第三章 空間的不尋常性質
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接點其實與球内的任何其他點并無不同，因為總可以使整個結構變形，把連接點推到裡面，把以前裡面的點弄到表面。
關于我們的模型，第二點要注意的是，雖然兩套通道的總長度是有限的，但沒有&ldquo死胡同&rdquo。
你可以不斷穿過走廊和樓梯，而不會被牆壁或栅欄擋住；如果你走得足夠遠，你最終一定能回到你的出發點。
從外面審視整個結構，我們可以說，在這迷宮中穿行的人最終總會回到其出發點，因為樓梯會逐漸轉到反方向。
但對于處在内部而不知&ldquo外面&rdquo為何物的人來說，空間将表現為有限尺寸而無明确邊界的東西。
我們将在後面看到，這種沒有明顯邊界但并非無限的&ldquo自我封閉的三維空間&rdquo在讨論整個宇宙的性質時是非常有用的。
事實上，用最強大的望遠鏡所作的觀測似乎表明，在如此遙遠的距離處，空間開始彎曲，顯示出一種返折回來自我封閉的明顯趨勢，就像蘋果被蟲子蛀出通道的那個例子一樣。
但在讨論這些令人興奮的問題之前，我們還得再了解一下空間的其他性質。
關于蘋果和蟲子，我們還沒有講完。
下一個問題是：能否把一個被蟲子蛀過的蘋果變成一個面包圈呢？當然，這并不是說要使蘋果嘗起來像面包圈，而隻是說讓它看起來像面包圈；我們在讨論幾何學，而不是烹饪術。
讓我們取一個上一節所讨論的&ldquo雙蘋果&rdquo，也就是兩個&ldquo相互穿過&rdquo且表皮&ldquo粘連在一起&rdquo的新鮮蘋果。
假設有一隻蟲子在其中一個蘋果中蛀出了一條環形通道，如圖19所示。
請記住，是在一個蘋果中蛀的，所以通道外的每一點都是屬于兩個蘋果的雙重點，而通道内則隻有那個未被蟲蛀過的蘋果的物質。
這樣一來，我們這個&ldquo雙蘋果&rdquo就有了一個由通道内壁組成的自由面（圖19a）。
圖19 如何将一個被蟲子蛀過的雙蘋果變成一個面包圈。
不是魔術，隻有拓撲！ 你能改變這個受損蘋果的形狀，将它變成一個面包圈嗎？當然，這要假設蘋果有很大的可塑性，可以随意捏成什麼樣子，唯一的條件是蘋果不會發生破裂。
為了便于操作，我們可以把蘋果切開，隻要在完成所需的變形之後還能将切口粘起來。
首先，我們把形成&ldquo雙蘋果&rdquo的兩個部分的表皮解開，從而将兩個蘋果分開（圖19b）。
為了便于在接下來的各個步驟中進行追蹤，我們用Ⅰ和Ⅰ&prime這兩個數字來表示這兩張剝離開的表皮，最後我們還會把它們重新粘起來。
接着，将那個包含着蟲蛀通道的蘋果切開（圖19c），這便切出了兩個新的面，分别标記為Ⅱ、Ⅱ&prime和Ⅲ、Ⅲ&prime，以後還會把它們粘回去。
通道的自由面也顯示出來了，它必定會成為面包圈的自由面。
現在，讓我們按照圖19d所示來拉伸這幾個碎塊，這個自由面被拉伸成了很大一塊（不過按照我們的假定，這裡使用的材料可以任意伸縮！）。
與此同時，切開的面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的尺寸都減小了。
當我們對&ldquo雙蘋果&rdquo的前一半做手術時，也必定會把另一半壓縮成櫻桃大小。
現在，我們要開始沿着切口往回粘了。
第一步很容易，先把Ⅲ、Ⅲ&prime粘在一起，得到圖19e所示的形狀。
再把縮小的蘋果放在由此形成的兩鉗口之間。
收攏兩鉗口，球面Ⅰ将與Ⅰ&prime重新粘在一起，切面Ⅱ和Ⅱ&prime也将合在一起。
這樣，我們便得到了一個光滑而精緻的面包圈。
