第八章 無序定律
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2+X22+&hellip+Xn2=NX2，
其中X是各段路徑在X軸上投影的平均長度。
同樣，我們發現包含Y的第二個括号也能化為NY2，其中Y是各段路徑在Y軸上的平均投影。
這裡需要重複指出，我們方才所做的嚴格來講并非代數運算，而是基于統計觀點，即運動的随機性導緻&ldquo混和積&rdquo相互抵消。
現在，我們得到醉漢與燈柱最有可能的距離為： R2=N(X2+Y2) 或 。
但各個路徑在兩根軸上的平均投影就是45°的投影，因此 就等于路徑的平均長度（同樣由畢達哥拉斯定理得到）。
用1來表示它，我們便得到 R=1·。
換句話說，這個結果的意思是：醉鬼在沿着不規則路徑拐了很多次彎之後，與燈柱最有可能的距離等于每段路徑的平均長度乘以路徑數目的平方根。
因此，如果這個醉鬼每走1米就（以不可預測的角度）拐個彎，那麼走了100米之後，他與燈柱最有可能的距離隻有10米。
如果筆直走，不拐彎，與燈柱的距離就是100米。
這表明走路時頭腦清醒絕對有很大好處。
上面這個例子的統計性在于，我們所談的并非每一個個例中的精确距離，而是最有可能的距離。
一個醉鬼或許會沿直線離開燈柱，不拐彎（盡管這種情況不大可能發生），或許每一次都拐180°的彎，因此拐第二次彎時又會回到燈柱。
但如果有一大群醉鬼都從同一根燈柱出發，互不幹擾地沿不同的曲折路徑行走，那麼經過足夠長的時間之後，你會發現他們将分布在燈柱四周的某個區域，他們與燈柱的平均距離可以由上述規則計算出來。
圖81畫出了六個不規則行走的醉漢的分布情況。
不用說，醉漢的數量越多，無序行走過程中拐彎的次數越多，上述規則就越準确。
圖81 在燈柱附近行走的六個醉鬼的統計分布 現在，把一群醉鬼換成一些很小的物體，比如懸浮在液體中的植物花粉或細菌，你就會看到植物學家布朗在顯微鏡下看到的那種景象。
當然，花粉和細菌是不會醉酒的，但正如我們已經說過的，它們被周圍熱運動的分子朝四面八方不停地踢來踢去，因此不得不走出曲曲折折的軌迹，就像人在酒精的作用下完全失去方向感一樣。
如果透過顯微鏡觀察懸浮在水滴中的許多微粒的布朗運動，你可将注意力集中在某時聚集在某一小區域（靠近&ldquo燈柱&rdquo）中的一組微粒。
你會發現，随着時間的推移，它們會漸漸分散到整個視域，根據我們計算醉鬼距離時所依據的數學定律，它們與原點的平均距離将與時間的平方根成正比。
當然，這條定律也适用于水滴中的每一個分子。
但你看不到單個分子，即使看到了，也無法将它們區分開來。
要使這種運動變得可見，必須使用兩種不同類型的分子，比如可以憑借顔色區分開來。
現在，我們往一根化學試管裡注滿一半高錳酸鉀溶液，使水呈漂亮的紫色，再往上面注入一些清水，注意不要把這兩層液體混在一起。
我們會看到，紫色将逐漸滲透到清水中。
如果等待足夠長的時間，你會發現，全部液體從底到頂都變得顔色均一了（圖82）。
大家所熟知的這種現象被稱為擴散，是高錳酸鉀染料分子在水分子中的無規則熱運動所引起的。
我們可以設想每個高錳酸鉀分子都是一個小醉鬼，被其他分子不停地推來推去。
由于水分子（與氣體分子相比）排列非常緊密，因此每一個分子在連續兩次碰撞之間的平均自由程很短，隻有億分之一英寸左右。
另一方面，由于分子在室溫下的速度約為1/10英裡每秒，所以一個分子隻需一萬億分之一秒就會發生另一次碰撞。
于是在1秒鐘之内，每一個染料分子會發生萬億次的碰撞，運動方向也會改變萬億次。
它在第1秒鐘所走的平均距離将是億分之一英寸（平均自由程）乘以1萬億的平方根，這便是平均擴散速度，隻有百分之一英寸每秒。
