第四章 數學學科
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程中的每一門都被已看作一個邏輯上的整體以及一種從構成其原理的命題中自然生長出來的東西時，學習者将有能力理解統一整個演繹推理并使其成為一體的基本科學，即符号邏輯。
這門學科雖由亞裡士多德所開創，然而就其諸多更廣泛的發展結果而言，它幾乎完全是十九世紀的産物，而且在今天，它實際上還在極快速地成長着。
符号邏輯中真實的發現方法，就在于着眼于發現所使用的原理，來分析演繹推理的實際例子；而且，這種分析很可能也是把這門學科介紹給熟悉數學中其他部分的學習者的最好方法。
這些原理多半都深入到了我們的推理本能中，從而導緻我們完全意識不到我們使用了它們，并且隻能通過許多耐心的努力才能使它們暴露出來。
但是，當它們最終被發現時，我們看到它們在數目上是很少的，而且是純數學中一切東西的唯一來源。
發現所有數學都不可避免地産生于一個由少量幾條基本法則所構成的集合，無限提升了整體所具有的知識上的美；對于那些被當前絕大多數演繹鍊條的不連續性及不完全性所壓制的人，這種發現是帶着一種啟示所具有的全部勢不可擋的力量而到來的；就像随着旅行者沿意大利的一座小山腰向上攀登時而從秋霧中浮現的一座宮殿一樣，數學大廈的那些宏偉樓層依其應有的順序和比例出現了，并且該大廈的每一部分都體現着一種新的完美。
直到符号邏輯發展到其當前的階段，數學所依賴的原理才總被設想為是哲學的，并且隻有通過哲學家們迄今所使用的那些不确定的、保守的方法才能被發現。
隻要持有這樣的看法，數學似乎就不是獨立的，而是依賴于另一門學科；與數學自身的方法相比，這門學科擁有一些完全不同的方法。
此外，由于算術、分析學及幾何學将會由之演繹出來的那些假定的性質被籠罩在一切傳統的形而上學讨論的晦暗之中，建立在這樣的可疑的基礎上的大廈實際上開始隻被看作空中樓閣。
就此而言，由于發現真實的原理就如其任何一種推論一樣也是數學的一部分，我們已在很大程度上提升了将要獲得的理智上的滿足。
那些不能分享此種滿足的學習者不應該拒絕它，因為它會提升我們對人的力量及關于抽象世界的美的知識的尊重。
哲學家們通常認為，數學背後的邏輯法則就是思維法則，即調節我們頭腦運行的法則。
這種看法在很大程度上降低了理性的真正的尊貴；它不再是對所有實際的及可能的事物的真正核心和不變本質的研究，相反倒成了對某種或多或少與人相關并受制于我們自身的局限的事物的探究。
思考與人無關的東西，發現我們的心靈有能力處理并非由其創造的物質，尤其是認識到美既為内在事物所擁有也為外在事物所擁有，是克服令人恐怖的無力感、脆弱感及身陷諸多不友好力量中間的被放逐感的主要手段，這些感覺極容易因承認幾乎無所不能的異己力量而産生。
通過展示其令人敬畏的美而讓我們甘心于命運的統治，是悲劇的任務；而所謂命運，隻是這些力量在文學作品中的拟人化表達。
但是，數學把我們帶到了離與人相關的東西更遠的地方，并進入絕對必然性領域；對于這種領域，不僅實際的世界，而且每一種可能的世界，都要與其相一緻。
而且，它甚至在這個領域中建立了一個住所，或者說發現了一個永久存在的住所；我們的理想在這個住所中得到了充分的滿足，而且我們最好的希望沒有遇挫。
僅當我們完全理解了我們自己的全部獨立性時，我們才能充分認識到數學之美的根本重要性。
不僅數學獨立于我們及我們的思想，而且在另外一種意義上，我們以及由全部現存事物所構成的整個宇宙則又獨立于數學。
假如我們要正确地理解作為藝術門類之一的數學的地位，對這種純粹理想的特征的領會是必不可少的。
人們先前設想，純粹理性能在某些方面對實際世界的性質作出判定：至少，幾何學曾被認為是處理我們居住于其中的空間的。
但我們現在知道，純數學完全不能對關于實際存在之物的問題發表意見：在某種意義上，理性世界控制事實世界，但絕不創造事實；而且在把結果應用于處在時間和空間中的世界時，其确定性與精确性就将消失在一些近似的東西及作業假說中。
在過去，數學思考的對象主要是現象所讓人想到的那一種；但是，抽象的想象應該完全擺脫這樣的限制。
因而，理性與事實之間一定有一種相互授予的自由：理性不能對事實世界發号施令，但是，當理性對美的愛使得一些對象似乎值得人們的思考時，事實亦不能限制理性處理任意一種這樣的對象的特權。
在這裡，像在其他地方一樣，我們将從所發現世界的碎片中逐步建立起我們自己的理想，而且到頭來難說結果是一種創造，拟或是一種發現。
