第一章 大數
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宙半徑的估算遠遠小于現代科學家的觀測結果。
10億英裡僅比太陽系中土星的距離略大一些。
我們将會看到，望遠鏡已經探測到宇宙5000000000000000000000英裡遠的地方。
填滿整個可見宇宙所需的沙粒數超過 10100（即1後面有100個零）。
這個數當然遠遠大于本章開頭所提到的宇宙中的原子總數3×1074，但我們不要忘了，宇宙中并非塞滿了原子；事實上，平均來說，每立方米空間中隻有大約1個原子。
要想得到巨大的數，并不一定要做出把整個宇宙塞滿沙子這樣的極端事情。
事實上，在許多看似非常簡單的問題中，它們也常常會跳将出來，而你事先肯定想不到其中會出現大于幾千的數。
有一個人曾經在大數上吃了虧，那就是印度的舍罕王（KingShirham）。
根據一則古老的傳說，舍罕王打算賞賜他的首席大臣施賓達（SissaBenDahir），因為施賓達發明了國際象棋，并且将它介紹給了舍罕王。
這位聰明的大臣想要的似乎并不多，他跪在國王面前說：&ldquo陛下，請賜予我一粒麥子放入這張棋盤的第一個方格；在第二個方格放兩粒，第三個方格放四粒，第四個方格放八粒，以此類推，每一個方格内的麥粒都比前一個方格加一倍。
陛下啊，請把這樣擺滿棋盤上所有64個方格的麥粒賞賜給我吧！&rdquo &ldquo愛卿，你要的并不多啊，&rdquo國王為對這項奇妙的發明所許下的慷慨饋贈沒有破費太多而暗喜，&ldquo你肯定會如願以償的。
&rdquo他邊說邊命人将一袋麥子拿到寶座前。
然而随着計數的開始，第一個方格放一粒，第二個方格放兩粒，第三個方格放四粒，&hellip&hellip還沒到第二十個方格，袋子已經空了。
一袋又一袋的麥子被陸續扛到國王面前，但每一個方格所需的麥粒數飛速增長，情況很快就變得很清楚，即使拿來印度的所有糧食，國王也無法兌現他對施賓達的承諾，因為這将需要18446744073709551615顆麥粒！4 圖2 機智的數學家首席大臣施賓達在向印度的舍罕王請賞 這個數不像宇宙中的原子總數那樣大，但也非常可觀了。
假定1蒲式耳小麥約有5000000粒，那就需要4萬億蒲式耳小麥才能滿足施賓達的要求。
這位首席大臣索取的竟然是全世界在大約2000年裡所産出的所有小麥！ 這樣一來，舍罕王發現自己欠了施賓達一大筆債。
他要麼得面對施賓達沒完沒了的讨債，要麼幹脆砍掉施賓達的腦袋。
我猜想，舍罕王大概選擇了後者。
另一個由大數當主角的故事也出自印度，它與&ldquo世界末日&rdquo問題有關。
喜愛數學的曆史學家鮑爾（W.W.R.Ball）是這樣講這個故事的：5 在瓦拉納西6偉大的神廟裡，在标志着世界中心的穹頂下方安放着一個黃銅闆，闆上固定着三根鑽石針。
每根針高1腕尺（1腕尺約合20英寸），如蜜蜂身體般粗細。
梵天在創世的時候，在其中一根針上放置了64個金片，最大的金片位于底部，緊挨着黃銅闆，其他金片從下到上依次減小。
這就是梵塔。
有一個值班的僧侶按照梵天固定不變的法則，晝夜不停地将這些金片從一根針移到另一根針：一次隻能移一片，而且無論在哪一根針上，小片必須永遠在大片上面。
當所有這64個金片都從梵天創世時所放置的那根針移到另一根針時，世界将随着一聲霹靂而煙消雲散，梵塔、神廟和衆婆羅門都将化為灰燼。
圖3描繪了故事中的安排，隻是金片沒有畫那麼多。