如果不因碰撞而偏折，此分子1秒鐘之後将會跑到1/10英裡以外的地方去，由此可見這種擴散速度是相當慢的。
等上100秒鐘，分子會挪到10倍（=10）遠的地方；等上10000秒鐘，也就是大約3個小時，顔色才會擴散到100倍（=100）即大約1英寸遠的地方。
的确，擴散是個相當慢的過程。
所以如果你往茶杯裡放糖，最好是攪動一下，而不要等待糖分子自行運動到各處。
圖82 再來看一個擴散過程的例子，它是分子物理學中最重要的過程之一，讓我們考慮熱在鐵通條中的傳導方式。
将通條的一端置于壁爐中。
據經驗可知，要過很長時間，通條的另一端才會變得燙手。
但你也許不知道，熱是通過電子的擴散過程而沿着金屬棒傳導的。
無論是鐵通條還是其他金屬物體，内部都充滿了電子。
金屬與玻璃等其他材料之間的區别在于，金屬原子失去了一些外層電子，這些電子在金屬晶格中四處遊蕩，會像普通氣體粒子一樣參與不規則的熱運動。
金屬外邊界的表面力會阻止電子逸出，60而在金屬内部，電子的運動卻是幾乎完全自由的。
若給金屬絲加上一個電作用力，這些不受束縛的自由電子将會沿這個力的方向湧過去，産生電流。
而非金屬通常都是良好的絕緣體，因為它們的所有電子都被束縛在原子上，不能自由移動。
把金屬棒的一端置于火中，這部分金屬中自由電子的熱運動會大大加劇，這些高速運動的電子開始攜帶額外的熱能向其他區域擴散。
這個過程很像染料分子在水中的擴散，隻不過這裡不是兩種不同的粒子（水分子和染料分子），而是熱電子氣擴散到冷電子氣所占據的區域中。
不過，醉鬼走路的定律也适用于這裡，熱沿金屬棒傳導的距離與相應時間的平方根成正比。
作為擴散的最後一個例子，我們再舉一個具有宇宙意義的完全不同的案例。
接下來我們會看到，太陽的能量源于它自身内部深處的化學元素發生的嬗變。
這些能量以強輻射的形式得到釋放，&ldquo光微粒&rdquo或光量子開始了從太陽内部到太陽表面的漫長之旅。
由于光速是300000公裡每秒，而太陽的半徑僅為700000公裡，所以如果光量子沿直線移動而沒有任何偏離，那麼它隻需2秒多鐘就能跑出來。
但事實并非如此。
光量子在逸出過程中會與太陽物質中的原子和電子發生碰撞。
光量子在太陽物質中的自由程約為1厘米（比分子的自由程長得多！），而太陽的半徑是70000000000厘米，所以光量子需要像醉漢那樣拐(7×1010)2或5×1021個彎才能到達表面。
既然每一步需要花或3×10-11秒，所以整個旅行時間為3×10-11×5×1021＝1.5×1011秒，也就是5000年左右！這裡我們再次看到，擴散過程是何等緩慢啊。
從太陽中心到太陽表面，光要走50個世紀；而進入空虛的星際空間之後，光沿直線從太陽表面到達地球卻隻需8分鐘！ 三、計算概率 這個擴散例子隻是把概率的統計定律應用于分子運動問題的一個簡單例子。
在繼續進行讨論，以理解支配一切物體&mdash&mdash無論是微小的液滴，還是由恒星組成的浩瀚宇宙&mdash&mdash熱行為的至關重要的熵定律之前，我們先要了解如何計算不同的簡單事件或複雜事件的概率。
最簡單的概率計算問題出現在擲硬币的時候。
大家都知道，此時（如果不撒謊的話）硬币正面朝上和反面朝上的概率是相等的。
我們通常會說，正面朝上和反面朝上的可能性是一半對一半。
若把兩種可能性相加，便會得到=1。
概率論中的1意味着确定性。
擲硬币的時候，你其實非常确定，硬币不是正面朝上就是反面朝上，除非硬币滾到沙發下面不見了蹤影。
現在，如果你把一枚硬币連擲兩次，或者同時擲出兩枚硬币（這兩種情況是一樣的），那麼不難看出，結果會出現圖83所示的四種可能性。
圖83 擲兩枚硬币的四種可能組合 第一種情況是得到兩個正面，最後一種情況是得到兩個反面，而中間的兩種情況其實得到的是同樣的結果，因為正反面出現的順序（以及哪枚正面、哪枚反面）是無所謂的。
