第八章 無序定律
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同樣，接連擲出三個正面和四個正面的概率也為每一次均擲出正面的概率之積，即
＝××；=×××。
于是，如果問連擲10次均擲出正面的機會有多大，你隻需把自乘10次便可得到答案，結果是0.00098。
這表明出現這種情況的機會其實非常小，大約一千次中隻有一次！這便是&ldquo概率相乘&rdquo規則，它說的是：如果你想得到幾個不同的事物，你可以把單獨得到每一個事物的數學概率相乘而得到總的數學概率。
如果你想得到許多個事物，而每一個事物都不那麼有把握得到，那麼你得到所有這些東西的機會實在是小得可憐！ 此外還有一條&ldquo概率相加&rdquo規則，它說的是：如果你隻想得到幾個事物當中的一個（無論哪個都行），那麼這個概率将等于得到單個事物的數學概率之和。
投擲同一個硬币兩次、得到正面反面各一的例子很容易說明這條規則。
你這裡想要的要麼是&ldquo先正後反&rdquo，要麼是&ldquo先反後正&rdquo，其中每一種組合的概率都是，因此得到其中任何一種的概率為+=。
于是，如果你想求&ldquo既有這個，又有那個，還有那個，&hellip&hellip&rdquo的概率，就應把各項單獨的數學概率相乘；如果你想求&ldquo這個，或那個，或那個，&hellip&hellip&rdquo的概率，就應把各項單獨的數學概率相加。
在前一種情況下，你什麼事物都想要，那麼你想要的事物越多，這種機會就越小；在後一種情況下，你隻想要其中某一個事物，那麼可供選擇的事物清單越長，你得到滿足的機會就越大。
如果試驗的次數很多，概率定律就會變得更加精确。
投擲硬币的實驗是一個很好的例證。
圖84顯示了這一點，它給出了投擲兩次、三次、四次、十次和一百次硬币時得到正面和反面相對次數的概率。
從圖中可以看出，随着投擲次數的增多，概率曲線變得越來越尖銳，正面和反面各占一半時出現的極大值也變得越來越顯著。
因此，如果投擲兩次、三次甚或四次，每一次均得到正面或反面的機會仍然很大。
而若投擲十次，甚至連90%是正面或反面的機會都不大可能出現。
如果投擲次數更多，比如一百或一千次，那麼概率曲線會變得像針一樣尖，哪怕隻是稍稍偏離一半對一半的分布，也已經變得幾乎不可能。
圖84 得到正面和反面的相對次數 現在，讓我們用剛剛學到的簡單的概率計算規則來判斷在一種著名的撲克牌遊戲中，五張牌的各種不同組合的相對概率是多少。
我先來簡單介紹一下這個遊戲：每位玩家摸五張牌，得到最高組合者赢。
這裡我們不考慮為獲得更好的牌而交換幾張牌所增加的複雜性，也不考慮虛張聲勢吓唬對方相信你有一手好牌而認輸的心理策略&mdash&mdash雖然虛張聲勢才是這種遊戲的核心，并使著名的丹麥物理學家玻爾（NielsBohr）提出了一種全新的遊戲：無須用牌，玩家們隻需談論自己想象中的組合來吓唬對方就行。
這完全超出了概率計算的領域而成了一個純粹心理學的問題。
作為概率計算的練習，現在我們來計算一下這種撲克牌遊戲中出現某些組合的概率。
其中一種組合被稱為&ldquo同花&rdquo，即五張牌均屬于同一花色（圖85）。
圖85 同花（黑桃） 要想摸到同花，第一張牌是什麼無關緊要，隻要計算出另外四張也是同一花色的概率就行了。
一副牌共有52張，每種花色有13張，61因此摸去第一張牌之後，這種花色就隻剩12張了。
于是，第二張牌也屬于這一花色的概率為。
同樣，第三、第四、第五張牌也屬于同一花色的概率分别為、和。
既然希望所有五張牌都是同一花色，就需要用到概率乘法規則。
你會發現，得到同花的概率為： 。
