第四章 數學學科
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，對一種證明的真正興趣并不完全集中在結果上；當這種情況确實發生時，必須把它看作一種缺陷，并且如果可能的話，要對這種缺陷進行糾正，而糾正的方式則在于對證明的步驟進行概括，并讓每一個步驟就其自身而言且對其自身而言都變得重要。
隻用來證明一個結論的論證類似于一個以某種寓意為中心思想的故事，而此種寓意則是人們所要傳授的東西：對于美的完善性而言，整體的任何部分都不應該僅僅是一種手段。
某種講究實際的精神，或者說，一種快速取得進步與征服新的領域的願望，應對數學教學中盛行的那種過分強調結果的行為負責。
比較恰當的方式是提出某個題目以供思考；這樣的題目，在幾何學中是一種擁有若幹重要性質的圖形，而在分析學中則是一種若加以研究就會給人以啟發的函數，如此等等。
每當證明僅僅依賴于我們用來定義所要研究的對象的某些标志時，這些标志應該被分離出來加以單獨審查；這是因為，在論證中，使用比結論所需更多的前提是一種缺陷：僅僅使用論點由之得到證實的必要的原理，才會産生數學家們所謂的優美。
歐幾裡得的一個優點就在于，他能盡量在不使用平行公理注24的情況下往前推進。
這并非如通常所說的那樣是因為這條公理本質上是會引起反對的，而是因為在數學中，每一條新的公理都會降低它所産生的定理的一般性，而最高的可能的一般性出現在一切被尋求的東西面前。
關于數學在其自身範圍以外的影響，人們已寫下了一些東西；這些東西比在數學自身的固有理想這一主題上的著述還要多。
過去，數學對哲學的影響是最顯著的，但又是最具多樣性的；十七世紀的唯心論與唯理論，以及十八世紀的唯物論和感覺論，似乎都是這種影響的産物。
關于數學在未來可能會産生的影響，如果說得很多，那就太性急了；但從一個方面看，似乎很可能出現一種好的結果。
針對因道路是艱辛的且目标并非一定是可獲得的而放棄理想之追求的那種懷疑論，數學在其自身的範圍内就是一個完全的答複。
人們老是說：沒有絕對真理，而隻有意見和私人判斷；在觀察世界時，我們每一個人都受到其自己的個性、偏好及偏見的制約；不存在我們最終可以通過堅忍和訓練而被獲準進入的外在真理王國，而隻存在我的真理、你的真理以及每一個不同的人的真理。
人類勉力嘗試的主要目标之一就被這些習慣性想法否決了，而且真誠及對存在之物的無畏承認的至上美德，都從我們的道德視野中消失了。
對于這樣的懷疑論來說，數學是一種永久的責備，因為在面對懷疑的悲觀情緒所擁有的一切武器時，其真理大廈依然是不可動搖且固若金湯的。
數學對實際生活的影響盡管不應被看作我們的研究動機，但可以用來答複孤獨的學生必定始終容易産生的疑問。
在一個如此充滿罪惡與苦難的世界中，隐居于沉思的修道院并享受雖高貴卻必定總是隻為少數人所擁有的快樂，不能不等于多少有點自私地拒絕分擔某種重擔，即正義未能對其起作用的偶然因素所強加于他人身上的重擔。
我們問，我們任何人有權從當前的罪惡中抽身并讓我們的同伴變得無助，而我們自己卻過着一種雖艱難和簡樸然而就其自身性質來說卻顯然令人滿意的生活嗎？當這些問題出現時，真實的答案無疑在于：一些人必須讓神聖之火繼續存在，或者說，每一代都必須有一些人去保護那萦繞心頭且暗示着這麼多的努力所指目标的幻想。
但是，當這樣的答案顯得過分冷酷時（有時一定是這樣的），當我們被無法對其提供幫助的悲傷場面折磨得幾近發瘋時，那麼我們可以想到，比起在實踐中更活躍的同時代人，數學家時常間接地為人類幸福做了更多的事情。
科學史充分證明，大量的抽象命題，即使就像在關于二次曲線部分的情形中那樣存在兩千年卻沒有對日常生活産生影響，仍然可以在任何時刻被用來在每一個公民的習慣性思想和日常事務中引起一場革命。
蒸汽和電&mdash&mdash舉一些突出的例子&mdash&mdash的使用隻是因為有了數學才成為可能。
在抽象思維的結果中，世界擁有一種資本；迄今為止，為使這個共同的地球富裕起來而對這種資本所進行的使用并沒有可發現的限度。
經驗也沒有提供什麼方法來判定數學中哪些部分将會被發現是有用的。
因此，實用隻能是灰心時刻的一種安慰，而非指導我們研究的一個準則。
對于道德生活的健康化，對于一個時代或一個民族的格調的高貴化，更嚴謹的美德擁有一種奇特的力量；此種力量超過未被思想滲透和淨化過的那些美德的力量。
在這些更嚴謹的美德中，對真理的愛是首要的；而且在數學中，這種愛比在其他地方更可以為變弱的信念找到鼓勵。
