第四章 數學學科
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造一個有序的宇宙。
在這個宇宙中，純粹的思想，就像在其天然之家一樣，能夠栖息下來；而且在這裡，我們的高貴沖動中至少有一種可以逃避現實世界的令人沮喪的放逐。
然而，數學家們極少追求美，以至于他們的工作中幾乎沒有什麼東西具有這種自覺的意圖。
由于一些不可抗拒的本能（這些本能曾比被公開聲稱的信念更有效），許多工作都已被一種不自覺的趣味模型化了，但亦有許多工作已為在什麼是适當的這個問題上的錯誤觀念所損害。
僅在出現嚴格意義上的邏輯推理的地方，數學特有的卓越之處才會被發現；邏輯規則之于數學正如構造規則之于建築學。
在最出色的工作中，會呈現出一個證明的鍊條；在此鍊條中，每一個環節從其自身來說就是重要的，并且整個鍊條自始至終都有一種自然而又清晰的外觀。
此外，在證明中，通過一些看似自然而又不可不用的方法，從前提中引出的東西将比原先認為可能會得到的東西更多。
文學把一般的東西具體化于特殊的事實，而這些特殊事實的普遍意義顯露并貫穿于其個體化的外觀中；但是，數學努力呈現任何一種純粹意義上的極其一般的東西，而無任何不相關的裝飾。
應該如何進行數學教學，以便向學習者傳授盡可多的這種高級理想呢？這裡，經驗必須在很大程度上作為我們的指南；但是，一些基本原理可以從我們對将要獲得的終極意圖的思考中産生。
當以正确的方式傳授時，數學所服務的主要目标之一，就在于喚醒學習者對理性的信念和他對被證明之物的真理性及證明之價值的确信。
現行的教育活動并沒有滿足這種意圖；但是，我們容易看到它在其中可能被滿足的一些方面。
當前，在涉及算術的教學中，兒童被給予一組規則；這些規則自身既未表現為對的東西，亦未表現為錯的東西，而隻表現為教師的意志，即表現為教師因某種難以理解的理由而偏愛遊戲得以開展的方式。
從某種程度上講，在具有這樣的明确的實際功用的課程中，這種情況無疑是不可避免的；但是，應該盡早通過任何一種最容易對兒童産生吸引力的方法來闡述關于規則的理由。
在幾何學中，不應再有以靠不住的方式證明顯而易見的自明之理時所出現的那種冗長乏味的裝置；這些自明之理構成歐幾裡得幾何學的開端。
學習者應該首先被允許去假定一切顯而易見的東西的真理性，并應該在對某些定理的證明中得到訓練；所說的那些定理，指的是會立即讓人感到吃驚并容易通過實際畫圖而得以證實的定理，比如可以表明三條線或更多條線相交于一點的那些定理。
通過這種方式，信念就産生了；我們看到，推理可以導緻一些令人吃驚的結論，然而事實又将證實它們。
因此，對任何抽象的或理性的東西的本能上的不信任，就逐漸地被克服了。
在出現深奧定理的地方，那些定理應該首先在幾何畫圖時作為習題教給學習者，直至他們徹底熟悉圖形；然後，教之以所出現的各種線或圓的邏輯聯系就會是一種令人愉快的進步。
同樣值得期望的是，闡明一個定理的圖形應該畫在所有可能的例子與形态中，而且幾何學所關心的抽象關系，因此可自動作為如此巨大而又明顯的差異中的相似性之殘餘而出現。
通過這種方式，抽象證明應該隻形成教學活動的一小部分，而且當學習者通過熟悉具體的例子而意識到抽象證明是可見事實的自然體現時，我們就應該給出這樣的證明了。
在此早期階段，當進行證明時，我們不應該追求學究式的完美。
一些明顯錯誤的方法，比如疊加法，應該嚴格地從第一階段排除；但是，當因為沒有這樣的方法而導緻證明将會非常困難時，我們應該通過與證明形成清晰對比的論證和說明來讓結論變得可接受。
在代數學的開端，連最聰明的兒童通常也會感到有很大的困難。
字母的使用是一種神秘；除了使其神秘化外，這種使用沒有任何目的。
起初，兒童幾乎不可能不這樣想：每一個字母都代表某個特殊的數目，但願老師會洩露它代表什麼數目。
事實上，在代數學中，心靈首先被教導去思考一般真理，即被斷言不隻對于這種或那種特殊事物而是對整個一組事物中任何一個都有效的真理。
正是理解并發現這樣的真理的能力，才體現着智力對由現實的或可能的事物所構成的整個世界的掌控；而且處理一般本身的能力是數學教育應該贈予的禮物之一。
但是，代數學老師對把代數學從算術中分離出來的裂縫所能做出的解釋通常少得可憐，而且學習者在探索性地尋求理解時所得到的幫助也是少得可憐。
一般說來，算術中已被采納的方法會被繼續使用：一些規則是在其根據未得到充分解釋的情況下被陳述的；小學生們盲目地學習使用這些規則，而且不久，當他們能夠獲得老師想要的答案時，他們覺得自己已征服了這門學科的困難。
