第二章 自然數與人工數
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一、最純粹的數學
數學通常被人們尤其是數學家們譽為科學的女皇。
既然是女皇，自然要力圖避免與其他知識分支扯上關系。
比如在一次&ldquo純粹數學與應用數學聯席會議&rdquo上，希爾伯特應邀作一次公開演講，以幫助消除這兩種數學家之間的敵意，他是這樣說的： 我們常常聽說，純粹數學與應用數學是彼此敵對的。
事實并非如此。
純粹數學和應用數學并非彼此敵對。
它們過去不曾敵對，将來也不會敵對。
它們不可能彼此敵對，因為兩者其實毫無共同之處。
然而，盡管數學喜歡保持純粹，并盡力遠離其他科學，但其他科學尤其是物理學，卻極力同數學&ldquo親善&rdquo。
事實上，純粹數學的幾乎每一個分支現在都被用來解釋物理世界的某個特征。
這包括抽象群理論、非交換代數、非歐幾何等一直被認為最為純粹、絕不可能付諸應用的學科。
但迄今為止，除了起智力訓練的作用以外，還有一個巨大的數學分支成功地保持住了自己的無用性，它真可以被冠以&ldquo純粹之王&rdquo的名号呢。
這就是所謂的&ldquo數論&rdquo（這裡的數指整數），它是純粹數學思想最古老也最複雜的産物之一。
說來也怪，從某種角度來講，數論這種最純粹的數學竟然又可以稱為一門經驗科學，甚至是一門實驗科學。
事實上，它的絕大多數命題都是通過嘗試用數來做不同的事情而提出的，就像物理學定律是通過嘗試用物體來做不同的事情而提出的一樣。
此外，數論的一些命題已經&ldquo在數學上&rdquo得到了證明，而另一些命題還停留在純粹經驗的階段，至今仍在考驗最出色數學家的能力，這一點也和物理學一樣。
讓我們以質數問題為例來說明這一點。
所謂質數，是指那些不能用兩個或兩個以上更小整數的乘積來表示的數，比如2，3，5，7，11，13，17等就是這樣的數。
而比如12可以寫成2×2×3，所以就不是質數。
質數的數目是無限的呢，還是存在着一個最大的質數，凡是比這個數更大的數都可以表示成已有質數的乘積呢？這個問題最早是歐幾裡得（Euclid）解決的，他簡單而優雅地證明了并不存在什麼&ldquo最大的質數&rdquo，質數的數目超出了任何限度。
為了考察這個問題，讓我們暫時假定隻知道有限個質數，其中最大的用N表示。
現在我們把所有已知的質數都乘起來，再加上1，把它寫成以下形式： （1×2×3×5×7×11×13×&hellip×N）+1。
這個數當然比那個據稱的&ldquo最大質數&rdquoN大得多。
但它顯然不能被我們的任何一個質數（到N為止，包括N在内）除盡，因為從這個數的構造方式可以看出，拿這些質數中的任何一個來除它，都會留下餘數1。
因此，這個數要麼本身也是一個質數，要麼必定能被一個比N更大的質數整除。
而這兩種情況都與我們最初假設的N是最大的質數相矛盾。
這種證明方式被稱為歸謬法，是數學家最愛用的工具之一。
圖9 一旦知道質數的數目是無限的，我們自然會問，是否有什麼簡單的辦法可以把它們一個不漏地挨個寫出來。
古希臘哲學家和數學家埃拉托色尼（Eratosthenes）最早提出了這樣一種方法，即所謂的&ldquo篩法&rdquo。
你隻需将完整的自然數列1，2，3，4&hellip寫下來，然後相繼删去所有2的倍數、3的倍數、5的倍數，等等。
圖9顯示了将埃拉托色尼的&ldquo篩法&rdquo用于前100個數的情況，其中總共有26個質數。
通過使用這種簡單的篩法，我們已經制作了10億以内的質數表。
倘若能設計出一個公式，可以迅速地自動找到所有質數而且僅僅是質數，那該多方便啊。
可惜，經過數個世紀的努力，我們仍然沒有找到這樣的公式。
1640年，著名的法國數學家費馬（PierreFermat）認為自己已經設計出了一個隻産生質數的公式：22n+1，其中n取1，2，3，4等自然數的值。
運用這個公式，我們得到： 221+1=5， 222+1=17， 223+1=257， 224+1=65537。
這幾個數的确都是質數。
但在費馬宣布這個公式之後大約一個世紀，德國數學家歐拉（LeonardEuler）證明，費馬的第五個數225+1=4294967297并非質數，而是6700417與641的乘積。
于是，費馬這個演算質數的經驗規則被證明是錯誤的。
還有一個引人注目的公式也可以産生許多質數。
這個公式是： n2-n+41， 其中n也取1，2，3等自然數的值。