每一門重要的學科不僅自身就是一種目标，而且是創造并支撐一種高尚的心靈習性的手段。
在整個數學的教與學中，我們都應該牢記這樣的目的。
隻用來證明一個結論的論證類似于一個以某種寓意為中心思想的故事，而此種寓意則是人們所要傳授的東西：對于美的完善性而言，整體的任何部分都不應該僅僅是一種手段。
某種講究實際的精神，或者說，一種快速取得進步與征服新的領域的願望，應對數學教學中盛行的那種過分強調結果的行為負責。
比較恰當的方式是提出某個題目以供思考；這樣的題目，在幾何學中是一種擁有若幹重要性質的圖形，而在分析學中則是一種若加以研究就會給人以啟發的函數，如此等等。
每當證明僅僅依賴于我們用來定義所要研究的對象的某些标志時，這些标志應該被分離出來加以單獨審查；這是因為，在論證中，使用比結論所需更多的前提是一種缺陷：僅僅使用論點由之得到證實的必要的原理，才會産生數學家們所謂的優美。
歐幾裡得的一個優點就在于，他能盡量在不使用平行公理注24的情況下往前推進。
這并非如通常所說的那樣是因為這條公理本質上是會引起反對的，而是因為在數學中，每一條新的公理都會降低它所産生的定理的一般性，而最高的可能的一般性出現在一切被尋求的東西面前。
關于數學在其自身範圍以外的影響，人們已寫下了一些東西；這些東西比在數學自身的固有理想這一主題上的著述還要多。
過去，數學對哲學的影響是最顯著的，但又是最具多樣性的；十七世紀的唯心論與唯理論，以及十八世紀的唯物論和感覺論，似乎都是這種影響的産物。
關于數學在未來可能會産生的影響，如果說得很多，那就太性急了；但從一個方面看，似乎很可能出現一種好的結果。
針對因道路是艱辛的且目标并非一定是可獲得的而放棄理想之追求的那種懷疑論，數學在其自身的範圍内就是一個完全的答複。
人們老是說：沒有絕對真理，而隻有意見和私人判斷；在觀察世界時，我們每一個人都受到其自己的個性、偏好及偏見的制約；不存在我們最終可以通過堅忍和訓練而被獲準進入的外在真理王國，而隻存在我的真理、你的真理以及每一個不同的人的真理。
人類勉力嘗試的主要目标之一就被這些習慣性想法否決了，而且真誠及對存在之物的無畏承認的至上美德，都從我們的道德視野中消失了。
對于這樣的懷疑論來說，數學是一種永久的責備，因為在面對懷疑的悲觀情緒所擁有的一切武器時，其真理大廈依然是不可動搖且固若金湯的。
數學對實際生活的影響盡管不應被看作我們的研究動機，但可以用來答複孤獨的學生必定始終容易産生的疑問。
在一個如此充滿罪惡與苦難的世界中，隐居于沉思的修道院并享受雖高貴卻必定總是隻為少數人所擁有的快樂，不能不等于多少有點自私地拒絕分擔某種重擔，即正義未能對其起作用的偶然因素所強加于他人身上的重擔。
我們問，我們任何人有權從當前的罪惡中抽身并讓我們的同伴變得無助，而我們自己卻過着一種雖艱難和簡樸然而就其自身性質來說卻顯然令人滿意的生活嗎？當這些問題出現時，真實的答案無疑在于：一些人必須讓神聖之火繼續存在，或者說，每一代都必須有一些人去保護那萦繞心頭且暗示着這麼多的努力所指目标的幻想。
但是，當這樣的答案顯得過分冷酷時（有時一定是這樣的），當我們被無法對其提供幫助的悲傷場面折磨得幾近發瘋時，那麼我們可以想到，比起在實踐中更活躍的同時代人，數學家時常間接地為人類幸福做了更多的事情。
科學史充分證明，大量的抽象命題，即使就像在關于二次曲線部分的情形中那樣存在兩千年卻沒有對日常生活産生影響，仍然可以在任何時刻被用來在每一個公民的習慣性思想和日常事務中引起一場革命。
蒸汽和電&mdash&mdash舉一些突出的例子&mdash&mdash的使用隻是因為有了數學才成為可能。
在抽象思維的結果中，世界擁有一種資本；迄今為止，為使這個共同的地球富裕起來而對這種資本所進行的使用并沒有可發現的限度。
經驗也沒有提供什麼方法來判定數學中哪些部分将會被發現是有用的。
因此，實用隻能是灰心時刻的一種安慰，而非指導我們研究的一個準則。
對于道德生活的健康化，對于一個時代或一個民族的格調的高貴化，更嚴謹的美德擁有一種奇特的力量；此種力量超過未被思想滲透和淨化過的那些美德的力量。
在這些更嚴謹的美德中，對真理的愛是首要的；而且在數學中，這種愛比在其他地方更可以為變弱的信念找到鼓勵。
每一門重要的學科不僅自身就是一種目标，而且是創造并支撐一種高尚的心靈習性的手段。
在整個數學的教與學中，我們都應該牢記這樣的目的。
