第三章 空間的不尋常性質
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一、維數和坐标
我們都知道什麼叫空間。
但要精确地定義這個詞的意思，我們恐怕又會張口結舌。
我們也許會說，空間就是那個我們可以在其中前後、左右、上下移動的包圍着我們的東西。
存在着三個互相垂直的獨立方向，這是我們生活于其中的物理空間的最基本的性質之一；我們說，這個空間是三個方向的或三維的。
空間中的任何位置都可以通過這三個方向來确定。
如果我們來到一座陌生的城市，向旅店服務員詢問如何找到某家知名商号的辦事處，那麼他可能會說：&ldquo向南走5個街區，然後向右拐再走2個街區，上到7層。
&rdquo以上這三個數通常被稱為坐标，在這個例子中規定了城市街道、樓層和原點（旅店廳堂）的關系。
不過顯然，同一地點的方位也可以由其他任何一點給出，隻要使用一個能正确表達新原點與目的地之間關系的坐标系就行了。
隻要知道新坐标系相對于舊坐标系的位置，就可以通過簡單的數學運算，用舊坐标表示出新坐标。
這一過程被稱為坐标變換。
這裡不妨補充一句，這三個坐标并不一定要由代表距離的數來表達；事實上在某些情況下，使用角坐标要更加方便。
例如，紐約的地址通常用一個由街和路所組成的直角坐标系來表示，而莫斯科的地址則要換成極坐标，因為這座古老的城市是圍繞着克裡姆林中心城堡發展起來的，它既有從城堡輻射出去的各個街道，又有若幹條同心的環路。
因此人們會很自然地說，某座房子位于比如克裡姆林宮正北與西北正中間（north-north-west）的第20個街區。
直角坐标系和極坐标系的另一個經典例子是俄國的海軍部大廈和華盛頓的美國陸軍部五角大樓，這是二戰期間參與戰争工作的每一個人所熟知的。
圖12 這幾個例子表明如何能用三個坐标來表示空間中某一點的位置，其中有些坐标是距離，有些坐标是角度。
但無論選擇什麼系統，我們都需要三個數據，因為我們讨論的是三維空間 我們這些擁有三維空間概念的人雖然很難想象高于三維的超空間（盡管我們稍後會看到，這樣的空間是存在的），但卻很容易想象低于三維的子空間。
平面、球面或其他任何表面都是二維的子空間，因為隻需兩個數就可以描述表面上的任何一點。
同樣，線（直線或曲線）是一維的子空間，因為隻需一個數就可以描述線上的某個位置。
我們還可以說，點是零維的子空間，因為一個點内沒有兩個不同位置。
不過，誰會對點感興趣呢！ 作為三維生物的我們覺得理解線和面的幾何性質要比理解三維空間的幾何性質容易得多，因為我們是三維空間的一部分，可以&ldquo從外面&rdquo觀察線和面。
因此，我們很容易理解曲線或曲面是什麼意思，而一聽說三維空間也可以彎曲便會大吃一驚。
但隻要稍作練習，并且了解了&ldquo曲率&rdquo一詞的真實含義，你就會發現彎曲三維空間的概念其實非常簡單。
到下一章結束時，（我們希望）你甚至能夠輕松地談論一個初看起來非常可怕的概念，那就是彎曲的四維空間。
不過在讨論那些内容之前，我們先來做一些有關普通三維空間、二維表面和一維的線的思維訓練。
二、不量尺寸的幾何學 根據我們中學時的記憶，幾何學是關于空間量度的科學，18其内容主要是涉及各種距離和角度之間數值關系的一大堆定理（例如，著名的畢達哥拉斯定理就與直角三角形的三條邊有關）。
然而，空間的許多最基本性質并不需要測量長度或角度。
讨論這些内容的幾何學分支被稱為位置分析（analysissitus）或拓撲學（topology）19。
茲舉一個典型拓撲學的簡單例子。
考慮一個封閉的幾何面，比如一個球面，它被一張線網劃分成許多區域。
為此，我們可以在球面上任選一些點，用不相交的線将它們連接起來。
那麼，這些點的數目、相鄰區域之間邊界線的數目以及區域的數目之間有什麼關系呢？ 首先，如果把這個圓球擠成南瓜狀的扁球，或者拉成黃瓜狀的長條，那麼點、線、區域的數目顯然還和圓球時一樣。
事實上，我們可以取随意擠壓拉扯（除了切割或撕裂）一個橡皮球時所能得到的任何封閉表面，對上述問題的表述和回答都不會有任何改變。
這與一般幾何學中的數值關系（比如線的長度、面積、體積之間的關系）截然不同。
事實上，如果把一個正方體拉扯成一個平行六面體，或者把球體壓成餅形，這些關系會發生很大變化。
對于這個已經劃分成若幹個區域的球體，我們現在可以将它的每一個區域都壓平，這樣一來，該球體就變成了一個多面體（圖13）；現在，不同區域的邊界變成了多面體的邊，原先選定的點則成了多面體的頂點。
圖13 一個劃分成若幹區域的球體變形為一個多面體 現在，我們之前那個問題就可以重新表述成（其含義沒有任何改變）：一個任意形狀的多面體的頂點數、邊數和面數之間是什麼關系？ 圖14顯示了五種正多面體（即所有面都有同樣數目的邊和頂點）和一個純粹憑想象畫出的不規則多面體。
圖14 五種正多面體（隻可能有這五種）和一個不規則的古怪多面體 我們可以數一數這些幾何體各自擁有的頂點數、邊數和面數，看看這三個數之間有沒有什麼關系？ 通過計數，我們可以制得下表。
