第三章 空間的不尋常性質
關燈
小
中
大
F之間就沒有關系了。
關系是有的，但有所不同。
對于面包圈形的，或者說得更科學一些，對于環面形（torus）的多面體來說，V+F=E，而對于扭結形（pretzel）的多面體來說，V+F=E-2。
一般說來，V+F=E+2-2N，其中N為孔眼的數目。
另一個典型的拓撲學問題與歐拉定理密切相關，那就是所謂的&ldquo四色問題&rdquo。
假定有一個被劃分成若幹區域的球面，現在要給這些區域塗上顔色，要求任何兩個相鄰的區域（即擁有共同邊界的區域）不能有同一種顔色。
那麼，要想完成這項工作，最少需要幾種顔色呢？顯然，兩種顔色一般來說是不夠用的，因為當三條邊界交于一點時（比如美國地圖上的弗吉尼亞州、西弗吉尼亞州和馬裡蘭州，見圖17），就需要三種不同的顔色。
圖17 馬裡蘭州、弗吉尼亞州和西弗吉尼亞州的地圖（左）以及瑞士、法國、德國和意大利的地圖（右） 要找到需要四種顔色的例子也不難，比如德國吞并奧地利時期的瑞士地圖（圖17）。
21 但無論你怎麼努力，也想象不出一張非得用四種以上顔色的地圖，無論在球面上還是一張紙上。
22看來，無論把地圖構造得多麼複雜，用四種顔色就足以避免邊界處的任何相混了。
不過，如果這種說法是正确的，就應該能用數學方法證明它。
然而，經過幾代數學家的努力，仍然未能做到這一點。
這是那種幾乎無人懷疑、但也無人能夠證明的數學陳述的一個典型案例。
我們現在隻能從數學上證明五種顔色總是夠用的。
這個證明是将歐拉關系應用于國家數、邊界數和若幹個國家交會的三重、四重等交點數而得出的。
這個證明非常複雜，寫下來會離題太遠，這裡就不贅述了。
讀者可以在各種拓撲學著作中找到它，并且在沉思中度過一個愉快的夜晚（說不定還會一夜無眠）。
如果有誰能夠證明無需五種、隻需四種顔色就足以給任何地圖上色，或者，如果對這種說法的有效性産生懷疑，能夠畫出一幅四種顔色也不夠用的地圖，那麼無論哪種情況成功了，他的大名都會經常出現在未來幾個世紀的純粹數學年鑒上。
頗具諷刺意味的是，這個上色問題在球面或平面的情況下怎麼也求解不得，而對于面包圈形或扭結形等更為複雜的表面卻能以相對簡單的方式得到解決。
例如，人們已經最終證明，無論對面包圈形的表面作怎樣的劃分，要使它的相鄰區域的顔色有所不同，最多需要七種顔色。
實際需要七種顔色的例子也已經給出。
讀者如果不厭其煩，可以找一個充氣輪胎和七種不同顔色的油漆給輪胎上色，使每一種顔色的區域都與另外六種顔色的區域相鄰。
做完之後，他就可以說他&ldquo對面包圈形的表面的确了如指掌&rdquo了。
三、把空間翻過來 到目前為止，我們一直在讨論各種表面也就是二維空間的拓撲學性質。
但類似的問題顯然也可以針對我們生存于其中的三維空間提出。
這樣一來，地圖上色問題在三維情況下的推廣就可以表述成：要把由不同材料制成的各種形狀的鑲嵌圖案拼成一個空間，使得沒有任何兩塊由同一種材料制成的鑲嵌圖案有共同的接觸面，那麼需要用多少種材料？ 上色問題在球面或環面上的三維類比是什麼呢？能不能想出一些不同尋常的空間，它們與普通空間的關系就如同球面或環面與普通平面的關系？初看起來，這個問題似乎沒有什麼意義。
事實上，我們雖然很容易想到許多不同形狀的表面，卻往往認為隻可能有一種三維空間，即我們生活于其中的那個熟悉的物理空間。
但這種看法是一種危險的幻覺。
隻要稍微發動一下想象力，我們就能想出與歐幾裡得幾何教科書中所講空間截然不同的一些三維空間。