做這一切有什麼意義呢？ 沒有什麼意義，隻是讓你在想象中做做幾何學練習，這種思維體操有助于你理解彎曲空間和自我封閉空間這樣的異乎尋常的東西。
如果你願意再擴展一下想象力，我們可以看看上述做法的一個&ldquo實際應用&rdquo。
你大概從未想過，你的身體也曾有過面包圈的形狀吧。
事實上，任何生命體在其發育的最初階段（胚胎階段）都要經曆所謂的&ldquo原腸胚&rdquo階段。
在這個階段中，它呈球形，一條寬闊的通道橫穿其中。
食物從通道的一端進入，待生命體攝取了有用成分之後，剩下的東西從另一端排出。
在發育成熟的生命體中，内部通道變得更細、更複雜，但主要原則依然不變：面包圈形的所有幾何性質都沒有改變。
好了，既然你也是個面包圈，現在嘗試逆着圖19的方式作個變形&mdash&mdash（在思想中！）努力把你的身體變成一個擁有内部通道的雙蘋果。
特别是，你會發現，你身體中彼此部分交疊的不同部分将會形成&ldquo雙蘋果&rdquo的果體，而包括地球、月亮、太陽和星辰在内的整個宇宙将被擠入内部的圓形通道！ 試着畫畫看它是什麼樣子。
如果你畫得不錯，連達利（SalvadoDali）本人也要承認你的超現實主義畫作技高一籌了！（圖20） 圖20 裡面翻到外面的宇宙。
這幅超現實主義畫作畫的是一個人邊在地球表面上行走，邊擡頭看星星。
這幅畫按照圖19所示的方法作了拓撲變換。
于是，地球、太陽和星辰都擠在貫穿人體的一個狹窄通道中，周圍則是他的内部器官 雖然本節已經很長，但在結束它之前，我們還要讨論一下左手系、右手系物體及其與空間一般性質的關系。
介紹這個問題最方便的辦法是從一副手套談起。
比較一下一副手套（圖21），你會發現它們在各方面都是相同的，但有一個重大差異：你無法把左手套戴到右手上，也無法把右手套戴到左手上。
你可以随意将它們扭來轉去，但左手套永遠是左手套，右手套永遠是右手套。
左手系物體與右手系物體的這種區别還可見于鞋子的形狀、汽車的轉向機構（美國的和英國的）
關于我們的模型，第二點要注意的是，雖然兩套通道的總長度是有限的，但沒有&ldquo死胡同&rdquo。
你可以不斷穿過走廊和樓梯，而不會被牆壁或栅欄擋住；如果你走得足夠遠，你最終一定能回到你的出發點。
從外面審視整個結構，我們可以說，在這迷宮中穿行的人最終總會回到其出發點，因為樓梯會逐漸轉到反方向。
但對于處在内部而不知&ldquo外面&rdquo為何物的人來說，空間将表現為有限尺寸而無明确邊界的東西。
我們将在後面看到，這種沒有明顯邊界但并非無限的&ldquo自我封閉的三維空間&rdquo在讨論整個宇宙的性質時是非常有用的。
事實上，用最強大的望遠鏡所作的觀測似乎表明，在如此遙遠的距離處，空間開始彎曲，顯示出一種返折回來自我封閉的明顯趨勢，就像蘋果被蟲子蛀出通道的那個例子一樣。
但在讨論這些令人興奮的問題之前，我們還得再了解一下空間的其他性質。
關于蘋果和蟲子，我們還沒有講完。
下一個問題是：能否把一個被蟲子蛀過的蘋果變成一個面包圈呢？當然，這并不是說要使蘋果嘗起來像面包圈，而隻是說讓它看起來像面包圈；我們在讨論幾何學，而不是烹饪術。
讓我們取一個上一節所讨論的&ldquo雙蘋果&rdquo，也就是兩個&ldquo相互穿過&rdquo且表皮&ldquo粘連在一起&rdquo的新鮮蘋果。
假設有一隻蟲子在其中一個蘋果中蛀出了一條環形通道，如圖19所示。
請記住，是在一個蘋果中蛀的，所以通道外的每一點都是屬于兩個蘋果的雙重點，而通道内則隻有那個未被蟲蛀過的蘋果的物質。
這樣一來，我們這個&ldquo雙蘋果&rdquo就有了一個由通道内壁組成的自由面（圖19a）。
