第五章 數學與形而上學家
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十九世紀引以為自豪的是汽力的發明及進化論的創立，但它獲得其名聲的一種更合法的權力也許來自純數學的發現。
像絕大多數其他科學一樣，這門科學在誕生之前就經受了洗禮；而且我們因而發現，十九世紀之前的作者間接提到了他們所謂的純數學。
但是，假如問他們這門學科是什麼，他們隻能說它是由算術、代數及幾何等等構成的。
至于這些分支學科所共同擁有的東西，以及它們同應用數學的區别，我們的祖先一無所知。
純數學是由布爾在一部被他稱為《思維法則》（1854）的著作中所展示的。
這部著作處處斷言它不是數學；而事實上，布爾太謙虛了，以至于不能認為他的書是人類曾經寫下的第一部數學書。
他也錯誤地認為他在處理思維法則：人們實際上是如何思考的這個問題與他完全無關，而且假如他的書真的包含思維法則，那麼以前未曾有人以這樣的方式思考就是一件奇怪的事。
他的書事實上說的是形式邏輯，而這就是數學。
純數學完全是由一些斷言組成的。
這些斷言的大意是，假如如此這般的一個命題對于任一事物為真，那麼如此這般的另一個命題對于那個事物也為真。
不必讨論第一個命題是否确實為真，也不必提及我們假定對于其為真的那個事物是什麼。
這兩個關鍵點都屬于應用數學。
在純數學中，我們是從某些推論規則出發的；通過這些規則，我們就能推斷，假如一個命題為真，那麼就有另外某個命題也為真。
這些推論規則構成形式邏輯原理的主要部分。
那麼，我們以任意一個看似有趣的假設為例，并推導一下它的結果。
如果我們的假設是關于任一事物的，而非關于一個或多個其他特殊事物的，那麼我們的推論就構成了數學。
因而，數學可以被定義為我們絕不知道我們在其中談論什麼且亦不知道所談之物是否為真的科目。
我希望，已對數學開端感到困惑的人将在這個定義中找到安慰，并可能同意這個定義是準确的。
由于現代數學的主要成就之一就在于發現了數學實際上是什麼，在這個問題上多說幾句也許不是不合适的。
通常，在任何一個數學分支（比如幾何學）中，我們都是從一定數量的原始概念及一定數量的原始命題或公理開始的；原始概念被假定是不可定義的，而原始命題或公理被假定是不可證明的。
現在，實際情況是，盡管在應用數學的每一個分支中都有一些不可定義和不可證明的東西，但在純數學中，除了屬于普通邏輯的那些以外，是不存在這樣的東西的。
一般說來，邏輯的特點就在于，它的命題能被放入一種形式的東西中，而且在那種形式中，這些命題适用于任意一個事物。
一切純數學&mdash&mdash算術、分析及幾何&mdash&mdash都是通過原始邏輯概念的組合而建立起來的，而它們的命題是從諸如三段論及其他推論規則這樣的一般邏輯公理中推論出來的。
而且，這不再是一種夢想或者一種渴望。
恰恰相反，在數學領域較大而又較困難的那一部分，此項工作已經完成了；在餘下的幾個問題上，并不存在任何特殊的困難，而且人們現在正快速地從事着這項工作。
關于這樣的推論是否可能，哲學家們已争論了許多世紀，而數學家們則坐了下來，并做出了推論。
現在，對于哲學家來說，除了體面地承認此種推論，并無剩下的事情可做。
因而，形式邏輯最終表明自己就是數學。
衆所周知，這門學科是由亞裡士多德所創立的，并成了中世紀的首要學科（除了神學以外）。
但是，亞裡士多德絕未超出三段論，并且經院學者們絕未超出亞裡士多德；而三段論隻是形式邏輯的一個很小的部分。
如果需要某種證據來證明我們超出了中世紀的神學家，那麼我們就可以在這裡找到。
在整個中世紀，幾乎所有最優秀的英才人物都獻身于形式邏輯，而在十九世紀，世界思想中僅有極微小的一部分涉入了這門學科。
不過，自1850年以來，人們在每一個十年期間為發展這門學科而做的事情，都比從亞裡士多德到萊布尼茨的整個這段時間内所做的事情多。
人們已經發現如何使推理像在代數中那樣符号化，以便使推論通過數學規則而得以完成。
除了三段論以外，人們還發現許多規則；而且一個被稱為相幹邏輯注25的新的邏輯學分支已經創立了，并被用來處理舊邏輯所完全無能為力的一些問題，盡管那些問題構成了數學的主要内容。
在讨論數學基礎時讓外行的頭腦認識到符号體系的重要性是不容易的，而且所作的解釋也許會以一種異乎尋常的方式顯現為一種似非而是的東西。
實際情況是，因為符号體系使事情變得複雜艱澀了，所以它是有用的。
（就數學的高級部分而言，這種情況并不存在；它隻是就數學的開端部分而言的。
