第四章 四維世界
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用布遮住一根尺子，揮動一下魔杖，念念&ldquo空間去，時間來，變&rdquo這樣的咒語，就能把它變成一個閃閃發光的全新鬧鐘！甚至連偉大的愛因斯坦也不例外。
（圖33） 圖33 愛因斯坦教授從來就做不到這個，但他做的比這強得多 于是，若要在畢達哥拉斯公式中将時間與空間結合成一體，就必須采用某種不尋常的方法，以保留它們的一些自然差别。
根據愛因斯坦的看法，在推廣的畢達哥拉斯定理的數學表達式中，可以通過在時間坐标的平方前使用負号來強調空間距離與時間延續之間的物理差别。
這樣一來，兩個事件之間的四維距離就可以表示成三個空間坐标的平方和減去時間坐标的平方，然後開平方。
當然，首先要用空間單位來表示時間坐标。
于是，銀行遭劫與飛機撞擊帝國大廈之間的四維距離應當這樣來計算： 。
第四項之所以比前三項大得多，是因為這個例子來自&ldquo日常生活&rdquo，而以日常生活的标準來看，合理的時間單位的确太小了。
如果不是以紐約市發生的兩個事件，而是以宇宙中發生的一個事件作為例子，我們就能得到大小更為相當的數值了。
例如，第一個事件是1946年7月1日上午9點整一顆原子彈在比基尼環礁爆炸，第二個事件是同一天上午9點10分一顆隕石落在火星表面，其時間間隔即為540000000000光英尺，空間距離則約為650000000000英尺，兩者大小相當。
在這個例子中，兩個事件之間的四維距離是： 英尺=36×1010英尺， 在數值上與純空間距離和純時間間隔都非常不同。
當然，有人也許會反對這樣一種看似不合理的幾何學，因為它對其中一個坐标的處理不同于其他三個坐标。
但不要忘了，任何旨在描述物理世界的數學系統都必須符合事物；如果空間和時間在其四維結合中的表現的确有所不同，那麼四維幾何學的定律也必須有對應的樣式。
而且還有一種簡單的數學補救辦法，可以使愛因斯坦的時空幾何學看起來與我們在學校裡學習的古老而美好的歐幾裡得幾何學完全一樣。
這種補救辦法就是把第四個坐标看成純虛數，它是德國數學家闵可夫斯基（HermannMinkovskij）提出的。
大家也許還記得，本書第二章講過，一個普通的數乘以就成了一個虛數，用這種虛數來解各種幾何學問題是非常方便的。
于是，根據闵可夫斯基的說法，要把時間看成第四個坐标，不僅要用空間單位來表示它，還要乘以。
這樣一來，那個例子中的四個坐标距離就成了： 第一坐标：3200英尺 第二坐标：400英尺 第三坐标：936英尺 第四坐标：8×1011i光英尺。
現在，我們也許可以把四維距離定義為所有四個坐标距離的平方和的平方根了。
事實上，由于虛數的平方總是負的，所以用闵可夫斯基坐标寫出的普通畢達哥拉斯公式将與用愛因斯坦坐标寫出的似乎不太合理的公式在數學上等價。
有一個故事，說的是一位患風濕病的老人問自己的健康朋友是如何避免這種病的。
回答是：&ldquo我這輩子每天早上都會洗個冷水澡。
&rdquo &ldquo噢，&rdquo前者喊道，&ldquo那你是患了冷水澡病！&rdquo 于是，如果你不喜歡那個似乎會引起風濕病的畢達哥拉斯定理，你可以把它改成虛時間坐标這種冷水澡病。
由于時空世界裡的第四個坐标是虛的，所以必須考慮兩種在物理上不同的四維距離。
事實上，在前面讨論的紐約事件那樣的情況下，兩個事件之間的三維距離在數值上要小于時間間隔（用恰當的單位），畢達哥拉斯定理中根号下的數是負的，所以我們得到的推廣的四維距離是虛的。
而在其他一些情況下，時間延續要小于空間距離，因此根号下得到的是正數，這當然意味着在這些情況下，兩個事件之間的四維距離是實的。
如上所述，既然空間距離被看成實的，而時間延續被看成純虛的，我們也許可以說，實的四維距離與普通的空間距離關系更近，而虛的四維距離與時間間隔關系更近。
根據闵可夫斯基使用的術語，前一種四維距離被稱為類空（raumartig）間隔，後一種被稱為類時（zeitartig）間隔。
我們将在下一章看到，類空間隔可以轉變為正規的空間距離，類時間隔也可以轉變為正規的時間間隔。
