第四章 四維世界
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一、時間是第四維
第四維這個概念通常被神秘和懷疑所籠罩。
我們這些隻有長、寬、高的生物如何敢談及四維空間呢？憑借我們全部的三維智力，有可能設想一個四維的超空間嗎？一個四維的立方體或球體會是什麼樣子呢？我們說&ldquo想象&rdquo一條尾巴披鱗、鼻孔噴火的巨龍，或者一架帶有遊泳池、機翼上有兩個網球場的超級客機時，實際上是在心靈中描繪這些東西真的突然出現在我們面前時的樣子。
我們是以那個所有普通物體（包括我們自己在内）都位于其中的大家所熟悉的三維空間為背景來描繪這幅圖像的。
如果這就是&ldquo想象&rdquo一詞的含義，我們就無法以普通三維空間為背景來想象一個四維的物體，一如我們無法将三維物體壓入平面。
不過且慢，在某種意義上我們的确可以将一個三維物體壓入平面，那就是在平面上畫出這個三維物體。
不過，在所有這些情況下，我們當然不是用一台水壓機或任何其他物理的力量來實現的，而是用所謂的幾何&ldquo投影&rdquo法進行的。
由圖24立即可以看出将物體（例如馬）壓入平面的這兩種方法的區别。
圖24 将一個三維物體&ldquo壓&rdquo入二維表面的錯誤方法和正确方法 通過類比，我們現在可以說，雖然不可能把一個四維物體完全&ldquo壓&rdquo入三維空間，但可以讨論各種四維物體在我們這個三維空間中的&ldquo投影&rdquo。
不過要記住，正如三維物體的平面投影是二維圖形或平面圖形，四維超物體在我們這個普通三維空間中的投影是立體圖形。
為了把問題說得更清楚一些，我們先來考慮生活在面上的二維影子生物會如何構想一個三維立方體。
不難想象，作為優越的三維生物，我們可以從上面即從第三個方向來打量二維世界。
将立方體&ldquo壓&rdquo入平面的唯一途徑就是以圖25所示的方法将它&ldquo投影&rdquo到那個平面上。
旋轉這個立方體，可以得到各種其他投影。
通過觀察這些投影，我們的二維朋友們至少能對這個被稱為&ldquo三維立方體&rdquo的神秘形體的性質形成某種認識。
他們無法&ldquo跳出&rdquo自己的面，像我們一樣來看這個立方體。
不過僅僅通過觀察投影，他們也能說（比如）這個立方體有八個頂點和十二條邊。
現在看圖26，你會發現自己的處境和那些隻能看到普通立方體在面上投影的可憐的二維影子生物完全相同。
事實上，圖中那家人正在驚愕萬分地研究的那個複雜的古怪結構，正是一個四維的超正方體在我們這個普通三維空間中的投影。
23 圖25 二維生物們正在驚奇地打量一個三維立方體在其表面上的投影 圖26 四維空間的來客！一個四維超正方體的正投影 認真考察這個形體，你很容易看到讓圖25中的影子生物困惑不已的那些特征：普通立方體在平面上的投影是兩個正方形，一個套在另一個裡面，且頂點與頂點相連；而超正方體在普通空間中的投影則是兩個立方體，一個套在另一個裡面，頂點也以類似的方式相連。
數一數就會看到，一個超正方體共有16個頂點、32條邊和24個面。
好一個正方體，不是嗎？ 現在我們來看看四維球體是什麼樣子。
為此，我們最好先看一個較為熟悉的例子，即一個普通球體在平面上的投影。
例如設想将一個标記有大陸和海洋的透明球體投射到一面白牆之上（圖27）。
在這一投影中，兩個半球當然會彼此重疊，而且從投影上看，我們也許會以為美國紐約和中國北京距離很近。
但這隻是一種表面的印象。
事實上，投影上的每一點都代表實際球體上兩個相對的點，一架從紐約飛往中國的飛機，它在球體上的投影将先移到平面投影的邊緣，然後再返回來。
雖然兩架不同飛機在圖上的投影可能會重疊，但如果它們&ldquo實際&rdquo在地球的兩側飛行，那是不會相撞的。
圖27 地球的平面投影 這些便是普通球體的平面投影的性質。
隻要對想象力稍作發揮，我們便不難看出四維超球體的空間投影是什麼樣子。
正如普通球體的平面投影是兩個（點對點）疊在一起、隻沿外圓周相連的圓盤，超球體的空間投影也一定是兩個彼此交疊且沿外表面相連的球體。
關于這種特異的結構，我們已經在上一章作為類似于封閉球面的三維封閉空間的例子作了讨論。
這裡隻需補充一句：四維球體的三維投影不過就是我們在那裡讨論的由兩個沿整個外皮長在一起的普通蘋果所形成的雙蘋果罷了。
