第四章 數學學科
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時，在我們開始接觸那些運用無窮概念的課程即微積分和整個高等數學之前，一切都将很順利。
針對圍繞在數學上的無窮概念周圍的困難而提出的解決方案，很可能是我們自己這個時代引以為自豪的最偉大成就。
從希臘思想的開端，這些困難就已被人認識到了；每一個時代具有最非凡才智的人，都在徒勞地嘗試回答由愛利亞的芝諾所提出的那些顯然回答不了的問題。
最後，格奧爾格·康托爾（GeorgCantor）發現了問題的答案，并為智力征服了一片原已交給混亂及古老黑夜的新的巨大領域。
假如從任意事物集合中拿走一些事物，那麼剩餘事物的數目一定總是少于原先的事物的數目；在康托爾和戴德金（Dedekind）确立相反的命題之前，這一點曾被假定為自明的。
事實上，這個假定隻對有限的集合有效；而且人們已經表明，在涉及無限的地方，若擯棄這個假定，就将清除在這個問題上迄今一直讓人類理性感到困惑的所有困難，并使得創造一種精确的關于無限的科學成為可能。
這一令人驚歎的事實應該在高級數學教學中引起一場革命；它已将自身不可估量地添加到了這門科目的教育價值中，并且最終為用邏輯的精确性處理許多課程提供了手段，而那些課程直到不久前還籠罩在謬誤與晦暗之中。
那些依據舊的思路接受教育的人認為，這項新的工作是極其費力的、難解的、模糊的，以至于讓人覺得害怕。
此外，我們必須承認，發現者自己常常也幾乎沒有從他的才智之光正在驅散的霧霭中現身。
但本質上，對于所有坦誠而又愛探究的心靈來說，新的無限學說已經促進了對高等數學的掌控，這是因為，迄今為止，對于有些論證，我們雖在初次接觸時就正确地判斷它們是混亂和錯誤的，但一直都必須通過一個長期的複雜過程，去學習如何同意它們。
既然如此，我們遠未産生一種對理性的無畏的信念，即遠不能勇敢地拒絕任何不能滿足最嚴格的邏輯要求的東西；由于這一點，在過去的兩個世紀中，數學訓練助長了這樣的信念，即對于許多東西，一種嚴格的探究會把它們作為謬誤加以拒絕，但因為它們在數學家所謂的&ldquo實踐&rdquo中起作用，所以仍然必須被接受。
通過這種方法，一種膽小的妥協的精神，要不就是一種為俗人所無法理解的對神迹的神父式信念，已經在單獨由理性主宰的地方得到了培育。
現在是清除掉所有這一切的時候了；讓我們立即把真實的理論教給那些希望洞察數學秘密的人，而且這種教學要在相關實際存在物的真正本質所确立的連結中進行，并完全隻關心所涉及的理論的邏輯性質。
假如我們認為數學自身就是一種目标，而非是對工程師的一種技術訓練，那麼保持其推理的純粹性與嚴格性就是非常可取的。
因而，我們應該讓那些已充分了解其相對容易的部分的人，從已作為自明之理而得到他們同意的命題，回到先前作為前提出現的東西可以從中演繹出來的一些越來越基本的原理。
我們應該教導他們的是，許多命題對未經訓練的心靈而言似乎是自明的，但在近距離的審查之下仍被表明是錯誤的；無限理論很容易闡明這一點。
通過這種方法，他們将被引導着去對最先的原理作一種懷疑式的探究，即考察整個推理大廈建立于其上的基礎，或者說考察&mdash&mdash作一個也許更恰當的比喻&mdash&mdash擴展的樹枝由之長出的樹幹。
在這個階段，如果重新學習數學的基礎部分，且不再隻問一個特定的命題是否為真，也要問它是如何由中心邏輯原理演繹出來的，那将是合适的。
現在我們能夠準确并有把握地回答這種性質的問題了，而如果放在以前，這些問題完全不可能得到回答；并且，在這種回答所依賴的推理鍊條中，全部數學門類之間的那種統一性最終也将展現自身。
在絕大多數的數學課本中，完全缺少一種方法上的統一性以及對中心論題的一種系統的展開。
不同種類的命題通過任意一種被認為最容易理解的方法而得到證明，而且大量的證明空間被給予了對主要論證不起一點作用的單純求知欲。
但在最偉大的作品中，統一性和必然性是在一出戲劇的展開中被人感覺到的；在前提中，一個主題被提出來供人思考，而且就對其性質的把握而言，在随後的每一個步驟中，我們都會取得某種明确的進步。
對體系的愛，或者說，對相互聯系的愛，也許是知識沖動的最秘密的本質；這種愛能夠在數學中發現自由的空間，而在其他地方是發現不了的。
感受到這種沖動的學習者不可因一連串無意義的例子而産生厭惡，也不可因一些令人開心的怪異之物而分心，但我們必須鼓勵他們常常去思考中心原理，去熟悉放在他面前的各種不同主題的結構，去輕松完成更重要的演繹步驟。