但不要以為每玩500次就肯定能摸到一次同花。
你也許一次都摸不到，也可能摸到兩次。
這裡隻是概率計算。
你可能連摸500多次一次同花也摸不到，也可能第一次就摸個同花。
概率論所講的隻是，摸500次可能會摸到一次同花。
根據同樣的計算方法你也可以得知，玩這種遊戲3000萬次，大約會有10次摸到5張A牌（包括&ldquo百搭&rdquo在内）。
另一種撲克牌組合被稱為&ldquo滿堂紅&rdquo［有三張相同及另兩張相同的一手牌］（fullhand，亦作fullhouse），它更為罕見，因此也更有價值。
&ldquo滿堂紅&rdquo由一個&ldquo對&rdquo和一個&ldquo三條&rdquo所組成（即有兩張牌為兩種花色的同一點數，另外三張牌為三種花色的另一點數，比如圖86所示的兩個5和三個Q）。
圖86 滿堂紅 要想得到滿堂紅，頭兩張牌是什麼無關緊要，但摸到這兩張牌之後，後三張牌當中必須有兩張與頭兩張之一的點數相同，第三張與另一張的點數相同。
由于還有六張牌可以符合點數（如果已經摸到一張5和一張Q，那就還有三張5和三張Q），所以第三張牌符合要求的機會是。
由于在剩下的49張牌中隻有5張符合要求的牌，所以第四張牌也符合要求的機會是。
第五張也符合要求的機會是。
因此，得到滿堂紅的總概率為： ， 這大約是得到同花概率的一半。
以類似的方法，還能計算出&ldquo順子&rdquo（即點數連續的幾張牌）等其他組合的概率，以及因&ldquo百搭&rdquo的存在和換牌的可能性所導緻的概率變化。
通過這種計算我們發現，撲克牌中使用的級别次序的确對應于數學概率的次序。
我不知道這種安排是以前的某位數學家提出來的，還是全世界的數百萬賭徒冒着喪失财富的危險，在經常光顧的賭窟裡純粹由經驗确立的。
如果是後者，我們得承認，這是一個關于複雜事件相對概率的極好的統計研究課題！ 概率計算的另一個有趣例子是&ldquo生日重合&rdquo問題，它會引出非常出乎意料的回答。
回想一下，你是否曾在同一天受邀參加兩個不同的生日宴會。
你也許會說，收到兩份邀請的機會很小，因為你大約隻有24位朋友可能邀請你，而他們的生日有一年的365天可以選擇呢！既然有那麼多可能的日期可供選擇，你的24位朋友中有兩人同日吃蛋糕的可能性一定非常小吧。
然而，雖然聽起來似乎令人難以置信，但你的判斷絕對是錯誤的。
事實上，在這24個人當中，有一對甚至幾對人生日重合的概率是相當高的，出現重合的概率其實比不出現重合的概率還要大。
要想證明這個事實，你可以列出一張包含24人左右的生日表，或者幹脆從《美國名人錄》之類的工具書上随機選出24個人，對他們的生日進行比較。
我們還可以運用在擲硬币和撲克牌的問題中已經熟悉的簡單的概率計算規則來确定這些概率。
我們先來計算24個人生日各不重合的概率。
先看第一個人的生日是哪天，當然，這可以是一年當中的任何一天。
那麼，第二個人的生日與第一個人不相重合的概率有多大呢？由于這個（第二個）人可以出生在一年當中的任何一天，所以他的生日與第一個人重合的概率為，不相重合的概率為。
同樣，第三個人的生日與前兩個人都不重合的概率為，因為一年中有兩天已被排除。
接下來的人的生日與前面任何一個人都不重合的概率依次為，，等，最後一個人的概率為即。
由于我們想知道這些生日當中存在一次重合的概率，我們須将以上所有這些分數相乘，這樣便得到了所有這些人的生日都不重合的概率： 。
如果使用某些高等數學方法，幾分鐘便可算得乘積。
但如果不懂這些方法，就隻能辛苦地将它直接乘出來了，62不過這也費不了太多時間。
結果約為0.46，這表明生日都不重合的概率稍小于一半。