于是我們說，得到兩個正面的概率是，得到兩個反面的概率也是，得到一次正面、一次反面的機會是。
這裡同樣有++=1，這意味着在三種可能的組合當中，你必得其一。
現在我們再來看看将一枚硬币投擲三次的情況。
此時總共有8種可能性，總結如下表： 第一次投擲 正 正 正 正 反 反 反 反 第二次投擲 正 正 反 反 正 正 反 反 第三次投擲 正 反 正 反 正 反 正 反 Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅲ Ⅱ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 從這張表可以看出，擲出三次正面的概率是，擲出三次反面的概率也是，其餘的概率則被擲出二正一反和二反一正這兩種情況平分，即各為。
這張關于不同可能性的表正在迅速擴展，但我們還是看看将一枚硬币投擲四次時的情況。
這時有如下16種可能性： 第一次投擲正正正正正正正正反反反反反反反反 第二次投擲正正正正反反反反正正正正反反反反 第二次投擲正正反反正正反反正正反反正正反反 第四次投擲正反正反正反正反正反正反正反正反 ⅠⅡⅡⅢⅡⅢⅢⅣⅡⅢⅢⅣⅢⅣⅣⅤ 這裡擲出四個正面的概率為，擲出四個反面的概率也是。
擲出三正一反和三反一正的概率各為即，正反數目相等的概率為即。
随着投擲的次數越來越多，如果以類似的方式列下去，這張表會長得寫不完。
例如，若投擲十次，将會有2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024種可能性。
但我們根本不需要寫下這麼長的表，因為根據我們前面所列的那些簡單例子的表，就可以看出簡單的概率法則，并把它們直接運用于更為複雜的情況。
首先我們看到，擲出兩個正面的概率等于第一次和第二次均擲出正面的概率之積，即 ＝×。
同樣，我們發現包含Y的第二個括号也能化為NY2，其中Y是各段路徑在Y軸上的平均投影。
這裡需要重複指出，我們方才所做的嚴格來講并非代數運算，而是基于統計觀點，即運動的随機性導緻&ldquo混和積&rdquo相互抵消。
現在，我們得到醉漢與燈柱最有可能的距離為： R2=N(X2+Y2) 或 。
但各個路徑在兩根軸上的平均投影就是45°的投影，因此 就等于路徑的平均長度（同樣由畢達哥拉斯定理得到）。
用1來表示它，我們便得到 R=1·。
換句話說，這個結果的意思是：醉鬼在沿着不規則路徑拐了很多次彎之後，與燈柱最有可能的距離等于每段路徑的平均長度乘以路徑數目的平方根。
因此，如果這個醉鬼每走1米就（以不可預測的角度）拐個彎，那麼走了100米之後，他與燈柱最有可能的距離隻有10米。
如果筆直走，不拐彎，與燈柱的距離就是100米。
這表明走路時頭腦清醒絕對有很大好處。
上面這個例子的統計性在于，我們所談的并非每一個個例中的精确距離，而是最有可能的距離。
一個醉鬼或許會沿直線離開燈柱，不拐彎（盡管這種情況不大可能發生），或許每一次都拐180°的彎，因此拐第二次彎時又會回到燈柱。
但如果有一大群醉鬼都從同一根燈柱出發，互不幹擾地沿不同的曲折路徑行走，那麼經過足夠長的時間之後，你會發現他們将分布在燈柱四周的某個區域，他們與燈柱的平均距離可以由上述規則計算出來。
圖81畫出了六個不規則行走的醉漢的分布情況。
不用說，醉漢的數量越多，無序行走過程中拐彎的次數越多，上述規則就越準确。
圖81 在燈柱附近行走的六個醉鬼的統計分布 現在，把一群醉鬼換成一些很小的物體，比如懸浮在液體中的植物花粉或細菌，你就會看到植物學家布朗在顯微鏡下看到的那種景象。