多面體名稱 頂點數V 邊數E 面數F V+F E+2 四面體 4 6 4 8 8 六面體 8 12 6 14 14 八面體 6 12 8 14 1
但要精确地定義這個詞的意思，我們恐怕又會張口結舌。
我們也許會說，空間就是那個我們可以在其中前後、左右、上下移動的包圍着我們的東西。
存在着三個互相垂直的獨立方向，這是我們生活于其中的物理空間的最基本的性質之一；我們說，這個空間是三個方向的或三維的。
空間中的任何位置都可以通過這三個方向來确定。
如果我們來到一座陌生的城市，向旅店服務員詢問如何找到某家知名商号的辦事處，那麼他可能會說：&ldquo向南走5個街區，然後向右拐再走2個街區，上到7層。
&rdquo以上這三個數通常被稱為坐标，在這個例子中規定了城市街道、樓層和原點（旅店廳堂）的關系。
不過顯然，同一地點的方位也可以由其他任何一點給出，隻要使用一個能正确表達新原點與目的地之間關系的坐标系就行了。
隻要知道新坐标系相對于舊坐标系的位置，就可以通過簡單的數學運算，用舊坐标表示出新坐标。
這一過程被稱為坐标變換。
這裡不妨補充一句，這三個坐标并不一定要由代表距離的數來表達；事實上在某些情況下，使用角坐标要更加方便。
例如，紐約的地址通常用一個由街和路所組成的直角坐标系來表示，而莫斯科的地址則要換成極坐标，因為這座古老的城市是圍繞着克裡姆林中心城堡發展起來的，它既有從城堡輻射出去的各個街道，又有若幹條同心的環路。
因此人們會很自然地說，某座房子位于比如克裡姆林宮正北與西北正中間（north-north-west）的第20個街區。
直角坐标系和極坐标系的另一個經典例子是俄國的海軍部大廈和華盛頓的美國陸軍部五角大樓，這是二戰期間參與戰争工作的每一個人所熟知的。
圖12 這幾個例子表明如何能用三個坐标來表示空間中某一點的位置，其中有些坐标是距離，有些坐标是角度。
但無論選擇什麼系統，我們都需要三個數據，因為我們讨論的是三維空間 我們這些擁有三維空間概念的人雖然很難想象高于三維的超空間（盡管我們稍後會看到，這樣的空間是存在的），但卻很容易想象低于三維的子空間。
平面、球面或其他任何表面都是二維的子空間，因為隻需兩個數就可以描述表面上的任何一點。
同樣，線（直線或曲線）是一維的子空間，因為隻需一個數就可以描述線上的某個位置。
我們還可以說，點是零維的子空間，因為一個點内沒有兩個不同位置。
不過，誰會對點感興趣呢！ 作為三維生物的我們覺得理解線和面的幾何性質要比理解三維空間的幾何性質容易得多，因為我們是三維空間的一部分，可以&ldquo從外面&rdquo觀察線和面。
因此，我們很容易理解曲線或曲面是什麼意思，而一聽說三維空間也可以彎曲便會大吃一驚。
但隻要稍作練習，并且了解了&ldquo曲率&rdquo一詞的真實含義，你就會發現彎曲三維空間的概念其實非常簡單。
到下一章結束時，（我們希望）你甚至能夠輕松地談論一個初看起來非常可怕的概念，那就是彎曲的四維空間。
不過在讨論那些内容之前，我們先來做一些有關普通三維空間、二維表面和一維的線的思維訓練。
二、不量尺寸的幾何學 根據我們中學時的記憶，幾何學是關于空間量度的科學，18其内容主要是涉及各種距離和角度之間數值關系的一大堆定理（例如，著名的畢達哥拉斯定理就與直角三角形的三條邊有關）。
然而，空間的許多最基本性質并不需要測量長度或角度。
讨論這些内容的幾何學分支被稱為位置分析（analysissitus）或拓撲學（topology）19。
茲舉一個典型拓撲學的簡單例子。
考慮一個封閉的幾何面，比如一個球面，它被一張線網劃分成許多區域。
為此，我們可以在球面上任選一些點，用不相交的線将它們連接起來。
那麼，這些點的數目、相鄰區域之間邊界線的數目以及區域的數目之間有什麼關系呢？ 首先，如果把這個圓球擠成南瓜狀的扁球，或者拉成黃瓜狀的長條，那麼點、線、區域的數目顯然還和圓球時一樣。
事實上，我們可以取随意擠壓拉扯（除了切割或撕裂）一個橡皮球時所能得到的任何封閉表面，對上述問題的表述和回答都不會有任何改變。
這與一般幾何學中的數值關系（比如線的長度、面積、體積之間的關系）截然不同。
事實上，如果把一個正方體拉扯成一個平行六面體，或者把球體壓成餅形，這些關系會發生很大變化。
對于這個已經劃分成若幹個區域的球體，我們現在可以将它的每一個區域都壓平，這樣一來，該球體就變成了一個多面體（圖13）；現在，不同區域的邊界變成了多面體的邊，原先選定的點則成了多面體的頂點。
圖13 一個劃分成若幹區域的球體變形為一個多面體 現在，我們之前那個問題就可以重新表述成（其含義沒有任何改變）：一個任意形狀的多面體的頂點數、邊數和面數之間是什麼關系？ 圖14顯示了五種正多面體（即所有面都有同樣數目的邊和頂點）和一個純粹憑想象畫出的不規則多面體。
圖14 五種正多面體（隻可能有這五種）和一個不規則的古怪多面體 我們可以數一數這些幾何體各自擁有的頂點數、邊數和面數，看看這三個數之間有沒有什麼關系？ 通過計數，我們可以制得下表。
多面體名稱 頂點數V 邊數E 面數F V+F E+2 四面體 4 6 4 8 8 六面體 8 12 6 14 14 八面體 6 12 8 14 1