換句話說，在你的這24位朋友當中，任何兩人生日都不重合的概率為46%，有兩人或更多人生日重合的概率為54%。
于是，如果你有25個或更多個朋友，卻從未在同一天受邀參加兩場生日宴會，那麼你就可以相當确定地斷言，要麼你的大多數朋友并未組織生日宴會，要麼他們根本沒有邀請你去！ 生日重合問題是一個很好的例子，說明在判斷複雜事件的概率時，常識判斷可能是完全錯誤的。
我曾問過很多人這個問題，包括不少著名的科學家，但除一個人以外，所有人都下了從2:1到15:1的賭注打賭說，這種重合不會發生。
倘若那位老兄接受了所有這些賭注，他現在已經發财了！ 需要反複強調的是，即使我們能按照既定的規則将不同事件的概率計算出來，并且挑出其中最有可能發生的事件，我們也根本不确定這就是即将發生的事情。
除非我們檢驗數千次、數百萬次甚至數十億次，否則就隻能推測說&ldquo可能&rdquo會怎樣，而不是&ldquo一定&rdquo會怎樣。
如果隻作少數幾次檢驗，概率定律就不那麼管用了。
我們來看一個用統計分析來破譯一小段密碼的例子。
比如愛倫·坡（EdgarAllanPoe）在其著名小說《金甲蟲》（TheGoldBug）中描寫了一位勒格讓（Legrand）先生，他在南卡羅來納荒涼的海灘上散步時撿到了一張半埋入濕沙的羊皮紙。
在勒格讓先生的海濱小屋裡用火烘烤之後，這張羊皮紙上顯示出了一些神秘的墨水筆迹，這些筆迹在冷的時候看不見，加熱後則轉為紅色，變得清晰可讀。
其中有一個頭蓋骨，暗示這份文件是一個海盜寫的；還有一個山羊頭，證明這位海盜正是著名的基德（Kidd）63船長；還有幾行印刷符号，似乎在暗示一處藏寶地點（見圖87）。
圖87 基德船長的訊息 讓我們按照愛倫·坡的說法，相信17世紀的海盜熟悉分号、引号等排印符号以及、、¶等符号。
勒格讓先生急于得到這筆錢，遂絞盡腦汁想破譯這段神秘的密碼。
最後，他基于不同英文字母出現的相對頻率進行破譯。
其方法的根據在于，任何
于是，如果問連擲10次均擲出正面的機會有多大，你隻需把自乘10次便可得到答案，結果是0.00098。
這表明出現這種情況的機會其實非常小，大約一千次中隻有一次！這便是&ldquo概率相乘&rdquo規則，它說的是：如果你想得到幾個不同的事物，你可以把單獨得到每一個事物的數學概率相乘而得到總的數學概率。
如果你想得到許多個事物，而每一個事物都不那麼有把握得到，那麼你得到所有這些東西的機會實在是小得可憐！ 此外還有一條&ldquo概率相加&rdquo規則，它說的是：如果你隻想得到幾個事物當中的一個（無論哪個都行），那麼這個概率将等于得到單個事物的數學概率之和。
投擲同一個硬币兩次、得到正面反面各一的例子很容易說明這條規則。
你這裡想要的要麼是&ldquo先正後反&rdquo，要麼是&ldquo先反後正&rdquo，其中每一種組合的概率都是，因此得到其中任何一種的概率為+=。
于是，如果你想求&ldquo既有這個，又有那個，還有那個，&hellip&hellip&rdquo的概率，就應把各項單獨的數學概率相乘；如果你想求&ldquo這個，或那個，或那個，&hellip&hellip&rdquo的概率，就應把各項單獨的數學概率相加。
在前一種情況下，你什麼事物都想要，那麼你想要的事物越多，這種機會就越小；在後一種情況下，你隻想要其中某一個事物，那麼可供選擇的事物清單越長，你得到滿足的機會就越大。
如果試驗的次數很多，概率定律就會變得更加精确。
投擲硬币的實驗是一個很好的例證。
圖84顯示了這一點，它給出了投擲兩次、三次、四次、十次和一百次硬币時得到正面和反面相對次數的概率。
