第一章 大數
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一、你能數到多少？
有這麼一個故事，說的是兩個匈牙利貴族決定做一個遊戲&mdash&mdash誰說出的數最大誰赢。
&ldquo好，&rdquo其中一個人說，&ldquo你先說吧。
&rdquo 另一個人絞盡腦汁想了幾分鐘，終于說出了他所能想到的最大的數：&ldquo3&rdquo。
現在輪到第一個人動腦筋了。
苦想了一刻鐘之後，他決定放棄：&ldquo你赢啦！&rdquo 這兩個匈牙利貴族的智力水平當然并不很高。
這個故事也許隻是為了挖苦人罷了。
但如果此二人不是匈牙利人，而是霍屯督人，那麼上述對話或許的确發生過。
的确有一些非洲探險家證實，許多霍屯督部族都沒有詞彙來表達比3大的數。
如果問當地的一個土著他有幾個兒子，或者殺死過多少敵人，那麼倘若這個數大于3，他就會回答&ldquo許多&rdquo。
于是就計數的本領而言，霍屯督的勇士們竟會敗給我們幼兒園裡自诩能夠數到10的娃娃們！ 今天我們往往會認為，我們想把一個數寫成多大就能寫成多大。
無論是用分來表示戰争開銷，還是用英寸來表示星體之間的距離，隻要在某個數右邊寫下足夠數目的零就可以了。
你可以一直這樣寫下去，直到手腕發酸。
這樣一來，你所寫下的數不知不覺就會比宇宙中的原子總數更大，1随便說一句，宇宙中的原子總數是300000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000。
這個數可以寫得短一些，即寫成 3×1074， 這裡，10右上方的小數字74表示應當寫多少個零，或者說，3要用10乘上74次。
但古人并不知曉這種&ldquo讓算術變得簡單&rdquo的數制。
事實上，它是一千多年前某位佚名的印度數學家發明的。
在他做出這項偉大發現&mdash&mdash這項發現的确很偉大，盡管我們通常并沒有意識到這一點&mdash&mdash之前，人們用一個特殊的符号來表示每一個十進制單位，并通過重複書寫這個符号來書寫數。
例如，古埃及人會把8732這個數寫成： 而恺撒政府中的職員則會把這個數寫成： MMMMMMMMDCCXXXII 後一種記數法你一定很熟悉，因為直到現在，我們有時仍然會用羅馬數字來表示書籍的卷數或章數，或者在莊嚴華美的紀念碑上記載曆史事件的日期，等等。
不過，古代的計數很少超過幾千，所以也就沒有用來表示更高十進制單位的符号。
一個古羅馬人，無論在算術方面多麼訓練有素，如果讓他寫一下&ldquo一百萬&rdquo，他一定會不知所措。
他所能做的最多隻是接連寫下一千個M，而這需要他費力寫幾個鐘頭（圖1）。
圖1 一個長得很像恺撒的古羅馬人試圖用羅馬數字寫下&ldquo一百萬&rdquo，而牆上的那塊闆上恐怕連&ldquo十萬&rdquo也寫不下 對古人來說，那些很大的數，比如天上的星星、海裡的魚、岸邊的沙粒等等，都是&ldquo無法計數&rdquo，就像&ldquo5&rdquo這個數對霍屯督人來說也是&ldquo無法計數&rdquo，從而變成了&ldquo許多&rdquo一樣！ 公元前3世紀的著名科學家阿基米德（Archimedes）曾經天才地表明，巨大的數是有可能書寫出來的。
他在《數沙者》（ThePsammites）一書中說道： 有人認為，沙粒的數目是無窮大的；我所說的沙粒不僅是指存在于叙拉古周邊以及整個西西裡島的沙粒，而且是指在地球所有區域所能找到的所有沙粒，無論那裡是否有人居住。
也有人認為，這個數目并非無窮大，但比地球沙粒數目更大的數是表示不出來的。
如果想象地球是一個大沙堆，并把地球的所有海洋和洞穴都填滿沙粒，一直填到與最高的山齊平，那麼持有這種觀點的人顯然會更加确信，這樣堆積起來的沙粒數目是無法表示的。
但我要試圖表明，使用我所命名的各種數，不僅能表示出按照上述方式填滿整個地球的沙粒的數目，甚至能表示出填滿整個宇宙的沙粒的數目。
阿基米德在這部名著中提出的書寫大數的方法與現代科學中的方法很相似。
他從古希臘算術中最大的數&ldquo萬&rdquo開始，然後引入&ldquo億&rdquo這個新的數作為&ldquo第二級單位&rdquo，然後是第三級單位&ldquo億億&rdquo、第四級單位&ldquo億億億&rdquo，等等。
寫出一些大數似乎無足輕重，沒有必要用幾頁篇幅加以讨論。
但在阿基米德那個時代，找到書寫大數的方法的确是一項偉大的發現，使數學邁進了一大步。
要想計算填滿整個宇宙所需的沙粒總數，阿基米德需要知道宇宙有多大。
當時認為，宇宙被一個附有恒星的水晶天球所包圍。
據與阿基米德同時代的著名天文學家薩摩斯的阿裡斯塔克（AristarchusofSamos）估算，從地球到那個天球表面的距離約為10000000000斯塔迪姆2，即約為1000000000英裡。
阿基米德将那個天球的尺寸同沙粒相比，作了一連串足以使高中生發生夢魇的計算，最後得出結論說： 顯然，阿裡斯塔克所估算的天球包圍的空間中所能填充的沙粒數目，不會超過一千萬個第八級單位。