你可以用普通的硬紙片代替這則印度傳說中的金片，用長鐵釘代替鑽石針，親手制作這樣一個玩具。
不難發現，移動金片的一般規則是：移動每一片的次數總是移動上一片次數的兩倍。
第一片隻需移動一次，接下來每一片的移動次數則按幾何級數增加。
于是，移動第64片的次數将與施賓達所要求的麥粒數一樣多！7 圖3 一個僧侶在巨大的梵天雕像前解決&ldquo世界末日&rdquo問題。
為方便起見，這裡沒有将所有64個金片都畫出來 将梵塔上所有64個金片都移到另一根針上需要多長時間呢？一年有大約31558000秒，假定僧侶們加班加點地每秒鐘移動一次，晝夜不停，那麼需要58萬億年左右才能完工。
我們不妨将這個關于宇宙壽命的純屬傳說的預言同現代科學的預言作一對比。
按照目前關于宇宙演化的理論，恒星、太陽和行星，包括我們的地球，都是在大約30億年前由無定形的物質形成的。
我們還知道，為恒星特别是太陽提供能量的&ldquo原子燃料&rdquo還能維持100億或150億年（見&ldquo創世年代&rdquo一章）。
因此，我們宇宙的總壽命肯定不到200億年，而不像這個印度傳說所估計的58萬億年！不過，它畢竟隻是個傳說！ 文獻中曾經提及的最大的數也許與著名的&ldquo印刷行數問題&rdquo有關。
假定我們建造了一台印刷機，它可以連續印出一行行文字，并且自動為每一行選擇字母和其他印刷符号的組合。
這樣一台機器将包括若幹分離的輪盤，輪盤的整個邊緣都刻有字母和符号。
盤與盤之間就像汽車的裡程指示器中的數碼盤那樣裝配在一起，使得每一個輪盤轉動一周就會帶動下一個輪盤前移一個位置。
每一次移動之後，紙卷都會自動壓到滾筒上。
這樣一台自動印刷機建造起來并不很困難，圖4便是這種機器的示意圖。
圖4 一台自動印刷機剛剛
10億英裡僅比太陽系中土星的距離略大一些。
我們将會看到，望遠鏡已經探測到宇宙5000000000000000000000英裡遠的地方。
填滿整個可見宇宙所需的沙粒數超過 10100（即1後面有100個零）。
這個數當然遠遠大于本章開頭所提到的宇宙中的原子總數3×1074，但我們不要忘了，宇宙中并非塞滿了原子；事實上，平均來說，每立方米空間中隻有大約1個原子。
要想得到巨大的數，并不一定要做出把整個宇宙塞滿沙子這樣的極端事情。
事實上，在許多看似非常簡單的問題中，它們也常常會跳将出來，而你事先肯定想不到其中會出現大于幾千的數。
有一個人曾經在大數上吃了虧，那就是印度的舍罕王（KingShirham）。
根據一則古老的傳說，舍罕王打算賞賜他的首席大臣施賓達（SissaBenDahir），因為施賓達發明了國際象棋，并且将它介紹給了舍罕王。
這位聰明的大臣想要的似乎并不多，他跪在國王面前說：&ldquo陛下，請賜予我一粒麥子放入這張棋盤的第一個方格；在第二個方格放兩粒，第三個方格放四粒，第四個方格放八粒，以此類推，每一個方格内的麥粒都比前一個方格加一倍。
陛下啊，請把這樣擺滿棋盤上所有64個方格的麥粒賞賜給我吧！&rdquo &ldquo愛卿，你要的并不多啊，&rdquo國王為對這項奇妙的發明所許下的慷慨饋贈沒有破費太多而暗喜，&ldquo你肯定會如願以償的。
&rdquo他邊說邊命人将一袋麥子拿到寶座前。
然而随着計數的開始，第一個方格放一粒，第二個方格放兩粒，第三個方格放四粒，&hellip&hellip還沒到第二十個方格，袋子已經空了。