圖19 如何将一個被蟲子蛀過的雙蘋果變成一個面包圈。
不是魔術，隻有拓撲！ 你能改變這個受損蘋果的形狀，将它變成一個面包圈嗎？當然，這要假設蘋果有很大的可塑性，可以随意捏成什麼樣子，唯一的條件是蘋果不會發生破裂。
為了便于操作，我們可以把蘋果切開，隻要在完成所需的變形之後還能将切口粘起來。
首先，我們把形成&ldquo雙蘋果&rdquo的兩個部分的表皮解開，從而将兩個蘋果分開（圖19b）。
為了便于在接下來的各個步驟中進行追蹤，我們用Ⅰ和Ⅰ&prime這兩個數字來表示這兩張剝離開的表皮，最後我們還會把它們重新粘起來。
接着，将那個包含着蟲蛀通道的蘋果切開（圖19c），這便切出了兩個新的面，分别标記為Ⅱ、Ⅱ&prime和Ⅲ、Ⅲ&prime，以後還會把它們粘回去。
通道的自由面也顯示出來了，它必定會成為面包圈的自由面。
現在，讓我們按照圖19d所示來拉伸這幾個碎塊，這個自由面被拉伸成了很大一塊（不過按照我們的假定，這裡使用的材料可以任意伸縮！）。
與此同時，切開的面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的尺寸都減小了。
當我們對&ldquo雙蘋果&rdquo的前一半做手術時，也必定會把另一半壓縮成櫻桃大小。
現在，我們要開始沿着切口往回粘了。
第一步很容易，先把Ⅲ、Ⅲ&prime粘在一起，得到圖19e所示的形狀。
再把縮小的蘋果放在由此形成的兩鉗口之間。
收攏兩鉗口，球面Ⅰ将與Ⅰ&prime重新粘在一起，切面Ⅱ和Ⅱ&prime也将合在一起。
這樣，我們便得到了一個光滑而精緻的面包圈。
做這一切有什麼意義呢？ 沒有什麼意義，隻是讓你在想象中做做幾何學練習，這種思維體操有助于你理解彎曲空間和自我封閉空間這樣的異乎尋常的東西。
如果你願意再擴展一下想象力，我們可以看看上述做法的一個&ldquo實際應用&rdquo。
你大概從未想過，你的身體也曾有過面包圈的形狀吧。
事實上，任何生命體在其發育的最初階段（胚胎階段）都要經曆所謂的&ldquo原腸胚&rdquo階段。
在這個階段中，它呈球形，一條寬闊的通道橫穿其中。
食物從通道的一端進入，待生命體攝取了有用成分之後，剩下的東西從另一端排出。
在發育成熟的生命體中，内部通道變得更細、更複雜，但主要原則依然不變：面包圈形的所有幾何性質都沒有改變。
好了，既然你也是個面包圈，現在嘗試逆着圖19的方式作個變形&mdash&mdash（在思想中！）努力把你的身體變成一個擁有内部通道的雙蘋果。
特别是，你會發現，你身體中彼此部分交疊的不同部分将會形成&ldquo雙蘋果&rdquo的果體，而包括地球、月亮、太陽和星辰在内的整個宇宙将被擠入内部的圓形通道！ 試着畫畫看它是什麼樣子。
如果你畫得不錯，連達利（SalvadoDali）本人也要承認你的超現實主義畫作技高一籌了！（圖20） 圖20 裡面翻到外面的宇宙。
這幅超現實主義畫作畫的是一個人邊在地球表面上行走，邊擡頭看星星。
這幅畫按照圖19所示的方法作了拓撲變換。
于是，地球、太陽和星辰都擠在貫穿人體的一個狹窄通道中，周圍則是他的内部器官 雖然本節已經很長，但在結束它之前，我們還要讨論一下左手系、右手系物體及其與空間一般性質的關系。
介紹這個問題最方便的辦法是從一副手套談起。
比較一下一副手套（圖21），你會發現它們在各方面都是相同的，但有一個重大差異：你無法把左手套戴到右手上，也無法把右手套戴到左手上。
你可以随意将它們扭來轉去，但左手套永遠是左手套，右手套永遠是右手套。
左手系物體與右手系物體的這種區别還可見于鞋子的形狀、汽車的轉向機構（美國的和英國的）