然而，這兩者一個為實數，一個為虛數，這給時空的相互轉變造成了不可逾越的障礙，因此我們不可能把尺子變成時鐘，也不可能把時鐘變成尺子。
（圖33） 圖33 愛因斯坦教授從來就做不到這個，但他做的比這強得多 于是，若要在畢達哥拉斯公式中将時間與空間結合成一體，就必須采用某種不尋常的方法，以保留它們的一些自然差别。
根據愛因斯坦的看法，在推廣的畢達哥拉斯定理的數學表達式中，可以通過在時間坐标的平方前使用負号來強調空間距離與時間延續之間的物理差别。
這樣一來，兩個事件之間的四維距離就可以表示成三個空間坐标的平方和減去時間坐标的平方，然後開平方。
當然，首先要用空間單位來表示時間坐标。
于是，銀行遭劫與飛機撞擊帝國大廈之間的四維距離應當這樣來計算： 。
第四項之所以比前三項大得多，是因為這個例子來自&ldquo日常生活&rdquo，而以日常生活的标準來看，合理的時間單位的确太小了。
如果不是以紐約市發生的兩個事件，而是以宇宙中發生的一個事件作為例子，我們就能得到大小更為相當的數值了。
例如，第一個事件是1946年7月1日上午9點整一顆原子彈在比基尼環礁爆炸，第二個事件是同一天上午9點10分一顆隕石落在火星表面，其時間間隔即為540000000000光英尺，空間距離則約為650000000000英尺，兩者大小相當。
在這個例子中，兩個事件之間的四維距離是： 英尺=36×1010英尺， 在數值上與純空間距離和純時間間隔都非常不同。
當然，有人也許會反對這樣一種看似不合理的幾何學，因為它對其中一個坐标的處理不同于其他三個坐标。
但不要忘了，任何旨在描述物理世界的數學系統都必須符合事物；如果空間和時間在其四維結合中的表現的确有所不同，那麼四維幾何學的定律也必須有對應的樣式。
而且還有一種簡單的數學補救辦法，可以使愛因斯坦的時空幾何學看起來與我們在學校裡學習的古老而美好的歐幾裡得幾何學完全一樣。
這種補救辦法就是把第四個坐标看成純虛數，它是德國數學家闵可夫斯基（HermannMinkovskij）提出的。
大家也許還記得，本書第二章講過，一個普通的數乘以就成了一個虛數，用這種虛數來解各種幾何學問題是非常方便的。
于是，根據闵可夫斯基的說法，要把時間看成第四個坐标，不僅要用空間單位來表示它，還要乘以。
這樣一來，那個例子中的四個坐标距離就成了： 第一坐标：3200英尺 第二坐标：400英尺 第三坐标：936英尺 第四坐标：8×1011i光英尺。
現在，我們也許可以把四維距離定義為所有四個坐标距離的平方和的平方根了。
事實上，由于虛數的平方總是負的，所以用闵可夫斯基坐标寫出的普通畢達哥拉斯公式将與用愛因斯坦坐标寫出的似乎不太合理的公式在數學上等價。
有一個故事，說的是一位患風濕病的老人問自己的健康朋友是如何避免這種病的。
回答是：&ldquo我這輩子每天早上都會洗個冷水澡。
&rdquo &ldquo噢，&rdquo前者喊道，&ldquo那你是患了冷水澡病！&rdquo 于是，如果你不喜歡那個似乎會引起風濕病的畢達哥拉斯定理，你可以把它改成虛時間坐标這種冷水澡病。
由于時空世界裡的第四個坐标是虛的，所以必須考慮兩種在物理上不同的四維距離。
事實上，在前面讨論的紐約事件那樣的情況下，兩個事件之間的三維距離在數值上要小于時間間隔（用恰當的單位），畢達哥拉斯定理中根号下的數是負的，所以我們得到的推廣的四維距離是虛的。
而在其他一些情況下，時間延續要小于空間距離，因此根号下得到的是正數，這當然意味着在這些情況下，兩個事件之間的四維距離是實的。
如上所述，既然空間距離被看成實的，而時間延續被看成純虛的，我們也許可以說，實的四維距離與普通的空間距離關系更近，而虛的四維距離與時間間隔關系更近。
根據闵可夫斯基使用的術語，前一種四維距離被稱為類空（raumartig）間隔，後一種被稱為類時（zeitartig）間隔。
我們将在下一章看到，類空間隔可以轉變為正規的空間距離，類時間隔也可以轉變為正規的時間間隔。
然而，這兩者一個為實數，一個為虛數，這給時空的相互轉變造成了不可逾越的障礙，因此我們不可能把尺子變成時鐘，也不可能把時鐘變成尺子。