3 這裡要注意，阿基米德對宇
&ldquo好，&rdquo其中一個人說，&ldquo你先說吧。
&rdquo 另一個人絞盡腦汁想了幾分鐘，終于說出了他所能想到的最大的數：&ldquo3&rdquo。
現在輪到第一個人動腦筋了。
苦想了一刻鐘之後，他決定放棄：&ldquo你赢啦！&rdquo 這兩個匈牙利貴族的智力水平當然并不很高。
這個故事也許隻是為了挖苦人罷了。
但如果此二人不是匈牙利人，而是霍屯督人，那麼上述對話或許的确發生過。
的确有一些非洲探險家證實，許多霍屯督部族都沒有詞彙來表達比3大的數。
如果問當地的一個土著他有幾個兒子，或者殺死過多少敵人，那麼倘若這個數大于3，他就會回答&ldquo許多&rdquo。
于是就計數的本領而言，霍屯督的勇士們竟會敗給我們幼兒園裡自诩能夠數到10的娃娃們！ 今天我們往往會認為，我們想把一個數寫成多大就能寫成多大。
無論是用分來表示戰争開銷，還是用英寸來表示星體之間的距離，隻要在某個數右邊寫下足夠數目的零就可以了。
你可以一直這樣寫下去，直到手腕發酸。
這樣一來，你所寫下的數不知不覺就會比宇宙中的原子總數更大，1随便說一句，宇宙中的原子總數是300000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000。
這個數可以寫得短一些，即寫成 3×1074， 這裡，10右上方的小數字74表示應當寫多少個零，或者說，3要用10乘上74次。
但古人并不知曉這種&ldquo讓算術變得簡單&rdquo的數制。
事實上，它是一千多年前某位佚名的印度數學家發明的。
在他做出這項偉大發現&mdash&mdash這項發現的确很偉大，盡管我們通常并沒有意識到這一點&mdash&mdash之前，人們用一個特殊的符号來表示每一個十進制單位，并通過重複書寫這個符号來書寫數。
例如，古埃及人會把8732這個數寫成： 而恺撒政府中的職員則會把這個數寫成： MMMMMMMMDCCXXXII 後一種記數法你一定很熟悉，因為直到現在，我們有時仍然會用羅馬數字來表示書籍的卷數或章數，或者在莊嚴華美的紀念碑上記載曆史事件的日期，等等。
不過，古代的計數很少超過幾千，所以也就沒有用來表示更高十進制單位的符号。
一個古羅馬人，無論在算術方面多麼訓練有素，如果讓他寫一下&ldquo一百萬&rdquo，他一定會不知所措。
他所能做的最多隻是接連寫下一千個M，而這需要他費力寫幾個鐘頭（圖1）。
圖1 一個長得很像恺撒的古羅馬人試圖用羅馬數字寫下&ldquo一百萬&rdquo，而牆上的那塊闆上恐怕連&ldquo十萬&rdquo也寫不下 對古人來說，那些很大的數，比如天上的星星、海裡的魚、岸邊的沙粒等等，都是&ldquo無法計數&rdquo，就像&ldquo5&rdquo這個數對霍屯督人來說也是&ldquo無法計數&rdquo，從而變成了&ldquo許多&rdquo一樣！ 公元前3世紀的著名科學家阿基米德（Archimedes）曾經天才地表明，巨大的數是有可能書寫出來的。
他在《數沙者》（ThePsammites）一書中說道： 有人認為，沙粒的數目是無窮大的；我所說的沙粒不僅是指存在于叙拉古周邊以及整個西西裡島的沙粒，而且是指在地球所有區域所能找到的所有沙粒，無論那裡是否有人居住。
也有人認為，這個數目并非無窮大，但比地球沙粒數目更大的數是表示不出來的。
如果想象地球是一個大沙堆，并把地球的所有海洋和洞穴都填滿沙粒，一直填到與最高的山齊平，那麼持有這種觀點的人顯然會更加确信，這樣堆積起來的沙粒數目是無法表示的。
但我要試圖表明，使用我所命名的各種數，不僅能表示出按照上述方式填滿整個地球的沙粒的數目，甚至能表示出填滿整個宇宙的沙粒的數目。
阿基米德在這部名著中提出的書寫大數的方法與現代科學中的方法很相似。
他從古希臘算術中最大的數&ldquo萬&rdquo開始，然後引入&ldquo億&rdquo這個新的數作為&ldquo第二級單位&rdquo，然後是第三級單位&ldquo億億&rdquo、第四級單位&ldquo億億億&rdquo，等等。
寫出一些大數似乎無足輕重，沒有必要用幾頁篇幅加以讨論。
但在阿基米德那個時代，找到書寫大數的方法的确是一項偉大的發現，使數學邁進了一大步。
要想計算填滿整個宇宙所需的沙粒總數，阿基米德需要知道宇宙有多大。
當時認為，宇宙被一個附有恒星的水晶天球所包圍。
據與阿基米德同時代的著名天文學家薩摩斯的阿裡斯塔克（AristarchusofSamos）估算，從地球到那個天球表面的距離約為10000000000斯塔迪姆2，即約為1000000000英裡。
阿基米德将那個天球的尺寸同沙粒相比，作了一連串足以使高中生發生夢魇的計算，最後得出結論說： 顯然，阿裡斯塔克所估算的天球包圍的空間中所能填充的沙粒數目，不會超過一千萬個第八級單位。
3 這裡要注意，阿基米德對宇