從圖中可以看出，随着投擲次數的增多，概率曲線變得越來越尖銳，正面和反面各占一半時出現的極大值也變得越來越顯著。
因此，如果投擲兩次、三次甚或四次，每一次均得到正面或反面的機會仍然很大。
而若投擲十次，甚至連90%是正面或反面的機會都不大可能出現。
如果投擲次數更多，比如一百或一千次，那麼概率曲線會變得像針一樣尖，哪怕隻是稍稍偏離一半對一半的分布，也已經變得幾乎不可能。
圖84 得到正面和反面的相對次數 現在，讓我們用剛剛學到的簡單的概率計算規則來判斷在一種著名的撲克牌遊戲中，五張牌的各種不同組合的相對概率是多少。
我先來簡單介紹一下這個遊戲：每位玩家摸五張牌，得到最高組合者赢。
這裡我們不考慮為獲得更好的牌而交換幾張牌所增加的複雜性，也不考慮虛張聲勢吓唬對方相信你有一手好牌而認輸的心理策略&mdash&mdash雖然虛張聲勢才是這種遊戲的核心，并使著名的丹麥物理學家玻爾（NielsBohr）提出了一種全新的遊戲：無須用牌，玩家們隻需談論自己想象中的組合來吓唬對方就行。
這完全超出了概率計算的領域而成了一個純粹心理學的問題。
作為概率計算的練習，現在我們來計算一下這種撲克牌遊戲中出現某些組合的概率。
其中一種組合被稱為&ldquo同花&rdquo，即五張牌均屬于同一花色（圖85）。
圖85 同花（黑桃） 要想摸到同花，第一張牌是什麼無關緊要，隻要計算出另外四張也是同一花色的概率就行了。
一副牌共有52張，每種花色有13張，61因此摸去第一張牌之後，這種花色就隻剩12張了。
于是，第二張牌也屬于這一花色的概率為。
同樣，第三、第四、第五張牌也屬于同一花色的概率分别為、和。
既然希望所有五張牌都是同一花色，就需要用到概率乘法規則。
你會發現，得到同花的概率為： 。
但不要以為每玩500次就肯定能摸到一次同花。
你也許一次都摸不到，也可能摸到兩次。
這裡隻是概率計算。
你可能連摸500多次一次同花也摸不到，也可能第一次就摸個同花。
概率論所講的隻是，摸500次可能會摸到一次同花。
根據同樣的計算方法你也可以得知，玩這種遊戲3000萬次，大約會有10次摸到5張A牌（包括&ldquo百搭&rdquo在内）。
另一種撲克牌組合被稱為&ldquo滿堂紅&rdquo［有三張相同及另兩張相同的一手牌］（fullhand，亦作fullhouse），它更為罕見，因此也更有價值。
&ldquo滿堂紅&rdquo由一個&ldquo對&rdquo和一個&ldquo三條&rdquo所組成（即有兩張牌為兩種花色的同一點數，另外三張牌為三種花色的另一點數，比如圖86所示的兩個5和三個Q）。
圖86 滿堂紅 要想得到滿堂紅，頭兩張牌是什麼無關緊要，但摸到這兩張牌之後，後三張牌當中必須有兩張與頭兩張之一的點數相同，第三張與另一張的點數相同。
由于還有六張牌可以符合點數（如果已經摸到一張5和一張Q，那就還有三張5和三張Q），所以第三張牌符合要求的機會是。
由于在剩下的49張牌中隻有5張符合要求的牌，所以第四張牌也符合要求的機會是。
第五張也符合要求的機會是。
因此，得到滿堂紅的總概率為： ， 這大約是得到同花概率的一半。
以類似的方法，還能計算出&ldquo順子&rdquo（即點數連續的幾張牌）等其他組合的概率，以及因&ldquo百搭&rdquo的存在和換牌的可能性所導緻的概率變化。
通過這種計算我們發現，撲克牌中使用的級别次序的确對應于數學概率的次序。
我不知道這種安排是以前的某位數學家提出來的，還是全世界的數百萬賭徒冒着喪失财富的危險，在經常光顧的賭窟裡純粹由經驗确立的。
如果是後者，我們得承認，這是一個關于複雜事件相對概率的極好的統計研究課題！ 概率計算的另一個有趣例子是&ldquo生日重合&rdquo問題，它會引出非常出乎意料的回答。
