第五章 空間和時間的相對性
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一、空間和時間的相互轉變
雖然顯示空間和時間在四維世界中的統一性的數學努力并沒有完全消除距離與時間延續之間的差别，但的确揭示出這兩個概念之間具有高度的相似性，其程度要比在愛因斯坦之前的物理學中大得多。
事實上，各個事件之間的空間距離和時間間隔，現在隻能認為是這些事件之間基本的四維距離在空間軸和時間軸上的投影，從而四維坐标系的旋轉可以使距離在部分程度上轉變為時間的延續，或者使時間的延續在部分程度上轉變為距離。
不過，四維時空坐标系的旋轉是什麼意思呢？ 我們先來考慮圖34a中由兩個空間坐标所組成的坐标系，并且假定有兩個固定點相距為L。
将這一距離投影在坐标軸上，我們發現這兩個點沿第一個軸的方向相距a英尺，沿第二個軸的方向相距b英尺。
若把該坐标系旋轉一個角度（圖34b），則同樣的距離在兩個新坐标軸上的投影将與之前不同，新的值為a&prime和b&prime。
然而根據畢達哥拉斯定理，兩個投影的平方和的平方根在兩種情況下是一樣的，因為它對應着那兩個點的實際距離，不會因為坐标系的旋轉而改變。
因此， 。
所以說，雖然投影的特殊值是偶然的，取決于坐标系的選擇，但其平方和的平方根不會随着坐标系的旋轉而變化。
圖34 現在我們再來考慮一個軸對應着距離、一個軸對應着時間延續的坐标系。
此時之前例子中的兩個固定點就成了兩個固定的事件，而在兩個軸上的投影則分别表示它們的空間距離和時間間隔。
如果這兩個事件就是上一章所讨論的銀行遭劫和飛機失事，我們便可以畫一張圖（圖35a），它非常類似于表示兩個空間坐标的圖34a。
那麼，怎樣才能旋轉坐标軸呢？答案非常出乎意料，甚至令人困惑：要想旋轉時空坐标系，請上汽車。
假定我們真的在7月28日那個多事之晨坐上了一輛沿第五大道行駛的公共汽車。
從自我中心的觀點來看，此時我們最關心被劫的銀行和飛機失事地點離我們的汽車有多遠，倘若距離決定了我們能否看到這些事件。
圖35 圖35a畫出了汽車世界線的相繼位置以及銀行遭劫、飛機失事這兩個事件。
你會立刻注意到，從汽車上觀察到的距離不同于比如站在街角的交警所記錄下來的距離。
由于汽車正在沿大道行駛，比如說速度是每三分鐘過一個街區（這在擁擠的紐約交通中并非罕見），所以從汽車上看，這兩個事件的空間距離就變小了。
事實上，由于上午9點21分汽車正在穿過五十二街，所以距離此時遭劫的銀行有兩個街區之遠。
而上午9點36分飛機失事時，汽車在四十七街，距離失事地點有14個街區之遠。
如此測量相對于汽車的距離，我們會斷言，銀行遭劫與飛機失事的空間距離為14-2=12個街區，而不是相對于城市建築所測得的50-34=16個街區。
再看看圖35a，我們看到，從汽車上記錄的距離不能像以前那樣從縱軸（交警的世界線）來計算，而應從表示汽車世界線的那條斜線來計算。
因此，現在起着新時間軸作用的是後一條線。
把方才讨論的&ldquo零七碎八&rdquo總結一下就是：要想繪制從運動物體上觀察到的事件的時空圖，必須把時間軸旋轉一個角度（角度的大小取決于運動物體的速度），而空間軸保持不動。
雖然從經典物理學和所謂&ldquo常識&rdquo的觀點來看，這種說法是無可置疑的真理，但它卻和我們關于四維時空世界的新觀念直接相左。
事實上，既然時間被視為獨立的第四個坐标，時間軸就必須總是垂直于三個空間軸，無論我們坐在公共汽車上、電車上還是人行道上！ 在這一點上，我們隻能兩種思路選其一：要麼保留我們習慣性的時間空間觀念，不再對統一的時空幾何學作任何進一步思考；要麼就必須打破&ldquo常識&rdquo的舊觀念，認為在我們的時空圖中，空間軸必須和時間軸一起旋轉，從而二者總是保持垂直（圖35b）。
然而，正如旋轉時間軸在物理上意味着，兩個事件的空間距離在從運動物體上觀察時會有不同的值（在前面那個例子中分别為12個街區和16個街區），旋轉空間軸也意味着，從運動物體上觀察到的兩個事件的時間間隔不同于從地面上某一固定點觀察到的時間間隔。
于是，如果市政廳的時鐘顯示銀行遭劫與飛機失事相隔15分鐘，那麼公共汽車上的乘客的手表所記錄的時間間隔将有所不同。
這并非因為機械裝置的不完美導緻兩塊表走得快慢不一緻，而是因為在以不同速度運動的物體上，時間本身的流逝快慢有所不同，記錄時間的實際機械裝置也相應地變慢了。
