第三章 空間的不尋常性質
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、高爾夫球棍以及其他許多物體。
圖21 右手系和左手系物體看起來非常相像，但極為不同 另一方面，像禮帽、網球拍等許多東西就沒有顯示出這種差别。
沒有人會傻到要去商店訂購幾隻左手用的茶杯。
如果有人讓你找鄰居借一個左手用的活動扳手，那肯定是個惡作劇。
那麼，這兩種東西有什麼區别呢？稍作思考你就會注意到，像禮帽和茶杯這樣的東西都有一個我們所謂的對稱平面，沿這個平面可将它們切成兩個相等的部分。
而手套和鞋子就沒有這樣的對稱平面。
無論你如何努力，你都無法把一隻手套切成兩個相同的部分。
如果某個物體沒有對稱平面，或如我們所說是非對稱的，那麼它就有左手系和右手系兩種類型。
其差别不僅表現于手套或高爾夫球杆這樣的人造物體，在自然界中也很常見。
例如，存在着兩種蝸牛，它們在所有其他方面都相同，唯獨建房子的方式不同：一種蝸牛的殼沿順時針盤旋，另一種則沿逆時針盤旋。
甚至連分子這種組成各種不同物質的微粒，也常常有左旋和右旋兩種形态，就像左、右手套以及順時針和逆時針盤旋的蝸牛殼一樣。
當然，你是看不見分子的，但這種不對稱性可以顯示于這些物質的晶體形态和某些光學性質。
例如，糖有左旋糖和右旋糖兩類；還有兩種吃糖的細菌，每種細菌隻吃與之對應的那種糖，信不信由你。
如前所述，将一個右手系物體（例如一隻右手套）變成左手系物體似乎是完全不可能的。
但果真如此嗎？我們能否設想出某種可以做到這一點的奇妙空間呢？為了回答這個問題，讓我們從生活在面上的扁平居民的角度來考察它，我們可以從更優越的三維地位來觀察這些居民。
圖22描繪了隻有兩維空間的扁平國的可能居民的幾個例子。
那個手提一串葡萄的站立者可稱為&ldquo正面人&rdquo，因為他隻有&ldquo正面&rdquo而沒有&ldquo側面&rdquo。
而他身邊的動物則是一頭&ldquo側面驢&rdquo，或者說得更确切些，是一頭&ldquo右側面驢&rdquo。
當然，我們也能畫出一頭&ldquo左側面驢&rdquo。
由于這兩頭驢都被限定于這個面上，所以從二維的觀點來看，它們的不同就如同我們三維空間中的左右手套。
你無法将&ldquo左驢&rdquo與&ldquo右驢&rdquo交疊起來，因為要使它們鼻子挨着鼻子、尾巴挨着尾巴，就得把其中一頭驢子翻個個兒，這樣一來，它可就四腳朝天，無法站立咯。
圖22 生活在平面上的二維&ldquo影子生物&rdquo的樣子。
這種二維生物很不&ldquo現實&rdquo。
此人有正面而無側面，他無法将手裡的葡萄送入口中。
那頭驢子倒可以吃到葡萄，但它隻能向右走，要想左移隻能退着走。
驢子退着走倒并非罕見，但畢竟不太像樣 不過，若将一頭驢子從面上取出，在空間中翻轉一下再放回去，兩頭驢子就會變得一樣。
同理也可以說，若把一隻右手套沿第四方向拿出我們這個空間，适當地旋轉一下再放回去，就可将它變成一隻左手套。
但我們的物理空間并無第四方向，所以隻能認為上述方法是不可能做到的。
那麼，有沒有别的辦法呢？ 現在，我們還是回到二維世界，不過不是考慮圖22所示的普通平面，而是考慮所謂&ldquo莫比烏斯面&rdquo（surfaceofMöbius）的性質。
這種面的名字得自于一個世紀以前最早對它進行研究的德國數學家。
拿一個長長的紙條，将其一端擰個彎，然後把兩端粘成一個環，便輕而易舉地得到了莫比烏斯面。
圖23顯示了這個環的具體做法。