設想這類古怪空間的主要困難在于，我們本身是三維生物，我們隻能&ldquo從内部&rdquo打量這個空間，而不能像在觀察各種怪異表面時那樣&ldquo從外部&rdquo去打量。
不過，經過一番思維訓練，我們是能夠征服這些怪異空間的。
我們首先來建立一個性質與球面相似的三維空間模型。
當然，球面的主要性質是：它沒有邊界，但有有限的面積；它轉過來自我封閉。
我們能否設想一個三維空間，它以類似的方式自我封閉，從而有有限的體積而無明确邊界呢？ 考慮兩個球體，它們各自被自己的球面所限，就像蘋果被自己的外皮所限一樣。
現在，設想這兩個球體&ldquo相互穿過&rdquo，沿外表面連在一起。
當然，這并不是說我們能把兩個物體（比如兩個蘋果）擠得相互穿過，從而使其表皮粘連在一起。
蘋果能被擠碎，但永遠也不會相互穿過。
或者，我們可以設想有個蘋果被蟲子吃出了錯綜複雜的通道。
假定有黑色和白色兩種蟲子，它們彼此厭惡，在蘋果内的各自通道絕不相通，盡管可以始于蘋果皮上的相鄰兩點。
一個被這兩種蟲子蛀來蛀去的蘋果最後會像圖18那樣，出現兩個緊密交纏、布滿整個蘋果内部的通道網絡。
然而，盡管黑蟲和白蟲的通道可以很接近，要想從一半迷宮走到另一半迷宮，卻必須先到表面才行。
如果設想通道變得越來越細，數目越來越多，最後蘋果内将會有兩個互相交疊的獨立空間，它們僅在共同表面上相連。
圖18 如果你不喜歡蟲子，可以設想一種類似于紐約世界博覽會的巨型球體建築中那種雙走廊雙樓梯系統。
設想每一套樓梯系統都盤旋穿過整個球體，但要從其中一套系統的某個點到達另一套系統的臨近點，隻能先走到球面上兩套系統的會合處，然後再往回走。
我們說這兩個球體互相交疊而彼此不相幹涉，你的朋友可能離你很近，但要見到他、握個手，你必須兜很大的圈子！需要注意的是，這兩套樓梯系統的連
關系是有的，但有所不同。
對于面包圈形的，或者說得更科學一些，對于環面形（torus）的多面體來說，V+F=E，而對于扭結形（pretzel）的多面體來說，V+F=E-2。
一般說來，V+F=E+2-2N，其中N為孔眼的數目。
另一個典型的拓撲學問題與歐拉定理密切相關，那就是所謂的&ldquo四色問題&rdquo。
假定有一個被劃分成若幹區域的球面，現在要給這些區域塗上顔色，要求任何兩個相鄰的區域（即擁有共同邊界的區域）不能有同一種顔色。
那麼，要想完成這項工作，最少需要幾種顔色呢？顯然，兩種顔色一般來說是不夠用的，因為當三條邊界交于一點時（比如美國地圖上的弗吉尼亞州、西弗吉尼亞州和馬裡蘭州，見圖17），就需要三種不同的顔色。
圖17 馬裡蘭州、弗吉尼亞州和西弗吉尼亞州的地圖（左）以及瑞士、法國、德國和意大利的地圖（右） 要找到需要四種顔色的例子也不難，比如德國吞并奧地利時期的瑞士地圖（圖17）。
21 但無論你怎麼努力，也想象不出一張非得用四種以上顔色的地圖，無論在球面上還是一張紙上。
22看來，無論把地圖構造得多麼複雜，用四種顔色就足以避免邊界處的任何相混了。
不過，如果這種說法是正确的，就應該能用數學方法證明它。
然而，經過幾代數學家的努力，仍然未能做到這一點。
這是那種幾乎無人懷疑、但也無人能夠證明的數學陳述的一個典型案例。
我們現在隻能從數學上證明五種顔色總是夠用的。
這個證明是将歐拉關系應用于國家數、邊界數和若幹個國家交會的三重、四重等交點數而得出的。
這個證明非常複雜，寫下來會離題太遠，這裡就不贅述了。
讀者可以在各種拓撲學著作中找到它，并且在沉思中度過一個愉快的夜晚（說不定還會一夜無眠）。