通過這種方式，一種好的心境就養成了，并且選擇性注意力就習慣于先去思考重要和必要的東西。
當分門别類的數學課
針對圍繞在數學上的無窮概念周圍的困難而提出的解決方案，很可能是我們自己這個時代引以為自豪的最偉大成就。
從希臘思想的開端，這些困難就已被人認識到了；每一個時代具有最非凡才智的人，都在徒勞地嘗試回答由愛利亞的芝諾所提出的那些顯然回答不了的問題。
最後，格奧爾格·康托爾（GeorgCantor）發現了問題的答案，并為智力征服了一片原已交給混亂及古老黑夜的新的巨大領域。
假如從任意事物集合中拿走一些事物，那麼剩餘事物的數目一定總是少于原先的事物的數目；在康托爾和戴德金（Dedekind）确立相反的命題之前，這一點曾被假定為自明的。
事實上，這個假定隻對有限的集合有效；而且人們已經表明，在涉及無限的地方，若擯棄這個假定，就将清除在這個問題上迄今一直讓人類理性感到困惑的所有困難，并使得創造一種精确的關于無限的科學成為可能。
這一令人驚歎的事實應該在高級數學教學中引起一場革命；它已将自身不可估量地添加到了這門科目的教育價值中，并且最終為用邏輯的精确性處理許多課程提供了手段，而那些課程直到不久前還籠罩在謬誤與晦暗之中。
那些依據舊的思路接受教育的人認為，這項新的工作是極其費力的、難解的、模糊的，以至于讓人覺得害怕。
此外，我們必須承認，發現者自己常常也幾乎沒有從他的才智之光正在驅散的霧霭中現身。
但本質上，對于所有坦誠而又愛探究的心靈來說，新的無限學說已經促進了對高等數學的掌控，這是因為，迄今為止，對于有些論證，我們雖在初次接觸時就正确地判斷它們是混亂和錯誤的，但一直都必須通過一個長期的複雜過程，去學習如何同意它們。
既然如此，我們遠未産生一種對理性的無畏的信念，即遠不能勇敢地拒絕任何不能滿足最嚴格的邏輯要求的東西；由于這一點，在過去的兩個世紀中，數學訓練助長了這樣的信念，即對于許多東西，一種嚴格的探究會把它們作為謬誤加以拒絕，但因為它們在數學家所謂的&ldquo實踐&rdquo中起作用，所以仍然必須被接受。
通過這種方法，一種膽小的妥協的精神，要不就是一種為俗人所無法理解的對神迹的神父式信念，已經在單獨由理性主宰的地方得到了培育。
現在是清除掉所有這一切的時候了；讓我們立即把真實的理論教給那些希望洞察數學秘密的人，而且這種教學要在相關實際存在物的真正本質所确立的連結中進行，并完全隻關心所涉及的理論的邏輯性質。
假如我們認為數學自身就是一種目标，而非是對工程師的一種技術訓練，那麼保持其推理的純粹性與嚴格性就是非常可取的。
因而，我們應該讓那些已充分了解其相對容易的部分的人，從已作為自明之理而得到他們同意的命題，回到先前作為前提出現的東西可以從中演繹出來的一些越來越基本的原理。
我們應該教導他們的是，許多命題對未經訓練的心靈而言似乎是自明的，但在近距離的審查之下仍被表明是錯誤的；無限理論很容易闡明這一點。
通過這種方法，他們将被引導着去對最先的原理作一種懷疑式的探究，即考察整個推理大廈建立于其上的基礎，或者說考察&mdash&mdash作一個也許更恰當的比喻&mdash&mdash擴展的樹枝由之長出的樹幹。
在這個階段，如果重新學習數學的基礎部分，且不再隻問一個特定的命題是否為真，也要問它是如何由中心邏輯原理演繹出來的，那将是合适的。
現在我們能夠準确并有把握地回答這種性質的問題了，而如果放在以前，這些問題完全不可能得到回答；并且，在這種回答所依賴的推理鍊條中，全部數學門類之間的那種統一性最終也将展現自身。
在絕大多數的數學課本中，完全缺少一種方法上的統一性以及對中心論題的一種系統的展開。
不同種類的命題通過任意一種被認為最容易理解的方法而得到證明，而且大量的證明空間被給予了對主要論證不起一點作用的單純求知欲。
但在最偉大的作品中，統一性和必然性是在一出戲劇的展開中被人感覺到的；在前提中，一個主題被提出來供人思考，而且就對其性質的把握而言，在随後的每一個步驟中，我們都會取得某種明确的進步。
對體系的愛，或者說，對相互聯系的愛，也許是知識沖動的最秘密的本質；這種愛能夠在數學中發現自由的空間，而在其他地方是發現不了的。
感受到這種沖動的學習者不可因一連串無意義的例子而産生厭惡，也不可因一些令人開心的怪異之物而分心，但我們必須鼓勵他們常常去思考中心原理，去熟悉放在他面前的各種不同主題的結構，去輕松完成更重要的演繹步驟。
通過這種方式，一種好的心境就養成了，并且選擇性注意力就習慣于先去思考重要和必要的東西。
當分門别類的數學課
