第五章 數學與形而上學家
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更大數目的項注30。
它并不通過數數所采取的那種方式來告訴我們一個集合擁有多大數目的項；但是，假如我們把一個數定義為某某集合中的項的數目，那麼這種方法将使我們能夠發現另外某個可能被提到的集合是否擁有數目更多或更少的項。
通過一個例子，我們就将表明這是如何做到的。
假如存在某個國家，而且在這個國家中，由于一種或另一種原因而不可能進行人口普查，但大家都知道這個國家的每一個男人都有一個妻子，且每一個女人都有一個丈夫，那麼（隻要多配偶制不是一種國家制度）在不清點人數的情況下，我們就應該知道那個國家的男人恰好和女人一樣多，或者說既不比女人多也不比女人少。
這種方法可以普遍應用。
假如存在某種關系，并且就像婚姻一樣，這種關系把一個集合中的事物個個都與另一個集合中的一個事物聯系起來，而且反過來也是這樣，那麼這兩個集合就擁有數目相同的項。
我們就是通過這樣的方式去發現偶數與數具有相同數目的。
每一個數都可以被加倍，每一個偶數都能被減半，而且每一個步驟都恰好給出一個與被加倍或被減半的那個數相對應的數。
此外，通過這種方式，我們能夠發現任意多個恰好擁有與有窮數一樣多的項的集合。
假如一個集合中的每一個項都能與一個數挂鈎，并且所有有窮數在這種步驟中都被使用一次且隻被使用一次，那麼我們的集合一定恰好擁有與有窮數一樣多的項。
這就是通常的定義無窮集合的數的方式。
但是，一定不要設想所有無窮數都是相等的；恰恰相反，無窮數在數目上無限多于有窮數。
在不同類型的序列中排列有窮數的方式要多于有窮數。
空間中存在的點及時間中存在的瞬很可能都多于有窮數。
小數和整數恰好一樣多，盡管在任意兩個整數之間都有無窮多的小數。
但是，無理數比整數或小數多。
空間中的點很可能恰好與無理數一樣多，而且在一條一百萬分之一英寸長的線上的點與整個無限空間中的點恰好是一樣多的。
在所有的無窮數中有一個最大的數，那就是各種各樣的事物全都加在一起所得到的總數。
顯然，不可能有比這更大的數，因為假如每一個事物都已被選取，就沒有剩下要加進來的東西了。
康托爾以某種方式證明不存在最大的數，而且假如這個證明是有效的，那麼關于無窮的矛盾就會以一種升華了的形式重新出現。
但在這一點上，這位大師犯有一種非常精巧的推理錯誤；我希望在今後的某本書中對此作出解釋注31。
我們現在能夠理解為什麼芝諾相信阿基裡斯追不上烏龜以及為什麼他事實上又能追上它了。
我們将看到，所有不同意芝諾的人都沒有權利不同意，因為他們全都接受了芝諾的結論由之導出的前提。
論證過程是這樣的：設阿基裡斯和烏龜在同一時間沿着同一條路開始賽跑，而且允許給予烏龜一定的讓步（這樣才公平）。
設阿基裡斯以兩倍于或十倍于或百倍于烏龜的速度前進。
這樣一來，他将永遠追不着烏龜。
因為在每一個時刻，烏龜都在某個地方，阿基裡斯也都在某個地方；而且當比賽繼續進行時，二者都不會在某個時刻兩次出現于同一個地方。
因而，烏龜要去的地方和阿基裡斯要去的地方正好是同樣多的，因為每個都将在一個時刻處于一個地方，而在任何别的時刻處于另一個地方。
但是，假如阿基裡斯真的要趕上烏龜，那麼烏龜所到過的地方将會僅僅是阿基裡斯所到過的地方的一部分。
這裡，我們必須假定芝諾訴諸這個基本原理，即整體比部分擁有更多的項注32。