同樣，使用這種類比法，我們也能回答關于四維形體性質的其他許多問題，盡管我們無論如何也沒法
我們這些隻有長、寬、高的生物如何敢談及四維空間呢？憑借我們全部的三維智力，有可能設想一個四維的超空間嗎？一個四維的立方體或球體會是什麼樣子呢？我們說&ldquo想象&rdquo一條尾巴披鱗、鼻孔噴火的巨龍，或者一架帶有遊泳池、機翼上有兩個網球場的超級客機時，實際上是在心靈中描繪這些東西真的突然出現在我們面前時的樣子。
我們是以那個所有普通物體（包括我們自己在内）都位于其中的大家所熟悉的三維空間為背景來描繪這幅圖像的。
如果這就是&ldquo想象&rdquo一詞的含義，我們就無法以普通三維空間為背景來想象一個四維的物體，一如我們無法将三維物體壓入平面。
不過且慢，在某種意義上我們的确可以将一個三維物體壓入平面，那就是在平面上畫出這個三維物體。
不過，在所有這些情況下，我們當然不是用一台水壓機或任何其他物理的力量來實現的，而是用所謂的幾何&ldquo投影&rdquo法進行的。
由圖24立即可以看出将物體（例如馬）壓入平面的這兩種方法的區别。
圖24 将一個三維物體&ldquo壓&rdquo入二維表面的錯誤方法和正确方法 通過類比，我們現在可以說，雖然不可能把一個四維物體完全&ldquo壓&rdquo入三維空間，但可以讨論各種四維物體在我們這個三維空間中的&ldquo投影&rdquo。
不過要記住，正如三維物體的平面投影是二維圖形或平面圖形，四維超物體在我們這個普通三維空間中的投影是立體圖形。
為了把問題說得更清楚一些，我們先來考慮生活在面上的二維影子生物會如何構想一個三維立方體。
不難想象，作為優越的三維生物，我們可以從上面即從第三個方向來打量二維世界。
将立方體&ldquo壓&rdquo入平面的唯一途徑就是以圖25所示的方法将它&ldquo投影&rdquo到那個平面上。
旋轉這個立方體，可以得到各種其他投影。
通過觀察這些投影，我們的二維朋友們至少能對這個被稱為&ldquo三維立方體&rdquo的神秘形體的性質形成某種認識。
他們無法&ldquo跳出&rdquo自己的面，像我們一樣來看這個立方體。
不過僅僅通過觀察投影，他們也能說（比如）這個立方體有八個頂點和十二條邊。
現在看圖26，你會發現自己的處境和那些隻能看到普通立方體在面上投影的可憐的二維影子生物完全相同。
事實上，圖中那家人正在驚愕萬分地研究的那個複雜的古怪結構，正是一個四維的超正方體在我們這個普通三維空間中的投影。
23 圖25 二維生物們正在驚奇地打量一個三維立方體在其表面上的投影 圖26 四維空間的來客！一個四維超正方體的正投影 認真考察這個形體，你很容易看到讓圖25中的影子生物困惑不已的那些特征：普通立方體在平面上的投影是兩個正方形，一個套在另一個裡面，且頂點與頂點相連；而超正方體在普通空間中的投影則是兩個立方體，一個套在另一個裡面，頂點也以類似的方式相連。
數一數就會看到，一個超正方體共有16個頂點、32條邊和24個面。
好一個正方體，不是嗎？ 現在我們來看看四維球體是什麼樣子。
為此，我們最好先看一個較為熟悉的例子，即一個普通球體在平面上的投影。
例如設想将一個标記有大陸和海洋的透明球體投射到一面白牆之上（圖27）。
在這一投影中，兩個半球當然會彼此重疊，而且從投影上看，我們也許會以為美國紐約和中國北京距離很近。
但這隻是一種表面的印象。
事實上，投影上的每一點都代表實際球體上兩個相對的點，一架從紐約飛往中國的飛機，它在球體上的投影将先移到平面投影的邊緣，然後再返回來。
雖然兩架不同飛機在圖上的投影可能會重疊，但如果它們&ldquo實際&rdquo在地球的兩側飛行，那是不會相撞的。
圖27 地球的平面投影 這些便是普通球體的平面投影的性質。
隻要對想象力稍作發揮，我們便不難看出四維超球體的空間投影是什麼樣子。
正如普通球體的平面投影是兩個（點對點）疊在一起、隻沿外圓周相連的圓盤，超球體的空間投影也一定是兩個彼此交疊且沿外表面相連的球體。
關于這種特異的結構，我們已經在上一章作為類似于封閉球面的三維封閉空間的例子作了讨論。
這裡隻需補充一句：四維球體的三維投影不過就是我們在那裡讨論的由兩個沿整個外皮長在一起的普通蘋果所形成的雙蘋果罷了。
同樣，使用這種類比法，我們也能回答關于四維形體性質的其他許多問題，盡管我們無論如何也沒法