）我們希望知道的是，我們能從什麼推論出什麼。
現在，在開端處，一切都是不證自明的；而且很難看出一個不證自明的命題是否是從另外一個命題推論出來的。
顯而易見的東西總是與正确的東西為敵。
因此，我們發明了某種新的複雜艱澀的符号體系；在這個體系中，任何東西都不是顯而易見的。
然後，我們針對符号制定一些運算規則，從而整個事情就成為一種機械性的東西了。
通過這種方式，我們就發現什麼東西必須被當作前提，以及什麼東西能被證明或定義。
例如，我們已表明，整個算術及代數需要三個不可定義的概念及五個不可證明的命題；但是，如果沒有一個符号體系，我們就很難看出這一點。
二加二等于四是非常顯而易見的，以至于我們幾乎不能讓自己充分懷疑它能否被證明；在别的例子中，假如有一些不證自明的東西需要證明的話，情況也是如此。
但是，對于不了解情況的人來說，證明不證自明的命題可能多少是一件無意義的工作。
對此，我們可以答複說，這樣的情況，即一個顯而易見的命題是從另一個顯而易見的命題中推論出來的，經常絕不是不證自明的；因此，當我們通過一種不明顯的方法證明明顯的東西時，我們确實是在揭示一些新的真理。
但是，一種更有趣的答複是，由于人們既已設法證明顯而易見的命題，所以他們就發現許多這樣的命題是錯誤的。
不證自明時常隻是一堆鬼火；如果讓它作為我們的向導，它一定會讓我們迷路。
例如，一個整體總是比其一個部分擁有更多的項，或者，一個數加上一之後就會變大，這些都再明顯不過了。
但我們現在知道，這些命題通常是錯誤的。
絕大多數的數是無窮的，而且假如一個數是無窮的，那麼隻要你願意，你可以為之加上諸多的一，卻又絲毫不會對它産生影響。
證明的優點之一就在于它向被證明的結果注入了某種懷疑，而且當顯而易見的東西可以在一些情況下得到證明而在另外一些情況下又無法得到證明時，設想它在另外那些情況下是錯誤的就成為可能了。
在當代人中，偉大的形式推理技藝大師是一位意大利人，即都靈大學的皮亞諾（Peano）教授注26。
他已把大部分的數學還原成了嚴格的符号形式，而且在這個形式中根本不出現語詞；另外，他和他的追随者還将及時把整個數學還原出來。
相比于絕大多數讀者的期待，通常的數學書中的文字無疑是很少的；而且，極少有像&ldquo因此&rdquo、&ldquo讓我們假定&rdquo、&ldquo考慮&rdquo或&ldquo由此得出&rdquo這樣的短語
像絕大多數其他科學一樣，這門科學在誕生之前就經受了洗禮；而且我們因而發現，十九世紀之前的作者間接提到了他們所謂的純數學。
但是，假如問他們這門學科是什麼，他們隻能說它是由算術、代數及幾何等等構成的。
至于這些分支學科所共同擁有的東西，以及它們同應用數學的區别，我們的祖先一無所知。
純數學是由布爾在一部被他稱為《思維法則》（1854）的著作中所展示的。
這部著作處處斷言它不是數學；而事實上，布爾太謙虛了，以至于不能認為他的書是人類曾經寫下的第一部數學書。
他也錯誤地認為他在處理思維法則：人們實際上是如何思考的這個問題與他完全無關，而且假如他的書真的包含思維法則，那麼以前未曾有人以這樣的方式思考就是一件奇怪的事。
他的書事實上說的是形式邏輯，而這就是數學。
純數學完全是由一些斷言組成的。
這些斷言的大意是，假如如此這般的一個命題對于任一事物為真，那麼如此這般的另一個命題對于那個事物也為真。
不必讨論第一個命題是否确實為真，也不必提及我們假定對于其為真的那個事物是什麼。
這兩個關鍵點都屬于應用數學。
在純數學中，我們是從某些推論規則出發的；通過這些規則，我們就能推斷，假如一個命題為真，那麼就有另外某個命題也為真。
這些推論規則構成形式邏輯原理的主要部分。
那麼，我們以任意一個看似有趣的假設為例，并推導一下它的結果。
如果我們的假設是關于任一事物的，而非關于一個或多個其他特殊事物的，那麼我們的推論就構成了數學。
因而，數學可以被定義為我們絕不知道我們在其中談論什麼且亦不知道所談之物是否為真的科目。
我希望，已對數學開端感到困惑的人将在這個定義中找到安慰，并可能同意這個定義是準确的。
由于現代數學的主要成就之一就在于發現了數學實際上是什麼，在這個問題上多說幾句也許不是不合适的。
通常，在任何一個數學分支（比如幾何學）中，我們都是從一定數量的原始概念及一定數量的原始命題或公理開始的；原始概念被假定是不可定義的，而原始命題或公理被假定是不可證明的。
現在，實際情況是，盡管在應用數學的每一個分支中都有一些不可定義和不可證明的東西，但在純數學中，除了屬于普通邏輯的那些以外，是不存在這樣的東西的。