這種面有許多特殊性質，其中一個性質很容易發現：拿剪刀沿一條與邊緣平行的線（沿着圖23中的箭頭）剪一圈，你一定會預期這樣會把這個環剪成兩個分離的環。
但做了之後你就會發現猜錯了：你得到的不是兩個環，而是一個環，它是原有環的兩倍長、一半寬！ 圖23 莫比烏斯面和克萊因瓶 讓我們看看一頭影子驢沿着莫比烏斯面走一圈會發生什麼。
假定它從位置1（圖23）出發，此時看它是頭&ldquo左側面驢&rdquo。
從圖上可以清楚地看出，它走啊走，經過了位置2和位置3，最後又接近了出發點。
但不僅你感到奇怪，它也感到納悶，自己竟然處在蹄子朝上的古怪位置（位置4）。
當然，它能在面上轉一下使蹄子落地，但這樣一來，頭的朝向又不對了。
簡而言之，沿着莫比烏斯面走一圈之後，我們這頭&ldquo左側面驢&rdquo變成了&ldquo右側面驢&rdquo。
别忘了，在此過程中，驢子一直處在面上而未被拿出來在空間翻轉。
于是我們發現，在一個扭曲的面上，隻要繞過扭曲處，左手系物體就可以變成右手系物體，反之亦然。
圖23所示的莫比烏斯帶是被稱為&ldquo克萊因瓶&rdquo（如圖23右邊所示）的更一般的面的一部分。
這種瓶隻有一個面，自我封閉而沒有明顯的邊界。
如果這在二維的面上是可能的，那麼同樣的情況也可以在三維空間中發生，隻要以恰當的方式将它扭曲。
當然，設想空間中的莫比烏斯扭曲絕非易事。
我們不能像看驢所在的面那樣從外部來看我們的空間，當我們身在其中時，看清楚事物總是很難的。
但天文空間自我封閉并以莫比烏斯的方式發生扭曲，這并非不可能。
如果真是如此，那麼宇宙旅行家回到地球時，其心髒将位于胸腔右側。
手套和鞋子的制造商或許能夠得益于生産過程的簡化：他們隻需制造同一種鞋子和手套，然後把一半物品裝入飛船環繞宇宙一周，這樣就能滿足另一半的手腳所需了。
我們就用這個荒誕的奇思異想來結束關于不尋常空間的不尋常性質的讨論吧。
圖21 右手系和左手系物體看起來非常相像，但極為不同 另一方面，像禮帽、網球拍等許多東西就沒有顯示出這種差别。
沒有人會傻到要去商店訂購幾隻左手用的茶杯。
如果有人讓你找鄰居借一個左手用的活動扳手，那肯定是個惡作劇。
那麼，這兩種東西有什麼區别呢？稍作思考你就會注意到，像禮帽和茶杯這樣的東西都有一個我們所謂的對稱平面，沿這個平面可将它們切成兩個相等的部分。
而手套和鞋子就沒有這樣的對稱平面。
無論你如何努力，你都無法把一隻手套切成兩個相同的部分。
如果某個物體沒有對稱平面，或如我們所說是非對稱的，那麼它就有左手系和右手系兩種類型。
其差别不僅表現于手套或高爾夫球杆這樣的人造物體，在自然界中也很常見。
例如，存在着兩種蝸牛，它們在所有其他方面都相同，唯獨建房子的方式不同：一種蝸牛的殼沿順時針盤旋，另一種則沿逆時針盤旋。
甚至連分子這種組成各種不同物質的微粒，也常常有左旋和右旋兩種形态，就像左、右手套以及順時針和逆時針盤旋的蝸牛殼一樣。
當然，你是看不見分子的，但這種不對稱性可以顯示于這些物質的晶體形态和某些光學性質。
例如，糖有左旋糖和右旋糖兩類；還有兩種吃糖的細菌，每種細菌隻吃與之對應的那種糖，信不信由你。
如前所述，将一個右手系物體（例如一隻右手套）變成左手系物體似乎是完全不可能的。
但果真如此嗎？我們能否設想出某種可以做到這一點的奇妙空間呢？為了回答這個問題，讓我們從生活在面上的扁平居民的角度來考察它，我們可以從更優越的三維地位來觀察這些居民。
圖22描繪了隻有兩維空間的扁平國的可能居民的幾個例子。
那個手提一串葡萄的站立者可稱為&ldquo正面人&rdquo，因為他隻有&ldquo正面&rdquo而沒有&ldquo側面&rdquo。