因而，假如阿基裡斯要追上烏龜，他就會比烏龜到過更多的地方；但是我們看到，在任何時間段中，他所在的地方一定和烏龜所在的地方一樣多。
因此我們推斷，他絕不能趕上烏龜。
假如我們承認整體比部分擁有更多的項這個基本原理，那麼這個論證就是完全正确的。
由于結論是荒唐的，這個基本原理必須抛棄，而且抛棄之後，一切就迎刃而解了。
但是，人們對過去兩千年來的哲學家及另外一些哲學家沒有好評，因為他們全都承認這個基本原理卻又否認芝諾的結論。
保留這個基本原理會導緻絕對的矛盾，而排除它隻會導緻一些奇特的東西。
必須承認，在這些奇特的東西中，有一些是非常奇特的。
其中之一便是阿基裡斯悖論的逆命題，我稱之為特裡斯特拉姆·項狄悖論注33。
這個悖論表明，假如你給烏龜時間，它将恰好能和阿基裡斯走得一樣遠。
我們知道，特裡斯特拉姆·項狄使用了兩年時間來記載他生命中頭兩天的事情，并悲歎道，照這樣的速度來記載，材料累積的速度會比他處理材料的速度更快，以至于随着春秋更替，自己會越來越遠離其曆史的終點。
現在我認為，假如他永遠活着，并且不對其任務感到厭煩，那麼，即使其生命在延續過程中就像開始時那樣充滿故事，他的生命經曆中也沒有哪一段不會被記錄。
因為，請想一下：第一百天将在第一百年被描述，第一千天将在第一千年被描述，如此等等。
不管我們選擇哪一個更遙遠以至于他無法希望達到的日子，所選的那一天都将在相應的那一年被描述。
因而，任何可以被提到的日子都将或遲或早被記錄下來，而且因此生命經曆中的任何一段都不會永久不被記錄。
這個悖理但又完全真實的命題，依賴于這一事實即所有時間中的日子的數目不大于年份的數目。
因而，在無窮問題上要避免一些初看上去似乎悖理的結論是不可能的，而且這也說明了為什麼如此多的哲學家設想無窮本身有其固有的矛盾。
但是，少許的實踐就能使一個人領會康托爾學說的真實原理，并在辨認真假的問題上獲得新的更好的直覺。
這些奇特的現象于是并不比生活在地球對面并與我們腳對腳的人更奇特；那些人過去常常被認為是不可能存在的，因為人們發現頭腳倒立是非常不方便的。
與無窮相關的問題的解決方法使得康托爾也能解決連續性問題。
關于這個問題，就像關于無窮問題一樣，他已給出了一個完全精确的定義，并已表明，在以他的方式去定義的這個概念中不存在矛盾。
但是，這個問題很具技術性，因此在這裡不可能對其作出任何描述。
無窮概念依賴于順序概念，因為連續性隻是一種特殊類型的順序。
在現代，數學已使順序獲得了越來越重要的聲望。
從前，人們認為量是數學的基本概念，而且一些哲學家目前還是傾向于這樣認為。
但現在，除了從幾何學這樣的一個小角落來看，量已經完全被清除了，而順序卻日益取得主宰的地位。
對不同種類的序列及其關系的研究現在是數學的一個很大部分，而且人們已發現，這種研究可以在根本不提及量的情況下進行，也多半還可以在根本不提及數的情況下進行。
各種類型的序列都能從形式上加以定義，而且它們的性質能憑借關系代數從符号邏輯的原理中推演出來。
極限概念是大部分的高等數學中的基本概念；過去，人們常常通過量把它定義為某個序列的項可以任意逼近的一個項。
但現在，極限是以完全不同的方式被定義的，而且它所限定的序列可能根本不逼近它。
這種改進也應歸功于康托爾，而且正是這種改進使數學領域發生了革命性變化。
現在，唯有順序對極限有重要關系。