不過對于公共汽車的低速而言，這種變慢微乎其微，幾乎覺察不到。
（本章會詳細讨論這個現象。
） 再舉一個例子。
設想一個人在一列行進的火車餐車上吃飯。
在餐車的服務員看來，他在同一個地方（第三張桌子靠窗）吃餐前開胃品和餐後甜點。
但在兩個站在鐵軌的固定點透過窗戶朝車内張望的扳道工看來（一個正好看到他在吃餐前開胃品，另一個正好看到他在吃餐後甜點），這兩個事件發生在數英裡之遙。
于是我們可以說：在一位觀察者看來發生在同一地點和不同時間的兩個事件，在處于不同運動狀态的另一位觀察者看來卻發生在不同的地點。
從我們所期望的時空等價的觀點出發，把上面這句話中的&ldquo地點&rdquo和&ldquo時間&rdquo這兩個詞互換，該句就成了：在一位觀察者看來發生在同一時間和不同地點的兩個事件，在處于不同運動狀态的另一位觀察者看來卻發生在不同的時間。
如果将其用于我們餐車的例子中，我們會期待那位服務員言之鑿鑿地聲稱，坐在餐車兩頭的兩位乘客餐後同時點煙，而在鐵軌上透過窗戶朝車内張望的扳道工卻會堅持說，兩人點煙的時間有先有後。
因此，在一位觀察者看來同時發生的兩個事件，在另一位觀察者看來卻相隔一段時間。
這些便是四維幾何學的必然推論，在四維幾何學中，時間和空間僅僅是一段固定不變的四維距離在相應軸上的投影。
二、以太風和天狼星之旅 現在我們要問，願意使用這種四維幾何學的語言，是否證明在我們舊的感覺良好的時空觀念中引入這些革命性變化是正當的？ 如果回答是肯定的，我們便質疑了整個經典物理學體系，經典物理學的基礎是偉大的牛頓在兩個半世紀以前對空間和時間的定義：&ldquo絕對空間就其本性而言與任何外界的事物無關，永遠不變和不動&rdquo，&ldquo絕對的、真實的數學時間就其本性而言均勻地流逝着，與任何外界的事物無關。
&rdquo在寫這些話的時候，牛頓肯定不認為自己是在講什麼新的或引起争議的東西；他不過是在以精确的語言把人們常識中的空間和時間概念表達出來罷了。
事實上，人們對這些經典時空概念的正确性是如此堅信，以至于它們常被哲學家們視為先驗的。
從來沒有一個科學家（更不用說外行）認為它們有可能錯誤，從而需要重新考察和表述。
那麼，我們現在為什麼要重新考慮這個問題呢？ 回答是：之所以要抛棄經典的時空觀念并把時間和空間統一在一幅四維圖景中，并非出于愛因斯坦純粹審美的願望，亦非其無法遏止的數學沖
事實上，各個事件之間的空間距離和時間間隔，現在隻能認為是這些事件之間基本的四維距離在空間軸和時間軸上的投影，從而四維坐标系的旋轉可以使距離在部分程度上轉變為時間的延續，或者使時間的延續在部分程度上轉變為距離。
不過，四維時空坐标系的旋轉是什麼意思呢？ 我們先來考慮圖34a中由兩個空間坐标所組成的坐标系，并且假定有兩個固定點相距為L。
将這一距離投影在坐标軸上，我們發現這兩個點沿第一個軸的方向相距a英尺，沿第二個軸的方向相距b英尺。
若把該坐标系旋轉一個角度（圖34b），則同樣的距離在兩個新坐标軸上的投影将與之前不同，新的值為a&prime和b&prime。
然而根據畢達哥拉斯定理，兩個投影的平方和的平方根在兩種情況下是一樣的，因為它對應着那兩個點的實際距離，不會因為坐标系的旋轉而改變。
因此， 。
所以說，雖然投影的特殊值是偶然的，取決于坐标系的選擇，但其平方和的平方根不會随着坐标系的旋轉而變化。
圖34 現在我們再來考慮一個軸對應着距離、一個軸對應着時間延續的坐标系。
此時之前例子中的兩個固定點就成了兩個固定的事件，而在兩個軸上的投影則分别表示它們的空間距離和時間間隔。
如果這兩個事件就是上一章所讨論的銀行遭劫和飛機失事，我們便可以畫一張圖（圖35a），它非常類似于表示兩個空間坐标的圖34a。
那麼，怎樣才能旋轉坐标軸呢？答案非常出乎意料，甚至令人困惑：要想旋轉時空坐标系，請上汽車。
假定我們真的在7月28日那個多事之晨坐上了一輛沿第五大道行駛的公共汽車。
從自我中心的觀點來看，此時我們最關心被劫的銀行和飛機失事地點離我們的汽車有多遠，倘若距離決定了我們能否看到這些事件。
圖35 圖35a畫出了汽車世界線的相繼位置以及銀行遭劫、飛機失事這兩個事件。
你會立刻注意到，從汽車上觀察到的距離不同于比如站在街角的交警所記錄下來的距離。
由于汽車正在沿大道行駛，比如說速度是每三分鐘過一個街區（這在擁擠的紐約交通中并非罕見），所以從汽車上看，這兩個事件的空間距離就變小了。