當然，花粉和細菌是不會醉酒的，但正如我們已經說過的，它們被周圍熱運動的分子朝四面八方不停地踢來踢去，因此不得不走出曲曲折折的軌迹，就像人在酒精的作用下完全失去方向感一樣。
如果透過顯微鏡觀察懸浮在水滴中的許多微粒的布朗運動，你可将注意力集中在某時聚集在某一小區域（靠近&ldquo燈柱&rdquo）中的一組微粒。
你會發現，随着時間的推移，它們會漸漸分散到整個視域，根據我們計算醉鬼距離時所依據的數學定律，它們與原點的平均距離将與時間的平方根成正比。
當然，這條定律也适用于水滴中的每一個分子。
但你看不到單個分子，即使看到了，也無法将它們區分開來。
要使這種運動變得可見，必須使用兩種不同類型的分子，比如可以憑借顔色區分開來。
現在，我們往一根化學試管裡注滿一半高錳酸鉀溶液，使水呈漂亮的紫色，再往上面注入一些清水，注意不要把這兩層液體混在一起。
我們會看到，紫色将逐漸滲透到清水中。
如果等待足夠長的時間，你會發現，全部液體從底到頂都變得顔色均一了（圖82）。
大家所熟知的這種現象被稱為擴散，是高錳酸鉀染料分子在水分子中的無規則熱運動所引起的。
我們可以設想每個高錳酸鉀分子都是一個小醉鬼，被其他分子不停地推來推去。
由于水分子（與氣體分子相比）排列非常緊密，因此每一個分子在連續兩次碰撞之間的平均自由程很短，隻有億分之一英寸左右。
另一方面，由于分子在室溫下的速度約為1/10英裡每秒，所以一個分子隻需一萬億分之一秒就會發生另一次碰撞。
于是在1秒鐘之内，每一個染料分子會發生萬億次的碰撞，運動方向也會改變萬億次。
它在第1秒鐘所走的平均距離将是億分之一英寸（平均自由程）乘以1萬億的平方根，這便是平均擴散速度，隻有百分之一英寸每秒。
如果不因碰撞而偏折，此分子1秒鐘之後将會跑到1/10英裡以外的地方去，由此可見這種擴散速度是相當慢的。
等上100秒鐘，分子會挪到10倍（=10）遠的地方；等上10000秒鐘，也就是大約3個小時，顔色才會擴散到100倍（=100）即大約1英寸遠的地方。
的确，擴散是個相當慢的過程。
所以如果你往茶杯裡放糖，最好是攪動一下，而不要等待糖分子自行運動到各處。
圖82 再來看一個擴散過程的例子，它是分子物理學中最重要的過程之一，讓我們考慮熱在鐵通條中的傳導方式。
将通條的一端置于壁爐中。
據經驗可知，要過很長時間，通條的另一端才會變得燙手。
但你也許不知道，熱是通過電子的擴散過程而沿着金屬棒傳導的。
無論是鐵通條還是其他金屬物體，内部都充滿了電子。
金屬與玻璃等其他材料之間的區别在于，金屬原子失去了一些外層電子，這些電子在金屬晶格中四處遊蕩，會像普通氣體粒子一樣參與不規則的熱運動。
金屬外邊界的表面力會阻止電子逸出，60而在金屬内部，電子的運動卻是幾乎完全自由的。
若給金屬絲加上一個電作用力，這些不受束縛的自由電子将會沿這個力的方向湧過去，産生電流。
而非金屬通常都是良好的絕緣體，因為它們的所有電子都被束縛在原子上，不能自由移動。
把金屬棒的一端置于火中，這部分金屬中自由電子的熱運動會大大加劇，這些高速運動的電子開始攜帶額外的熱能向其他區域擴散。
這個過程很像染料分子在水中的擴散，隻不過這裡不是兩種不同的粒子（水分子和染料分子），而是熱電子氣擴散到冷電子氣所占據的區域中。
不過，醉鬼走路的定律也适用于這裡，熱沿金屬棒傳導的距離與相應時間的平方根成正比。
作為擴散的最後一個例子，我們再舉一個具有宇宙意義的完全不同的案例。
接下來我們會看到，太陽的能量源于它自身内部深處的化學元素發生的嬗變。
這些能量以強輻射的形式得到釋放，&ldquo光微粒&rdquo或光量子開始了從太陽内部到太陽表面的漫長之旅。