一袋又一袋的麥子被陸續扛到國王面前，但每一個方格所需的麥粒數飛速增長，情況很快就變得很清楚，即使拿來印度的所有糧食，國王也無法兌現他對施賓達的承諾，因為這将需要18446744073709551615顆麥粒！4 圖2 機智的數學家首席大臣施賓達在向印度的舍罕王請賞 這個數不像宇宙中的原子總數那樣大，但也非常可觀了。
假定1蒲式耳小麥約有5000000粒，那就需要4萬億蒲式耳小麥才能滿足施賓達的要求。
這位首席大臣索取的竟然是全世界在大約2000年裡所産出的所有小麥！ 這樣一來，舍罕王發現自己欠了施賓達一大筆債。
他要麼得面對施賓達沒完沒了的讨債，要麼幹脆砍掉施賓達的腦袋。
我猜想，舍罕王大概選擇了後者。
另一個由大數當主角的故事也出自印度，它與&ldquo世界末日&rdquo問題有關。
喜愛數學的曆史學家鮑爾（W.W.R.Ball）是這樣講這個故事的：5 在瓦拉納西6偉大的神廟裡，在标志着世界中心的穹頂下方安放着一個黃銅闆，闆上固定着三根鑽石針。
每根針高1腕尺（1腕尺約合20英寸），如蜜蜂身體般粗細。
梵天在創世的時候，在其中一根針上放置了64個金片，最大的金片位于底部，緊挨着黃銅闆，其他金片從下到上依次減小。
這就是梵塔。
有一個值班的僧侶按照梵天固定不變的法則，晝夜不停地将這些金片從一根針移到另一根針：一次隻能移一片，而且無論在哪一根針上，小片必須永遠在大片上面。
當所有這64個金片都從梵天創世時所放置的那根針移到另一根針時，世界将随着一聲霹靂而煙消雲散，梵塔、神廟和衆婆羅門都将化為灰燼。
圖3描繪了故事中的安排，隻是金片沒有畫那麼多。
你可以用普通的硬紙片代替這則印度傳說中的金片，用長鐵釘代替鑽石針，親手制作這樣一個玩具。
不難發現，移動金片的一般規則是：移動每一片的次數總是移動上一片次數的兩倍。
第一片隻需移動一次，接下來每一片的移動次數則按幾何級數增加。
于是，移動第64片的次數将與施賓達所要求的麥粒數一樣多！7 圖3 一個僧侶在巨大的梵天雕像前解決&ldquo世界末日&rdquo問題。
為方便起見，這裡沒有将所有64個金片都畫出來 将梵塔上所有64個金片都移到另一根針上需要多長時間呢？一年有大約31558000秒，假定僧侶們加班加點地每秒鐘移動一次，晝夜不停，那麼需要58萬億年左右才能完工。
我們不妨将這個關于宇宙壽命的純屬傳說的預言同現代科學的預言作一對比。
按照目前關于宇宙演化的理論，恒星、太陽和行星，包括我們的地球，都是在大約30億年前由無定形的物質形成的。
我們還知道，為恒星特别是太陽提供能量的&ldquo原子燃料&rdquo還能維持100億或150億年（見&ldquo創世年代&rdquo一章）。
因此，我們宇宙的總壽命肯定不到200億年，而不像這個印度傳說所估計的58萬億年！不過，它畢竟隻是個傳說！ 文獻中曾經提及的最大的數也許與著名的&ldquo印刷行數問題&rdquo有關。
假定我們建造了一台印刷機，它可以連續印出一行行文字，并且自動為每一行選擇字母和其他印刷符号的組合。
這樣一台機器将包括若幹分離的輪盤，輪盤的整個邊緣都刻有字母和符号。
盤與盤之間就像汽車的裡程指示器中的數碼盤那樣裝配在一起，使得每一個輪盤轉動一周就會帶動下一個輪盤前移一個位置。
每一次移動之後，紙卷都會自動壓到滾筒上。
這樣一台自動印刷機建造起來并不很困難，圖4便是這種機器的示意圖。
圖4 一台自動印刷機剛剛