事實上，由于上午9點21分汽車正在穿過五十二街，所以距離此時遭劫的銀行有兩個街區之遠。
而上午9點36分飛機失事時，汽車在四十七街，距離失事地點有14個街區之遠。
如此測量相對于汽車的距離，我們會斷言，銀行遭劫與飛機失事的空間距離為14-2=12個街區，而不是相對于城市建築所測得的50-34=16個街區。
再看看圖35a，我們看到，從汽車上記錄的距離不能像以前那樣從縱軸（交警的世界線）來計算，而應從表示汽車世界線的那條斜線來計算。
因此，現在起着新時間軸作用的是後一條線。
把方才讨論的&ldquo零七碎八&rdquo總結一下就是：要想繪制從運動物體上觀察到的事件的時空圖，必須把時間軸旋轉一個角度（角度的大小取決于運動物體的速度），而空間軸保持不動。
雖然從經典物理學和所謂&ldquo常識&rdquo的觀點來看，這種說法是無可置疑的真理，但它卻和我們關于四維時空世界的新觀念直接相左。
事實上，既然時間被視為獨立的第四個坐标，時間軸就必須總是垂直于三個空間軸，無論我們坐在公共汽車上、電車上還是人行道上！ 在這一點上，我們隻能兩種思路選其一：要麼保留我們習慣性的時間空間觀念，不再對統一的時空幾何學作任何進一步思考；要麼就必須打破&ldquo常識&rdquo的舊觀念，認為在我們的時空圖中，空間軸必須和時間軸一起旋轉，從而二者總是保持垂直（圖35b）。
然而，正如旋轉時間軸在物理上意味着，兩個事件的空間距離在從運動物體上觀察時會有不同的值（在前面那個例子中分别為12個街區和16個街區），旋轉空間軸也意味着，從運動物體上觀察到的兩個事件的時間間隔不同于從地面上某一固定點觀察到的時間間隔。
于是，如果市政廳的時鐘顯示銀行遭劫與飛機失事相隔15分鐘，那麼公共汽車上的乘客的手表所記錄的時間間隔将有所不同。
這并非因為機械裝置的不完美導緻兩塊表走得快慢不一緻，而是因為在以不同速度運動的物體上，時間本身的流逝快慢有所不同，記錄時間的實際機械裝置也相應地變慢了。
不過對于公共汽車的低速而言，這種變慢微乎其微，幾乎覺察不到。
（本章會詳細讨論這個現象。
） 再舉一個例子。
設想一個人在一列行進的火車餐車上吃飯。
在餐車的服務員看來，他在同一個地方（第三張桌子靠窗）吃餐前開胃品和餐後甜點。
但在兩個站在鐵軌的固定點透過窗戶朝車内張望的扳道工看來（一個正好看到他在吃餐前開胃品，另一個正好看到他在吃餐後甜點），這兩個事件發生在數英裡之遙。
于是我們可以說：在一位觀察者看來發生在同一地點和不同時間的兩個事件，在處于不同運動狀态的另一位觀察者看來卻發生在不同的地點。
從我們所期望的時空等價的觀點出發，把上面這句話中的&ldquo地點&rdquo和&ldquo時間&rdquo這兩個詞互換，該句就成了：在一位觀察者看來發生在同一時間和不同地點的兩個事件，在處于不同運動狀态的另一位觀察者看來卻發生在不同的時間。
如果将其用于我們餐車的例子中，我們會期待那位服務員言之鑿鑿地聲稱，坐在餐車兩頭的兩位乘客餐後同時點煙，而在鐵軌上透過窗戶朝車内張望的扳道工卻會堅持說，兩人點煙的時間有先有後。
因此，在一位觀察者看來同時發生的兩個事件，在另一位觀察者看來卻相隔一段時間。
這些便是四維幾何學的必然推論，在四維幾何學中，時間和空間僅僅是一段固定不變的四維距離在相應軸上的投影。
二、以太風和天狼星之旅 現在我們要問，願意使用這種四維幾何學的語言，是否證明在我們舊的感覺良好的時空觀念中引入這些革命性變化是正當的？ 如果回答是肯定的，我們便質疑了整個經典物理學體系，經典物理學的基礎是偉大的牛頓在兩個半世紀以前對空間和時間的定義：&ldquo絕對空間就其本性而言與任何外界的事物無關，永遠不變和不動&rdquo，&ldquo絕對的、真實的數學時間就其本性而言均勻地流逝着，與任何外界的事物無關。
&rdquo在寫這些話的時候，牛頓肯定不認為自己是在講什麼新的或引起争議的東西；他不過是在以精确的語言把人們常識中的空間和時間概念表達出來罷了。
事實上，人們對這些經典時空概念的正确性是如此堅信，以至于它們常被哲學家們視為先驗的。
從來沒有一個科學家（更不用說外行）認為它們有可能錯誤，從而需要重新考察和表述。
那麼，我們現在為什麼要重新考慮這個問題呢？ 回答是：之所以要抛棄經典的時空觀念并把時間和空間統一在一幅四維圖景中，并非出于愛因斯坦純粹審美的願望，亦非其無法遏止的數學沖