如果有誰能夠證明無需五種、隻需四種顔色就足以給任何地圖上色，或者，如果對這種說法的有效性産生懷疑，能夠畫出一幅四種顔色也不夠用的地圖，那麼無論哪種情況成功了，他的大名都會經常出現在未來幾個世紀的純粹數學年鑒上。
頗具諷刺意味的是，這個上色問題在球面或平面的情況下怎麼也求解不得，而對于面包圈形或扭結形等更為複雜的表面卻能以相對簡單的方式得到解決。
例如，人們已經最終證明，無論對面包圈形的表面作怎樣的劃分，要使它的相鄰區域的顔色有所不同，最多需要七種顔色。
實際需要七種顔色的例子也已經給出。
讀者如果不厭其煩，可以找一個充氣輪胎和七種不同顔色的油漆給輪胎上色，使每一種顔色的區域都與另外六種顔色的區域相鄰。
做完之後，他就可以說他&ldquo對面包圈形的表面的确了如指掌&rdquo了。
三、把空間翻過來 到目前為止，我們一直在讨論各種表面也就是二維空間的拓撲學性質。
但類似的問題顯然也可以針對我們生存于其中的三維空間提出。
這樣一來，地圖上色問題在三維情況下的推廣就可以表述成：要把由不同材料制成的各種形狀的鑲嵌圖案拼成一個空間，使得沒有任何兩塊由同一種材料制成的鑲嵌圖案有共同的接觸面，那麼需要用多少種材料？ 上色問題在球面或環面上的三維類比是什麼呢？能不能想出一些不同尋常的空間，它們與普通空間的關系就如同球面或環面與普通平面的關系？初看起來，這個問題似乎沒有什麼意義。
事實上，我們雖然很容易想到許多不同形狀的表面，卻往往認為隻可能有一種三維空間，即我們生活于其中的那個熟悉的物理空間。
但這種看法是一種危險的幻覺。
隻要稍微發動一下想象力，我們就能想出與歐幾裡得幾何教科書中所講空間截然不同的一些三維空間。
設想這類古怪空間的主要困難在于，我們本身是三維生物，我們隻能&ldquo從内部&rdquo打量這個空間，而不能像在觀察各種怪異表面時那樣&ldquo從外部&rdquo去打量。
不過，經過一番思維訓練，我們是能夠征服這些怪異空間的。
我們首先來建立一個性質與球面相似的三維空間模型。
當然，球面的主要性質是：它沒有邊界，但有有限的面積；它轉過來自我封閉。
我們能否設想一個三維空間，它以類似的方式自我封閉，從而有有限的體積而無明确邊界呢？ 考慮兩個球體，它們各自被自己的球面所限，就像蘋果被自己的外皮所限一樣。
現在，設想這兩個球體&ldquo相互穿過&rdquo，沿外表面連在一起。
當然，這并不是說我們能把兩個物體（比如兩個蘋果）擠得相互穿過，從而使其表皮粘連在一起。
蘋果能被擠碎，但永遠也不會相互穿過。
或者，我們可以設想有個蘋果被蟲子吃出了錯綜複雜的通道。
假定有黑色和白色兩種蟲子，它們彼此厭惡，在蘋果内的各自通道絕不相通，盡管可以始于蘋果皮上的相鄰兩點。
一個被這兩種蟲子蛀來蛀去的蘋果最後會像圖18那樣，出現兩個緊密交纏、布滿整個蘋果内部的通道網絡。
然而，盡管黑蟲和白蟲的通道可以很接近，要想從一半迷宮走到另一半迷宮，卻必須先到表面才行。
如果設想通道變得越來越細，數目越來越多，最後蘋果内将會有兩個互相交疊的獨立空間，它們僅在共同表面上相連。
圖18 如果你不喜歡蟲子，可以設想一種類似于紐約世界博覽會的巨型球體建築中那種雙走廊雙樓梯系統。
設想每一套樓梯系統都盤旋穿過整個球體，但要從其中一套系統的某個點到達另一套系統的臨近點，隻能先走到球面上兩套系統的會合處，然後再往回走。
我們說這兩個球體互相交疊而彼此不相幹涉，你的朋友可能離你很近，但要見到他、握個手，你必須兜很大的圈子！需要注意的是，這兩套樓梯系統的連