由于光速是300000公裡每秒，而太陽的半徑僅為700000公裡，所以如果光量子沿直線移動而沒有任何偏離，那麼它隻需2秒多鐘就能跑出來。
但事實并非如此。
光量子在逸出過程中會與太陽物質中的原子和電子發生碰撞。
光量子在太陽物質中的自由程約為1厘米（比分子的自由程長得多！），而太陽的半徑是70000000000厘米，所以光量子需要像醉漢那樣拐(7×1010)2或5×1021個彎才能到達表面。
既然每一步需要花或3×10-11秒，所以整個旅行時間為3×10-11×5×1021＝1.5×1011秒，也就是5000年左右！這裡我們再次看到，擴散過程是何等緩慢啊。
從太陽中心到太陽表面，光要走50個世紀；而進入空虛的星際空間之後，光沿直線從太陽表面到達地球卻隻需8分鐘！ 三、計算概率 這個擴散例子隻是把概率的統計定律應用于分子運動問題的一個簡單例子。
在繼續進行讨論，以理解支配一切物體&mdash&mdash無論是微小的液滴，還是由恒星組成的浩瀚宇宙&mdash&mdash熱行為的至關重要的熵定律之前，我們先要了解如何計算不同的簡單事件或複雜事件的概率。
最簡單的概率計算問題出現在擲硬币的時候。
大家都知道，此時（如果不撒謊的話）硬币正面朝上和反面朝上的概率是相等的。
我們通常會說，正面朝上和反面朝上的可能性是一半對一半。
若把兩種可能性相加，便會得到=1。
概率論中的1意味着确定性。
擲硬币的時候，你其實非常确定，硬币不是正面朝上就是反面朝上，除非硬币滾到沙發下面不見了蹤影。
現在，如果你把一枚硬币連擲兩次，或者同時擲出兩枚硬币（這兩種情況是一樣的），那麼不難看出，結果會出現圖83所示的四種可能性。
圖83 擲兩枚硬币的四種可能組合 第一種情況是得到兩個正面，最後一種情況是得到兩個反面，而中間的兩種情況其實得到的是同樣的結果，因為正反面出現的順序（以及哪枚正面、哪枚反面）是無所謂的。
于是我們說，得到兩個正面的概率是，得到兩個反面的概率也是，得到一次正面、一次反面的機會是。
這裡同樣有++=1，這意味着在三種可能的組合當中，你必得其一。
現在我們再來看看将一枚硬币投擲三次的情況。
此時總共有8種可能性，總結如下表： 第一次投擲 正 正 正 正 反 反 反 反 第二次投擲 正 正 反 反 正 正 反 反 第三次投擲 正 反 正 反 正 反 正 反 Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅲ Ⅱ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 從這張表可以看出，擲出三次正面的概率是，擲出三次反面的概率也是，其餘的概率則被擲出二正一反和二反一正這兩種情況平分，即各為。
這張關于不同可能性的表正在迅速擴展，但我們還是看看将一枚硬币投擲四次時的情況。
這時有如下16種可能性： 第一次投擲正正正正正正正正反反反反反反反反 第二次投擲正正正正反反反反正正正正反反反反 第二次投擲正正反反正正反反正正反反正正反反 第四次投擲正反正反正反正反正反正反正反正反 ⅠⅡⅡⅢⅡⅢⅢⅣⅡⅢⅢⅣⅢⅣⅣⅤ 這裡擲出四個正面的概率為，擲出四個反面的概率也是。
擲出三正一反和三反一正的概率各為即，正反數目相等的概率為即。
随着投擲的次數越來越多，如果以類似的方式列下去，這張表會長得寫不完。
例如，若投擲十次，将會有2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024種可能性。
但我們根本不需要寫下這麼長的表，因為根據我們前面所列的那些簡單例子的表，就可以看出簡單的概率法則，并把它們直接運用于更為複雜的情況。
首先我們看到，擲出兩個正面的概率等于第一次和第二次均擲出正面的概率之積，即 ＝×。