而他身邊的動物則是一頭&ldquo側面驢&rdquo，或者說得更确切些，是一頭&ldquo右側面驢&rdquo。
當然，我們也能畫出一頭&ldquo左側面驢&rdquo。
由于這兩頭驢都被限定于這個面上，所以從二維的觀點來看，它們的不同就如同我們三維空間中的左右手套。
你無法将&ldquo左驢&rdquo與&ldquo右驢&rdquo交疊起來，因為要使它們鼻子挨着鼻子、尾巴挨着尾巴，就得把其中一頭驢子翻個個兒，這樣一來，它可就四腳朝天，無法站立咯。
圖22 生活在平面上的二維&ldquo影子生物&rdquo的樣子。
這種二維生物很不&ldquo現實&rdquo。
此人有正面而無側面，他無法将手裡的葡萄送入口中。
那頭驢子倒可以吃到葡萄，但它隻能向右走，要想左移隻能退着走。
驢子退着走倒并非罕見，但畢竟不太像樣 不過，若将一頭驢子從面上取出，在空間中翻轉一下再放回去，兩頭驢子就會變得一樣。
同理也可以說，若把一隻右手套沿第四方向拿出我們這個空間，适當地旋轉一下再放回去，就可将它變成一隻左手套。
但我們的物理空間并無第四方向，所以隻能認為上述方法是不可能做到的。
那麼，有沒有别的辦法呢？ 現在，我們還是回到二維世界，不過不是考慮圖22所示的普通平面，而是考慮所謂&ldquo莫比烏斯面&rdquo（surfaceofMöbius）的性質。
這種面的名字得自于一個世紀以前最早對它進行研究的德國數學家。
拿一個長長的紙條，将其一端擰個彎，然後把兩端粘成一個環，便輕而易舉地得到了莫比烏斯面。
圖23顯示了這個環的具體做法。
這種面有許多特殊性質，其中一個性質很容易發現：拿剪刀沿一條與邊緣平行的線（沿着圖23中的箭頭）剪一圈，你一定會預期這樣會把這個環剪成兩個分離的環。
但做了之後你就會發現猜錯了：你得到的不是兩個環，而是一個環，它是原有環的兩倍長、一半寬！ 圖23 莫比烏斯面和克萊因瓶 讓我們看看一頭影子驢沿着莫比烏斯面走一圈會發生什麼。
假定它從位置1（圖23）出發，此時看它是頭&ldquo左側面驢&rdquo。
從圖上可以清楚地看出，它走啊走，經過了位置2和位置3，最後又接近了出發點。
但不僅你感到奇怪，它也感到納悶，自己竟然處在蹄子朝上的古怪位置（位置4）。
當然，它能在面上轉一下使蹄子落地，但這樣一來，頭的朝向又不對了。
簡而言之，沿着莫比烏斯面走一圈之後，我們這頭&ldquo左側面驢&rdquo變成了&ldquo右側面驢&rdquo。
别忘了，在此過程中，驢子一直處在面上而未被拿出來在空間翻轉。
于是我們發現，在一個扭曲的面上，隻要繞過扭曲處，左手系物體就可以變成右手系物體，反之亦然。
圖23所示的莫比烏斯帶是被稱為&ldquo克萊因瓶&rdquo（如圖23右邊所示）的更一般的面的一部分。
這種瓶隻有一個面，自我封閉而沒有明顯的邊界。
如果這在二維的面上是可能的，那麼同樣的情況也可以在三維空間中發生，隻要以恰當的方式将它扭曲。
當然，設想空間中的莫比烏斯扭曲絕非易事。
我們不能像看驢所在的面那樣從外部來看我們的空間，當我們身在其中時，看清楚事物總是很難的。
但天文空間自我封閉并以莫比烏斯的方式發生扭曲，這并非不可能。
如果真是如此，那麼宇宙旅行家回到地球時，其心髒将位于胸腔右側。
手套和鞋子的制造商或許能夠得益于生産過程的簡化：他們隻需制造同一種鞋子和手套，然後把一半物品裝入飛船環繞宇宙一周，這樣就能滿足另一半的手腳所需了。
我們就用這個荒誕的奇思異想來結束關于不尋常空間的不尋常性質的讨論吧。