奧爾格·康托爾這樣的一些人的著作，他們将在那裡發現關于所有這些一度曾是謎的東西的準确而又不可懷疑的解釋。
在這個變幻莫測的世界中，再沒有什麼比身後的名聲更變幻莫測了。
後世對其缺乏判斷的最著名的例子之一，就是埃利亞的芝諾。
我們可以把這個人看作無窮哲學的創始人；在柏拉圖的《巴門尼德斯篇》中，他相對蘇格拉底處于教育者這樣的特權地位。
他提出了四個論證，每一個都是無限精妙而又無限深刻的；這些論證旨在證明運動是不可能的，阿基裡斯注27絕不可能追上烏龜，以及飛矢确實是靜止的。
在遭遇亞裡士多德以及從那時起到今天的每一個後來的哲學家的反駁後，這些論證被一位德國教授恢複了。
這位教授使這些論證成為一種數學複興的基礎，而他可能做夢也沒有想到自己和芝諾之間會有某種聯系。
通過嚴格從數學中排除對無窮小量（infinitesimals）注28的使用，魏爾施特拉斯注29（Weierstrass）最終表明，我們生活在一個不變化的世界中，而且飛矢真的處于靜止中。
芝諾的唯一錯誤就在于他作出了如下的推斷（假如他确實這樣做了）：因為不存在像變化的狀态這樣的事物，所以世界在任一時刻的狀态都與其在任一其他時刻的狀态相同。
這絕不是一個推論的結果，而且在這方面，德國數學家比善于創造的希臘人更具建設性。
魏爾施特拉斯把自己的觀點體現于數學中，而在這門科學中，熟悉真理即可消除常識的粗俗偏見。
通過這樣的做法，他已能夠為芝諾悖論賦予平凡言談的體面外表；假如這個結果對于熱愛理性的人來說不如芝諾的大膽挑戰令人愉快，那麼它至少更适合于撫慰學究式的人類。
事實上，芝諾關心三個問題。
在這三個問題中，每一個都是通過運動而呈現出來的，但每一個都比運動更抽象，而且能以純算術的方式加以處理。
這三個問題分别是無窮小量問題、無窮問題及連續性問題。
清晰地陳述所涉及的困難，就相當于完成了哲學家的任務中興許最為困難的那個部分。
這項工作是由芝諾完成的。
從芝諾到我們自己的時代，每一代中最優秀的才智非凡者輪番攻擊這些問題，但一般說來卻毫無所獲。
然而，在我們自己的時代，魏爾施特拉斯、戴德金及康托爾三人不僅改進了這三個問題，而且完全解決了它們。
對于那些熟悉數學的人，這些解決方案非常清晰，以至于不再會有絲毫的疑點或難點。
這項成就很可能是我們這個時代必須引以為自豪的最偉大成就，而且我不知道還有哪個時代（也許除了希臘黃金時期）能更加令人信服地證明自己貢獻了其偉大人物的卓越才智。
在這三個問題中，無窮小量問題是由魏爾施特拉斯解決的，其他兩個問題是由戴德金着手解決并由康托爾最終完成的。
無窮小量先前在數學中起到了一種重要的作用。
它是由希臘人引進的；希臘人認為，一個圓與一個具有許許多多個邊且邊長很小的等邊多邊形之間的差别是無窮小的。
它的重要性在逐漸增長；最終，當萊布尼茨發明微積分時，它似乎成了所有高等數學的基本概念。
在其《腓特烈大帝史》中，卡萊爾向人們透露萊布尼茨以前常常是如何向普魯士女王索菲娅·夏洛特講述無窮小問題的，以及女王又會如何回敬他說她在那個問題上是不需要接受教育的&mdash&mdash文武百官的行為已經使她完全熟悉了這個問題。
但是，哲學家們和數學家們因為多半不太熟悉王宮生活，所以繼續讨論這個話題，盡管沒有取得任何進展。
微積分需要連續性，而且人們假定連續性需要無窮小；但是沒有人能夠揭示無窮小可能是什麼。
它顯然完全不是零，因為我們看到，數目足夠多的無窮小量加起來就組成了一個有限的整體。
但是，沒有人能夠指出任何既非零又非有窮數的極小的數。
因而，這就出現了僵局。
但最後，魏爾施特拉斯發現，無窮小量是根本不需要的，而且一切事情都可以在沒有它的情況下得以實現。
因而，無需再假定存在這樣的一種東西。
現在，數學家們因此比萊布尼茨更有尊嚴：他們不再談論無窮小，而是談論無窮大。
不幸的是，無窮大這個題目，無論多麼适合于君主，但對他們所産生的吸引力似乎甚至比不上無窮小對萊布尼茨為之講述的君主們所曾産生的吸引力。
對無窮小量的排除産生了各種各樣奇特的後果，一個人必須逐步熟悉這些後果。
例如，不存在像下