一般說來，邏輯的特點就在于，它的命題能被放入一種形式的東西中，而且在那種形式中，這些命題适用于任意一個事物。
一切純數學&mdash&mdash算術、分析及幾何&mdash&mdash都是通過原始邏輯概念的組合而建立起來的，而它們的命題是從諸如三段論及其他推論規則這樣的一般邏輯公理中推論出來的。
而且，這不再是一種夢想或者一種渴望。
恰恰相反，在數學領域較大而又較困難的那一部分，此項工作已經完成了；在餘下的幾個問題上，并不存在任何特殊的困難，而且人們現在正快速地從事着這項工作。
關于這樣的推論是否可能，哲學家們已争論了許多世紀，而數學家們則坐了下來，并做出了推論。
現在，對于哲學家來說，除了體面地承認此種推論，并無剩下的事情可做。
因而，形式邏輯最終表明自己就是數學。
衆所周知，這門學科是由亞裡士多德所創立的，并成了中世紀的首要學科（除了神學以外）。
但是，亞裡士多德絕未超出三段論，并且經院學者們絕未超出亞裡士多德；而三段論隻是形式邏輯的一個很小的部分。
如果需要某種證據來證明我們超出了中世紀的神學家，那麼我們就可以在這裡找到。
在整個中世紀，幾乎所有最優秀的英才人物都獻身于形式邏輯，而在十九世紀，世界思想中僅有極微小的一部分涉入了這門學科。
不過，自1850年以來，人們在每一個十年期間為發展這門學科而做的事情，都比從亞裡士多德到萊布尼茨的整個這段時間内所做的事情多。
人們已經發現如何使推理像在代數中那樣符号化，以便使推論通過數學規則而得以完成。
除了三段論以外，人們還發現許多規則；而且一個被稱為相幹邏輯注25的新的邏輯學分支已經創立了，并被用來處理舊邏輯所完全無能為力的一些問題，盡管那些問題構成了數學的主要内容。
在讨論數學基礎時讓外行的頭腦認識到符号體系的重要性是不容易的，而且所作的解釋也許會以一種異乎尋常的方式顯現為一種似非而是的東西。
實際情況是，因為符号體系使事情變得複雜艱澀了，所以它是有用的。
（就數學的高級部分而言，這種情況并不存在；它隻是就數學的開端部分而言的。
）我們希望知道的是，我們能從什麼推論出什麼。
現在，在開端處，一切都是不證自明的；而且很難看出一個不證自明的命題是否是從另外一個命題推論出來的。
顯而易見的東西總是與正确的東西為敵。
因此，我們發明了某種新的複雜艱澀的符号體系；在這個體系中，任何東西都不是顯而易見的。
然後，我們針對符号制定一些運算規則，從而整個事情就成為一種機械性的東西了。
通過這種方式，我們就發現什麼東西必須被當作前提，以及什麼東西能被證明或定義。
例如，我們已表明，整個算術及代數需要三個不可定義的概念及五個不可證明的命題；但是，如果沒有一個符号體系，我們就很難看出這一點。
二加二等于四是非常顯而易見的，以至于我們幾乎不能讓自己充分懷疑它能否被證明；在别的例子中，假如有一些不證自明的東西需要證明的話，情況也是如此。
但是，對于不了解情況的人來說，證明不證自明的命題可能多少是一件無意義的工作。
對此，我們可以答複說，這樣的情況，即一個顯而易見的命題是從另一個顯而易見的命題中推論出來的，經常絕不是不證自明的；因此，當我們通過一種不明顯的方法證明明顯的東西時，我們确實是在揭示一些新的真理。
但是，一種更有趣的答複是，由于人們既已設法證明顯而易見的命題，所以他們就發現許多這樣的命題是錯誤的。
不證自明時常隻是一堆鬼火；如果讓它作為我們的向導，它一定會讓我們迷路。
例如，一個整體總是比其一個部分擁有更多的項，或者，一個數加上一之後就會變大，這些都再明顯不過了。
但我們現在知道，這些命題通常是錯誤的。
絕大多數的數是無窮的，而且假如一個數是無窮的，那麼隻要你願意，你可以為之加上諸多的一，卻又絲毫不會對它産生影響。
證明的優點之一就在于它向被證明的結果注入了某種懷疑，而且當顯而易見的東西可以在一些情況下得到證明而在另外一些情況下又無法得到證明時，設想它在另外那些情況下是錯誤的就成為可能了。
在當代人中，偉大的形式推理技藝大師是一位意大利人，即都靈大學的皮亞諾（Peano）教授注26。
他已把大部分的數學還原成了嚴格的符号形式，而且在這個形式中根本不出現語詞；另外，他和他的追随者還将及時把整個數學還原出來。
相比于絕大多數讀者的期待，通常的數學書中的文字無疑是很少的；而且，極少有像&ldquo因此&rdquo、&ldquo讓我們假定&rdquo、&ldquo考慮&rdquo或&ldquo由此得出&rdquo這樣的短語
