第三章 空間的不尋常性質
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4
二十面體
12
30
20
32
32
十二面體
20
30
12
32
32
&ldquo古怪體&rdquo
21
45
26
47
47
初看起來，前三欄的數字好像沒有什麼明确的關系。
但稍作研究就會發現，頂點數V與面數F之和總是比邊數E大2。
于是我們可以寫出這樣一個數學關系： V+F=E+2。
這種關系是隻适用于圖14所示的這五種特殊多面體，還是适用于任何多面體呢？如果你試着畫出幾種不同的多面體，數出它們的頂點、邊和面，你會發現上述關系依然成立。
由此可見，V+F=E+2是一條一般的拓撲學定理，因為這個關系式并不依賴于對邊長或面積的測量，而隻涉及若幹種不同的幾何學單位（頂點、邊、面）的數目。
我們方才發現的多面體的頂點數、邊數和面數之間所滿足的這一關系是17世紀著名的法國數學家笛卡兒（RenéDescartes）最先注意到的。
稍後，另一位數學天才歐拉對它做出了嚴格證明，如今它被稱為歐拉定理。
以下是對歐拉定理的完整證明，引自庫朗（R.Courant）和羅賓斯（H.Robbins）的著作《數學是什麼？》（WhatIsMathematics?），20我們可以看看這種證明是如何完成的。
為了證明歐拉的公式，讓我們把給定的簡單多面體想象成中空的，其表面由橡皮薄膜制成［圖15a］。
如果切掉這個中空多面體的一個面，并把其餘表面攤成一個平面［圖15b］。
在此過程中，多面體各個面的面積和各個邊之間的角度當然都會改變。
不過，該平面網絡中頂點和邊的數目仍與原多面體一樣多，而由于切掉了一個面，多邊形的數目将比原多面體的面數少一個。
現在我們将證明，對于這個平面網絡，V-E+F=1。
于是，如果把切掉的那個面算進去，結果就成了：對于原多面體來說，V-E+F=2。
圖15 對歐拉定理的證明。
該圖顯示的是正方體的情況，但結論對于任何其他多面體都成立 首先，我們給這個平面網絡中某個不是三角形的多邊形畫出對角線，從而把該平面網絡&ldquo三角形化&rdquo。
這樣一來，E和F都會增加1，因此V-E+F的值保持不變。
這樣持續畫出對角線，直到最後整個圖形都由三角形所組成［圖15c］。
在這個三角形化的網絡中，V-E+F仍和劃分成三角形之前的值一樣，因為畫對角線并不改變這個值。
一些三角形的邊位于該網絡的邊緣，其中有的三角形（例如△ABC）隻有一條邊位于邊緣，有的三角形則可能有兩條邊位于邊緣。
任取一個這樣的邊緣三角形，把它的那些不同時屬于其他三角形的部分移去［圖15d］。
這樣一來，從△ABC，我們移去了AC邊和面，留下了頂點A、B、C和兩條邊AB、BC；從△DEF,我們移去了面、兩條邊DF、FE以及頂點F。
在△ABC類型的移去法中，E和F都減少1，而V不變，因此V-E+F保持不變。
在△DEF類型的移去法中，V減少1，E減少2，F減少1，因此V-E+F同樣保持不變。
以恰當的順序逐步拿掉這些邊緣三角形，直到隻剩下一個三角形和它的三條邊、三個頂點和一個面。
對于這個簡單的網絡，V-E+F=3-3+1=1。
但我們已經看到，随着三角形的減少，V-E+F并不發生改變，因此在原來那個平面網絡中，V-E+F也必定等于1。
而這個網絡比原多面體少一個面，因此對于完整的多面體來說，V-E+F=2。
這便證明了歐拉的公式。
歐拉公式的一個有趣推論是：隻可能存在五種正多面體，即圖14所示的那五種。
然而，如果認真檢查一下前面幾頁的讨論，你也許會注意到，在繪制圖14所示的&ldquo各種不同的&rdquo多面體以及用數學推理來證明歐拉定理時，我們都作了一個隐秘的假設，導緻我們對多面體的選擇受到了很大限制。
也就是說，我們隻能選擇那些沒有任何孔眼的多面體。
我們所說的孔眼并不是指橡皮球上的破洞那樣的東西，而是類似于面包圈或橡皮輪胎當中那個閉合的窟窿。
我們隻要看看圖16就清楚了。
這裡有兩個不同的幾何體，它們和圖14所示的幾何體一樣也是多面體。
現在我們來看看歐拉定理是否适用于這兩個新的多面體。
圖16 分别穿有一個和兩個孔眼的兩個立方體狀的東西。
其各個面不都是嚴格的矩形，但正如我們所看到的，這在拓撲學中無關緊要 對于第一個幾何體，我們總共可以數出16個頂點、32條邊和16個面；于是，V+F=32，而E+2=34，不對了。
對于第二個幾何體，我們總共可以數出28個頂點、46條邊和30個面；V+F=58，E+2=48，同樣不對。
為什麼會這樣呢？我們前面對歐拉定理所作的一般證明對于這兩個例子為什麼失效了？ 問題當然在于，我們前面考慮的所有多面體都可以看成一個球膽或氣球，而這裡的新型中空多面體卻更像輪胎或更複雜的橡膠制品。
前面給出的數學證明無法運用于後面這類多面體，因為對于這類多面體，我們無法完成證明所必需的所有操作&mdash&mdash&ldquo切掉這個中空多面體的一個面，并把其餘表面攤成一個平面&rdquo。