回想一下，你是否曾在同一天受邀參加兩個不同的生日宴會。
你也許會說，收到兩份邀請的機會很小，因為你大約隻有24位朋友可能邀請你，而他們的生日有一年的365天可以選擇呢！既然有那麼多可能的日期可供選擇，你的24位朋友中有兩人同日吃蛋糕的可能性一定非常小吧。
然而，雖然聽起來似乎令人難以置信，但你的判斷絕對是錯誤的。
事實上，在這24個人當中，有一對甚至幾對人生日重合的概率是相當高的，出現重合的概率其實比不出現重合的概率還要大。
要想證明這個事實，你可以列出一張包含24人左右的生日表，或者幹脆從《美國名人錄》之類的工具書上随機選出24個人，對他們的生日進行比較。
我們還可以運用在擲硬币和撲克牌的問題中已經熟悉的簡單的概率計算規則來确定這些概率。
我們先來計算24個人生日各不重合的概率。
先看第一個人的生日是哪天，當然，這可以是一年當中的任何一天。
那麼，第二個人的生日與第一個人不相重合的概率有多大呢？由于這個（第二個）人可以出生在一年當中的任何一天，所以他的生日與第一個人重合的概率為，不相重合的概率為。
同樣，第三個人的生日與前兩個人都不重合的概率為，因為一年中有兩天已被排除。
接下來的人的生日與前面任何一個人都不重合的概率依次為，，等，最後一個人的概率為即。
由于我們想知道這些生日當中存在一次重合的概率，我們須将以上所有這些分數相乘，這樣便得到了所有這些人的生日都不重合的概率： 。
如果使用某些高等數學方法，幾分鐘便可算得乘積。
但如果不懂這些方法，就隻能辛苦地将它直接乘出來了，62不過這也費不了太多時間。
結果約為0.46，這表明生日都不重合的概率稍小于一半。
換句話說，在你的這24位朋友當中，任何兩人生日都不重合的概率為46%，有兩人或更多人生日重合的概率為54%。
于是，如果你有25個或更多個朋友，卻從未在同一天受邀參加兩場生日宴會，那麼你就可以相當确定地斷言，要麼你的大多數朋友并未組織生日宴會，要麼他們根本沒有邀請你去！ 生日重合問題是一個很好的例子，說明在判斷複雜事件的概率時，常識判斷可能是完全錯誤的。
我曾問過很多人這個問題，包括不少著名的科學家，但除一個人以外，所有人都下了從2:1到15:1的賭注打賭說，這種重合不會發生。
倘若那位老兄接受了所有這些賭注，他現在已經發财了！ 需要反複強調的是，即使我們能按照既定的規則将不同事件的概率計算出來，并且挑出其中最有可能發生的事件，我們也根本不确定這就是即将發生的事情。
除非我們檢驗數千次、數百萬次甚至數十億次，否則就隻能推測說&ldquo可能&rdquo會怎樣，而不是&ldquo一定&rdquo會怎樣。
如果隻作少數幾次檢驗，概率定律就不那麼管用了。
我們來看一個用統計分析來破譯一小段密碼的例子。
比如愛倫·坡（EdgarAllanPoe）在其著名小說《金甲蟲》（TheGoldBug）中描寫了一位勒格讓（Legrand）先生，他在南卡羅來納荒涼的海灘上散步時撿到了一張半埋入濕沙的羊皮紙。
在勒格讓先生的海濱小屋裡用火烘烤之後，這張羊皮紙上顯示出了一些神秘的墨水筆迹，這些筆迹在冷的時候看不見，加熱後則轉為紅色，變得清晰可讀。
其中有一個頭蓋骨，暗示這份文件是一個海盜寫的；還有一個山羊頭，證明這位海盜正是著名的基德（Kidd）63船長；還有幾行印刷符号，似乎在暗示一處藏寶地點（見圖87）。
圖87 基德船長的訊息 讓我們按照愛倫·坡的說法，相信17世紀的海盜熟悉分号、引号等排印符号以及、、¶等符号。
勒格讓先生急于得到這筆錢，遂絞盡腦汁想破譯這段神秘的密碼。
最後，他基于不同英文字母出現的相對頻率進行破譯。
其方法的根據在于，任何