人們已經發現，在n取1到40之間某個數的情況下，用上述公式都能産生質數。
既然是女皇，自然要力圖避免與其他知識分支扯上關系。
比如在一次&ldquo純粹數學與應用數學聯席會議&rdquo上，希爾伯特應邀作一次公開演講，以幫助消除這兩種數學家之間的敵意，他是這樣說的： 我們常常聽說，純粹數學與應用數學是彼此敵對的。
事實并非如此。
純粹數學和應用數學并非彼此敵對。
它們過去不曾敵對，将來也不會敵對。
它們不可能彼此敵對，因為兩者其實毫無共同之處。
然而，盡管數學喜歡保持純粹，并盡力遠離其他科學，但其他科學尤其是物理學，卻極力同數學&ldquo親善&rdquo。
事實上，純粹數學的幾乎每一個分支現在都被用來解釋物理世界的某個特征。
這包括抽象群理論、非交換代數、非歐幾何等一直被認為最為純粹、絕不可能付諸應用的學科。
但迄今為止，除了起智力訓練的作用以外，還有一個巨大的數學分支成功地保持住了自己的無用性，它真可以被冠以&ldquo純粹之王&rdquo的名号呢。
這就是所謂的&ldquo數論&rdquo（這裡的數指整數），它是純粹數學思想最古老也最複雜的産物之一。
說來也怪，從某種角度來講，數論這種最純粹的數學竟然又可以稱為一門經驗科學，甚至是一門實驗科學。
事實上，它的絕大多數命題都是通過嘗試用數來做不同的事情而提出的，就像物理學定律是通過嘗試用物體來做不同的事情而提出的一樣。
此外，數論的一些命題已經&ldquo在數學上&rdquo得到了證明，而另一些命題還停留在純粹經驗的階段，至今仍在考驗最出色數學家的能力，這一點也和物理學一樣。
讓我們以質數問題為例來說明這一點。
所謂質數，是指那些不能用兩個或兩個以上更小整數的乘積來表示的數，比如2，3，5，7，11，13，17等就是這樣的數。
而比如12可以寫成2×2×3，所以就不是質數。
質數的數目是無限的呢，還是存在着一個最大的質數，凡是比這個數更大的數都可以表示成已有質數的乘積呢？這個問題最早是歐幾裡得（Euclid）解決的，他簡單而優雅地證明了并不存在什麼&ldquo最大的質數&rdquo，質數的數目超出了任何限度。
為了考察這個問題，讓我們暫時假定隻知道有限個質數，其中最大的用N表示。
現在我們把所有已知的質數都乘起來，再加上1，把它寫成以下形式： （1×2×3×5×7×11×13×&hellip×N）+1。
這個數當然比那個據稱的&ldquo最大質數&rdquoN大得多。
但它顯然不能被我們的任何一個質數（到N為止，包括N在内）除盡，因為從這個數的構造方式可以看出，拿這些質數中的任何一個來除它，都會留下餘數1。
因此，這個數要麼本身也是一個質數，要麼必定能被一個比N更大的質數整除。
而這兩種情況都與我們最初假設的N是最大的質數相矛盾。
這種證明方式被稱為歸謬法，是數學家最愛用的工具之一。
圖9 一旦知道質數的數目是無限的，我們自然會問，是否有什麼簡單的辦法可以把它們一個不漏地挨個寫出來。
古希臘哲學家和數學家埃拉托色尼（Eratosthenes）最早提出了這樣一種方法，即所謂的&ldquo篩法&rdquo。
你隻需将完整的自然數列1，2，3，4&hellip寫下來，然後相繼删去所有2的倍數、3的倍數、5的倍數，等等。
圖9顯示了将埃拉托色尼的&ldquo篩法&rdquo用于前100個數的情況，其中總共有26個質數。
通過使用這種簡單的篩法，我們已經制作了10億以内的質數表。
倘若能設計出一個公式，可以迅速地自動找到所有質數而且僅僅是質數，那該多方便啊。
可惜，經過數個世紀的努力，我們仍然沒有找到這樣的公式。
1640年，著名的法國數學家費馬（PierreFermat）認為自己已經設計出了一個隻産生質數的公式：22n+1，其中n取1，2，3，4等自然數的值。
運用這個公式，我們得到： 221+1=5， 222+1=17， 223+1=257， 224+1=65537。
這幾個數的确都是質數。
但在費馬宣布這個公式之後大約一個世紀，德國數學家歐拉（LeonardEuler）證明，費馬的第五個數225+1=4294967297并非質數，而是6700417與641的乘積。
于是，費馬這個演算質數的經驗規則被證明是錯誤的。
還有一個引人注目的公式也可以産生許多質數。
這個公式是： n2-n+41， 其中n也取1，2，3等自然數的值。
人們已經發現，在n取1到40之間某個數的情況下，用上述公式都能産生質數。