在教學中，一種非常可取的做法是，既讓學生相信重要原理的準确性，又在所有可能的方式中以擁有最多的美的那一種做到這一點。
像傳統的闡述方式所表明的那樣
這門學科雖由亞裡士多德所開創，然而就其諸多更廣泛的發展結果而言，它幾乎完全是十九世紀的産物，而且在今天，它實際上還在極快速地成長着。
符号邏輯中真實的發現方法，就在于着眼于發現所使用的原理，來分析演繹推理的實際例子；而且，這種分析很可能也是把這門學科介紹給熟悉數學中其他部分的學習者的最好方法。
這些原理多半都深入到了我們的推理本能中，從而導緻我們完全意識不到我們使用了它們，并且隻能通過許多耐心的努力才能使它們暴露出來。
但是，當它們最終被發現時，我們看到它們在數目上是很少的，而且是純數學中一切東西的唯一來源。
發現所有數學都不可避免地産生于一個由少量幾條基本法則所構成的集合，無限提升了整體所具有的知識上的美；對于那些被當前絕大多數演繹鍊條的不連續性及不完全性所壓制的人，這種發現是帶着一種啟示所具有的全部勢不可擋的力量而到來的；就像随着旅行者沿意大利的一座小山腰向上攀登時而從秋霧中浮現的一座宮殿一樣，數學大廈的那些宏偉樓層依其應有的順序和比例出現了，并且該大廈的每一部分都體現着一種新的完美。
直到符号邏輯發展到其當前的階段，數學所依賴的原理才總被設想為是哲學的，并且隻有通過哲學家們迄今所使用的那些不确定的、保守的方法才能被發現。
隻要持有這樣的看法，數學似乎就不是獨立的，而是依賴于另一門學科；與數學自身的方法相比，這門學科擁有一些完全不同的方法。
此外，由于算術、分析學及幾何學将會由之演繹出來的那些假定的性質被籠罩在一切傳統的形而上學讨論的晦暗之中，建立在這樣的可疑的基礎上的大廈實際上開始隻被看作空中樓閣。
就此而言，由于發現真實的原理就如其任何一種推論一樣也是數學的一部分，我們已在很大程度上提升了将要獲得的理智上的滿足。
那些不能分享此種滿足的學習者不應該拒絕它，因為它會提升我們對人的力量及關于抽象世界的美的知識的尊重。
哲學家們通常認為，數學背後的邏輯法則就是思維法則，即調節我們頭腦運行的法則。
這種看法在很大程度上降低了理性的真正的尊貴；它不再是對所有實際的及可能的事物的真正核心和不變本質的研究，相反倒成了對某種或多或少與人相關并受制于我們自身的局限的事物的探究。
思考與人無關的東西，發現我們的心靈有能力處理并非由其創造的物質，尤其是認識到美既為内在事物所擁有也為外在事物所擁有，是克服令人恐怖的無力感、脆弱感及身陷諸多不友好力量中間的被放逐感的主要手段，這些感覺極容易因承認幾乎無所不能的異己力量而産生。
通過展示其令人敬畏的美而讓我們甘心于命運的統治，是悲劇的任務；而所謂命運，隻是這些力量在文學作品中的拟人化表達。
但是，數學把我們帶到了離與人相關的東西更遠的地方，并進入絕對必然性領域；對于這種領域，不僅實際的世界，而且每一種可能的世界，都要與其相一緻。
而且，它甚至在這個領域中建立了一個住所，或者說發現了一個永久存在的住所；我們的理想在這個住所中得到了充分的滿足，而且我們最好的希望沒有遇挫。
僅當我們完全理解了我們自己的全部獨立性時，我們才能充分認識到數學之美的根本重要性。
不僅數學獨立于我們及我們的思想，而且在另外一種意義上，我們以及由全部現存事物所構成的整個宇宙則又獨立于數學。
假如我們要正确地理解作為藝術門類之一的數學的地位，對這種純粹理想的特征的領會是必不可少的。
人們先前設想，純粹理性能在某些方面對實際世界的性質作出判定：至少，幾何學曾被認為是處理我們居住于其中的空間的。
但我們現在知道，純數學完全不能對關于實際存在之物的問題發表意見：在某種意義上，理性世界控制事實世界，但絕不創造事實；而且在把結果應用于處在時間和空間中的世界時，其确定性與精确性就将消失在一些近似的東西及作業假說中。
在過去，數學思考的對象主要是現象所讓人想到的那一種；但是，抽象的想象應該完全擺脫這樣的限制。
因而，理性與事實之間一定有一種相互授予的自由：理性不能對事實世界發号施令，但是，當理性對美的愛使得一些對象似乎值得人們的思考時，事實亦不能限制理性處理任意一種這樣的對象的特權。
在這裡，像在其他地方一樣，我們将從所發現世界的碎片中逐步建立起我們自己的理想，而且到頭來難說結果是一種創造，拟或是一種發現。
在教學中，一種非常可取的做法是，既讓學生相信重要原理的準确性，又在所有可能的方式中以擁有最多的美的那一種做到這一點。
像傳統的闡述方式所表明的那樣