因而，比如說，無窮整數中最小的那個就是有窮整數的極限，盡管一切有窮整數都離它無限遠。
對不同類型的序列的研究是一個普通
它并不通過數數所采取的那種方式來告訴我們一個集合擁有多大數目的項；但是，假如我們把一個數定義為某某集合中的項的數目，那麼這種方法将使我們能夠發現另外某個可能被提到的集合是否擁有數目更多或更少的項。
通過一個例子，我們就将表明這是如何做到的。
假如存在某個國家，而且在這個國家中，由于一種或另一種原因而不可能進行人口普查，但大家都知道這個國家的每一個男人都有一個妻子，且每一個女人都有一個丈夫，那麼（隻要多配偶制不是一種國家制度）在不清點人數的情況下，我們就應該知道那個國家的男人恰好和女人一樣多，或者說既不比女人多也不比女人少。
這種方法可以普遍應用。
假如存在某種關系，并且就像婚姻一樣，這種關系把一個集合中的事物個個都與另一個集合中的一個事物聯系起來，而且反過來也是這樣，那麼這兩個集合就擁有數目相同的項。
我們就是通過這樣的方式去發現偶數與數具有相同數目的。
每一個數都可以被加倍，每一個偶數都能被減半，而且每一個步驟都恰好給出一個與被加倍或被減半的那個數相對應的數。
此外，通過這種方式，我們能夠發現任意多個恰好擁有與有窮數一樣多的項的集合。
假如一個集合中的每一個項都能與一個數挂鈎，并且所有有窮數在這種步驟中都被使用一次且隻被使用一次，那麼我們的集合一定恰好擁有與有窮數一樣多的項。
這就是通常的定義無窮集合的數的方式。
但是，一定不要設想所有無窮數都是相等的；恰恰相反，無窮數在數目上無限多于有窮數。
在不同類型的序列中排列有窮數的方式要多于有窮數。
空間中存在的點及時間中存在的瞬很可能都多于有窮數。
小數和整數恰好一樣多，盡管在任意兩個整數之間都有無窮多的小數。
但是，無理數比整數或小數多。
空間中的點很可能恰好與無理數一樣多，而且在一條一百萬分之一英寸長的線上的點與整個無限空間中的點恰好是一樣多的。
在所有的無窮數中有一個最大的數，那就是各種各樣的事物全都加在一起所得到的總數。
顯然，不可能有比這更大的數，因為假如每一個事物都已被選取，就沒有剩下要加進來的東西了。
康托爾以某種方式證明不存在最大的數，而且假如這個證明是有效的，那麼關于無窮的矛盾就會以一種升華了的形式重新出現。
但在這一點上，這位大師犯有一種非常精巧的推理錯誤；我希望在今後的某本書中對此作出解釋注31。
我們現在能夠理解為什麼芝諾相信阿基裡斯追不上烏龜以及為什麼他事實上又能追上它了。
我們将看到，所有不同意芝諾的人都沒有權利不同意，因為他們全都接受了芝諾的結論由之導出的前提。
論證過程是這樣的：設阿基裡斯和烏龜在同一時間沿着同一條路開始賽跑，而且允許給予烏龜一定的讓步（這樣才公平）。
設阿基裡斯以兩倍于或十倍于或百倍于烏龜的速度前進。
這樣一來，他将永遠追不着烏龜。
因為在每一個時刻，烏龜都在某個地方，阿基裡斯也都在某個地方；而且當比賽繼續進行時，二者都不會在某個時刻兩次出現于同一個地方。
因而，烏龜要去的地方和阿基裡斯要去的地方正好是同樣多的，因為每個都将在一個時刻處于一個地方，而在任何别的時刻處于另一個地方。
但是，假如阿基裡斯真的要趕上烏龜，那麼烏龜所到過的地方将會僅僅是阿基裡斯所到過的地方的一部分。
這裡，我們必須假定芝諾訴諸這個基本原理，即整體比部分擁有更多的項注32。
因而，假如阿基裡斯要追上烏龜，他就會比烏龜到過更多的地方；但是我們看到，在任何時間段中，他所在的地方一定和烏龜所在的地方一樣多。