但是，在如何内在地理解所使用的這些步驟的問題上，他很可能幾乎什麼也沒有習得。
當既已學習代數學
在這個宇宙中，純粹的思想，就像在其天然之家一樣，能夠栖息下來；而且在這裡，我們的高貴沖動中至少有一種可以逃避現實世界的令人沮喪的放逐。
然而，數學家們極少追求美，以至于他們的工作中幾乎沒有什麼東西具有這種自覺的意圖。
由于一些不可抗拒的本能（這些本能曾比被公開聲稱的信念更有效），許多工作都已被一種不自覺的趣味模型化了，但亦有許多工作已為在什麼是适當的這個問題上的錯誤觀念所損害。
僅在出現嚴格意義上的邏輯推理的地方，數學特有的卓越之處才會被發現；邏輯規則之于數學正如構造規則之于建築學。
在最出色的工作中，會呈現出一個證明的鍊條；在此鍊條中，每一個環節從其自身來說就是重要的，并且整個鍊條自始至終都有一種自然而又清晰的外觀。
此外，在證明中，通過一些看似自然而又不可不用的方法，從前提中引出的東西将比原先認為可能會得到的東西更多。
文學把一般的東西具體化于特殊的事實，而這些特殊事實的普遍意義顯露并貫穿于其個體化的外觀中；但是，數學努力呈現任何一種純粹意義上的極其一般的東西，而無任何不相關的裝飾。
應該如何進行數學教學，以便向學習者傳授盡可多的這種高級理想呢？這裡，經驗必須在很大程度上作為我們的指南；但是，一些基本原理可以從我們對将要獲得的終極意圖的思考中産生。
當以正确的方式傳授時，數學所服務的主要目标之一，就在于喚醒學習者對理性的信念和他對被證明之物的真理性及證明之價值的确信。
現行的教育活動并沒有滿足這種意圖；但是，我們容易看到它在其中可能被滿足的一些方面。
當前，在涉及算術的教學中，兒童被給予一組規則；這些規則自身既未表現為對的東西，亦未表現為錯的東西，而隻表現為教師的意志，即表現為教師因某種難以理解的理由而偏愛遊戲得以開展的方式。
從某種程度上講，在具有這樣的明确的實際功用的課程中，這種情況無疑是不可避免的；但是，應該盡早通過任何一種最容易對兒童産生吸引力的方法來闡述關于規則的理由。
在幾何學中，不應再有以靠不住的方式證明顯而易見的自明之理時所出現的那種冗長乏味的裝置；這些自明之理構成歐幾裡得幾何學的開端。
學習者應該首先被允許去假定一切顯而易見的東西的真理性，并應該在對某些定理的證明中得到訓練；所說的那些定理，指的是會立即讓人感到吃驚并容易通過實際畫圖而得以證實的定理，比如可以表明三條線或更多條線相交于一點的那些定理。
通過這種方式，信念就産生了；我們看到，推理可以導緻一些令人吃驚的結論，然而事實又将證實它們。
因此，對任何抽象的或理性的東西的本能上的不信任，就逐漸地被克服了。
在出現深奧定理的地方，那些定理應該首先在幾何畫圖時作為習題教給學習者，直至他們徹底熟悉圖形；然後，教之以所出現的各種線或圓的邏輯聯系就會是一種令人愉快的進步。
同樣值得期望的是，闡明一個定理的圖形應該畫在所有可能的例子與形态中，而且幾何學所關心的抽象關系，因此可自動作為如此巨大而又明顯的差異中的相似性之殘餘而出現。
通過這種方式，抽象證明應該隻形成教學活動的一小部分，而且當學習者通過熟悉具體的例子而意識到抽象證明是可見事實的自然體現時，我們就應該給出這樣的證明了。
在此早期階段，當進行證明時，我們不應該追求學究式的完美。
一些明顯錯誤的方法，比如疊加法，應該嚴格地從第一階段排除；但是，當因為沒有這樣的方法而導緻證明将會非常困難時，我們應該通過與證明形成清晰對比的論證和說明來讓結論變得可接受。
在代數學的開端，連最聰明的兒童通常也會感到有很大的困難。
字母的使用是一種神秘；除了使其神秘化外，這種使用沒有任何目的。
起初，兒童幾乎不可能不這樣想：每一個字母都代表某個特殊的數目，但願老師會洩露它代表什麼數目。
事實上，在代數學中，心靈首先被教導去思考一般真理，即被斷言不隻對于這種或那種特殊事物而是對整個一組事物中任何一個都有效的真理。
正是理解并發現這樣的真理的能力，才體現着智力對由現實的或可能的事物所構成的整個世界的掌控；而且處理一般本身的能力是數學教育應該贈予的禮物之一。
但是，代數學老師對把代數學從算術中分離出來的裂縫所能做出的解釋通常少得可憐，而且學習者在探索性地尋求理解時所得到的幫助也是少得可憐。
一般說來，算術中已被采納的方法會被繼續使用：一些規則是在其根據未得到充分解釋的情況下被陳述的；小學生們盲目地學習使用這些規則，而且不久，當他們能夠獲得老師想要的答案時，他們覺得自己已征服了這門學科的困難。
但是，在如何内在地理解所使用的這些步驟的問題上，他很可能幾乎什麼也沒有習得。
當既已學習代數學