如果拿一個球膽，用剪刀切掉它的一部分表面，你将很容易滿足這個要求。
但對于一個輪胎卻無法做到。
倘若看了圖16還不相信這一點，你可以找個舊輪胎試試！ 但不要以為對于這種更複雜的多面體，V、E和
但稍作研究就會發現，頂點數V與面數F之和總是比邊數E大2。
于是我們可以寫出這樣一個數學關系： V+F=E+2。
這種關系是隻适用于圖14所示的這五種特殊多面體，還是适用于任何多面體呢？如果你試着畫出幾種不同的多面體，數出它們的頂點、邊和面，你會發現上述關系依然成立。
由此可見，V+F=E+2是一條一般的拓撲學定理，因為這個關系式并不依賴于對邊長或面積的測量，而隻涉及若幹種不同的幾何學單位（頂點、邊、面）的數目。
我們方才發現的多面體的頂點數、邊數和面數之間所滿足的這一關系是17世紀著名的法國數學家笛卡兒（RenéDescartes）最先注意到的。
稍後，另一位數學天才歐拉對它做出了嚴格證明，如今它被稱為歐拉定理。
以下是對歐拉定理的完整證明，引自庫朗（R.Courant）和羅賓斯（H.Robbins）的著作《數學是什麼？》（WhatIsMathematics?），20我們可以看看這種證明是如何完成的。
為了證明歐拉的公式，讓我們把給定的簡單多面體想象成中空的，其表面由橡皮薄膜制成［圖15a］。
如果切掉這個中空多面體的一個面，并把其餘表面攤成一個平面［圖15b］。
在此過程中，多面體各個面的面積和各個邊之間的角度當然都會改變。
不過，該平面網絡中頂點和邊的數目仍與原多面體一樣多，而由于切掉了一個面，多邊形的數目将比原多面體的面數少一個。
現在我們将證明，對于這個平面網絡，V-E+F=1。
于是，如果把切掉的那個面算進去，結果就成了：對于原多面體來說，V-E+F=2。
圖15 對歐拉定理的證明。
該圖顯示的是正方體的情況，但結論對于任何其他多面體都成立 首先，我們給這個平面網絡中某個不是三角形的多邊形畫出對角線，從而把該平面網絡&ldquo三角形化&rdquo。
這樣一來，E和F都會增加1，因此V-E+F的值保持不變。
這樣持續畫出對角線，直到最後整個圖形都由三角形所組成［圖15c］。
在這個三角形化的網絡中，V-E+F仍和劃分成三角形之前的值一樣，因為畫對角線并不改變這個值。
一些三角形的邊位于該網絡的邊緣，其中有的三角形（例如△ABC）隻有一條邊位于邊緣，有的三角形則可能有兩條邊位于邊緣。
任取一個這樣的邊緣三角形，把它的那些不同時屬于其他三角形的部分移去［圖15d］。
這樣一來，從△ABC，我們移去了AC邊和面，留下了頂點A、B、C和兩條邊AB、BC；從△DEF,我們移去了面、兩條邊DF、FE以及頂點F。
在△ABC類型的移去法中，E和F都減少1，而V不變，因此V-E+F保持不變。
在△DEF類型的移去法中，V減少1，E減少2，F減少1，因此V-E+F同樣保持不變。
以恰當的順序逐步拿掉這些邊緣三角形，直到隻剩下一個三角形和它的三條邊、三個頂點和一個面。
對于這個簡單的網絡，V-E+F=3-3+1=1。
但我們已經看到，随着三角形的減少，V-E+F并不發生改變，因此在原來那個平面網絡中，V-E+F也必定等于1。
而這個網絡比原多面體少一個面，因此對于完整的多面體來說，V-E+F=2。
這便證明了歐拉的公式。
歐拉公式的一個有趣推論是：隻可能存在五種正多面體，即圖14所示的那五種。
然而，如果認真檢查一下前面幾頁的讨論，你也許會注意到，在繪制圖14所示的&ldquo各種不同的&rdquo多面體以及用數學推理來證明歐拉定理時，我們都作了一個隐秘的假設，導緻我們對多面體的選擇受到了很大限制。
也就是說，我們隻能選擇那些沒有任何孔眼的多面體。
我們所說的孔眼并不是指橡皮球上的破洞那樣的東西，而是類似于面包圈或橡皮輪胎當中那個閉合的窟窿。
我們隻要看看圖16就清楚了。
這裡有兩個不同的幾何體，它們和圖14所示的幾何體一樣也是多面體。
現在我們來看看歐拉定理是否适用于這兩個新的多面體。
圖16 分别穿有一個和兩個孔眼的兩個立方體狀的東西。
其各個面不都是嚴格的矩形，但正如我們所看到的，這在拓撲學中無關緊要 對于第一個幾何體，我們總共可以數出16個頂點、32條邊和16個面；于是，V+F=32，而E+2=34，不對了。
對于第二個幾何體，我們總共可以數出28個頂點、46條邊和30個面；V+F=58，E+2=48，同樣不對。
為什麼會這樣呢？我們前面對歐拉定理所作的一般證明對于這兩個例子為什麼失效了？ 問題當然在于，我們前面考慮的所有多面體都可以看成一個球膽或氣球，而這裡的新型中空多面體卻更像輪胎或更複雜的橡膠制品。
前面給出的數學證明無法運用于後面這類多面體，因為對于這類多面體，我們無法完成證明所必需的所有操作&mdash&mdash&ldquo切掉這個中空多面體的一個面，并把其餘表面攤成一個平面&rdquo。
如果拿一個球膽，用剪刀切掉它的一部分表面，你将很容易滿足這個要求。
但對于一個輪胎卻無法做到。
倘若看了圖16還不相信這一點，你可以找個舊輪胎試試！ 但不要以為對于這種更複雜的多面體，V、E和