因此我們推斷，他絕不能趕上烏龜。
假如我們承認整體比部分擁有更多的項這個基本原理，那麼這個論證就是完全正确的。
由于結論是荒唐的，這個基本原理必須抛棄，而且抛棄之後，一切就迎刃而解了。
但是，人們對過去兩千年來的哲學家及另外一些哲學家沒有好評，因為他們全都承認這個基本原理卻又否認芝諾的結論。
保留這個基本原理會導緻絕對的矛盾，而排除它隻會導緻一些奇特的東西。
必須承認，在這些奇特的東西中，有一些是非常奇特的。
其中之一便是阿基裡斯悖論的逆命題，我稱之為特裡斯特拉姆·項狄悖論注33。
這個悖論表明，假如你給烏龜時間，它将恰好能和阿基裡斯走得一樣遠。
我們知道，特裡斯特拉姆·項狄使用了兩年時間來記載他生命中頭兩天的事情，并悲歎道，照這樣的速度來記載，材料累積的速度會比他處理材料的速度更快，以至于随着春秋更替，自己會越來越遠離其曆史的終點。
現在我認為，假如他永遠活着，并且不對其任務感到厭煩，那麼，即使其生命在延續過程中就像開始時那樣充滿故事，他的生命經曆中也沒有哪一段不會被記錄。
因為，請想一下：第一百天将在第一百年被描述，第一千天将在第一千年被描述，如此等等。
不管我們選擇哪一個更遙遠以至于他無法希望達到的日子，所選的那一天都将在相應的那一年被描述。
因而，任何可以被提到的日子都将或遲或早被記錄下來，而且因此生命經曆中的任何一段都不會永久不被記錄。
這個悖理但又完全真實的命題，依賴于這一事實即所有時間中的日子的數目不大于年份的數目。
因而，在無窮問題上要避免一些初看上去似乎悖理的結論是不可能的，而且這也說明了為什麼如此多的哲學家設想無窮本身有其固有的矛盾。
但是，少許的實踐就能使一個人領會康托爾學說的真實原理，并在辨認真假的問題上獲得新的更好的直覺。
這些奇特的現象于是并不比生活在地球對面并與我們腳對腳的人更奇特；那些人過去常常被認為是不可能存在的，因為人們發現頭腳倒立是非常不方便的。
與無窮相關的問題的解決方法使得康托爾也能解決連續性問題。
關于這個問題，就像關于無窮問題一樣，他已給出了一個完全精确的定義，并已表明，在以他的方式去定義的這個概念中不存在矛盾。
但是，這個問題很具技術性，因此在這裡不可能對其作出任何描述。
無窮概念依賴于順序概念，因為連續性隻是一種特殊類型的順序。
在現代，數學已使順序獲得了越來越重要的聲望。
從前，人們認為量是數學的基本概念，而且一些哲學家目前還是傾向于這樣認為。
但現在，除了從幾何學這樣的一個小角落來看，量已經完全被清除了，而順序卻日益取得主宰的地位。
對不同種類的序列及其關系的研究現在是數學的一個很大部分，而且人們已發現，這種研究可以在根本不提及量的情況下進行，也多半還可以在根本不提及數的情況下進行。
各種類型的序列都能從形式上加以定義，而且它們的性質能憑借關系代數從符号邏輯的原理中推演出來。
極限概念是大部分的高等數學中的基本概念；過去，人們常常通過量把它定義為某個序列的項可以任意逼近的一個項。
但現在，極限是以完全不同的方式被定義的，而且它所限定的序列可能根本不逼近它。
這種改進也應歸功于康托爾，而且正是這種改進使數學領域發生了革命性變化。
現在，唯有順序對極限有重要關系。
因而，比如說，無窮整數中最小的那個就是有窮整數的極限，盡管一切有窮整數都離它無限遠。
對不同類型的序列的研究是一個普通
