第一章 大數
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準确印出一行莎士比亞詩句
讓我們開動這台機器，檢查一下印刷出來的那些沒完沒了的東西吧。
這些東西大都沒有什麼意義，比如： &ldquoaaaaaaaaaaaa&hellip&rdquo 或者 &ldquoboobooboobooboo&hellip&rdquo 或者 &ldquozawkpopkossscilm&hellip&rdquo 不過，既然這台機器能夠印出字母與符号的所有可能組合，我們就能從這堆毫無意義的句子中找出點有意義的。
當然，這其中又有許多無效的句子，比如： &ldquohorsehassixlegsand&hellip&rdquo（馬有六條腿，并且&hellip&hellip） 或者 &ldquoIlikeapplescookedinterpentin&hellip&rdquo（我喜歡吃松節油煎蘋果&hellip&hellip）。
但隻要堅持不懈地找下去，就一定會發現莎士比亞所寫下的每一句話，甚至是那些被他扔進廢紙簍的句子！ 事實上，這台自動機會印出人類從學會寫字以來所寫出的一切：每一句散文和詩歌，報紙上的每一篇社評和廣告，每一本厚重的科學論著，每一封情書，每一張訂奶單&hellip&hellip 不僅如此，這台機器還将印出未來所要印刷的所有東西。
在從滾筒出來的紙上，我們可以找到30世紀的詩歌，未來的科學發現，在第500屆美國國會上所作的講演，對2344年星際交通事故的報道，還會有一頁頁尚未寫出來的長、短篇小說。
出版商如果地下室裡有這樣的機器，他們隻需從印出的大量荒唐文字中選編一些好的句子就可以了&mdash&mdash這也正是他們現在在做的事情。
這為什麼做不到呢？ 英語字母表中有26個字母、10個數字（0、1、2、&hellip、9），還有14個常用符号（空白、句号、逗号、冒号、分号、問号、感歎号、破折号、連字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号），共50個字符。
再假設這台機器有65個輪盤，對應于平均打印行的65個位置。
打印行可以從任何一個字符開始，因此有50種可能性。
對于這50種可能性中的每一種，該行第二個位置又有50種可能性，因此共有50×50＝2500種可能性。
而對于前兩個字符的每一種給定組合，第三個位置又有50個字符可以選擇。
這樣下去，對整個打印行進行安排的可能性總數為 ， 或者 5065， 它等于10110。
要想知道這個數有多麼巨大，你可以假想宇宙中的每個原子都是一台獨立的印刷機，這樣就有3×1074台機器同時工作。
再假定所有這些機器自宇宙誕生以來就一直在運轉，也就是說已經運轉了30億年或1017秒，而且它們都以原子振動的頻率在印刷，即每秒鐘印出1015行。
那麼到現在為止，這些機器大約印了3×1074×1017×1015＝3×10106行,而這隻是上面那個總數的1/3000左右而已。
看來，想要在這些自動印出的材料裡做某種挑選，的确要花非常漫長的時間！ 二、怎樣對無窮大進行計數 上一節我們讨論了一些數，其中許多是相當巨大的。
但這些巨大的數，比如施賓達所要的麥粒數，雖然大得令人難以置信，但仍然是有限的，隻要有足夠的時間，總能把它們從頭到尾寫出來。
但的确存在着一些無窮大數，它們比我們所能寫出的任何數都要大，無論我們書寫多長時間。
例如，&ldquo所有數的數目&rdquo顯然是無窮大的，&ldquo一條線上所有幾何點的數目&rdquo也是如此。
關于這些數，除了說它們是無窮大的，我們還能說什麼嗎？例如，我們是否有可能對兩個不同的無窮大進行比較，看看哪個&ldquo更大&rdquo呢？ &ldquo所有數的數目和一條線上所有幾何點的數目，哪個更大呢？&rdquo這個問題有意義嗎？著名數學家康托爾（GeorgCantor）最先思考了這類初看起來荒誕不經的問題，他的确稱得上是&ldquo無窮大算術&rdquo的奠基人。
如果想談論無窮大的大小，我們就會面臨一個問題：這些數既讀不出來，也寫不出來，該怎樣比較呢？此時我們就像一個霍屯督人在檢查自己的财寶箱，想知道其中究竟是玻璃珠多還是銅币多。
但你大概還記得，霍屯督人最多隻能數到3。
難道他會因為數不出來而不再嘗試比較珠子和銅币的數目嗎？絕對不會。
如果足夠聰明，他會把珠子和銅币逐個進行比較，以此來得出答案。
他可以把一顆珠子放在一枚銅币旁邊，再把另一顆珠子放在另一枚銅币旁邊，然後一直這樣下去&hellip&hellip如果珠子用光了，還剩下一些銅币，他就知道銅币多于珠子；如果銅币用光了，珠子還有剩餘，他就知道珠子多于銅币；如果兩者同時用光，他就知道珠子與銅币數目相等。
康托爾正是用這種方法對兩個無窮大進行比較的：如果可以給兩組無窮大中的各個對象一一配對，使一組無窮大中的每一個對象都能與另一組無窮大中的每一個對象一一對應，任何一組都沒有對象遺漏，就說這兩組無窮大是相等的；如果有一組還留下了一些對象沒有配對，就說這組對象的無窮大比另一組對象的無窮大更大，或
這些東西大都沒有什麼意義，比如： &ldquoaaaaaaaaaaaa&hellip&rdquo 或者 &ldquoboobooboobooboo&hellip&rdquo 或者 &ldquozawkpopkossscilm&hellip&rdquo 不過，既然這台機器能夠印出字母與符号的所有可能組合，我們就能從這堆毫無意義的句子中找出點有意義的。
當然，這其中又有許多無效的句子，比如： &ldquohorsehassixlegsand&hellip&rdquo（馬有六條腿，并且&hellip&hellip） 或者 &ldquoIlikeapplescookedinterpentin&hellip&rdquo（我喜歡吃松節油煎蘋果&hellip&hellip）。
但隻要堅持不懈地找下去，就一定會發現莎士比亞所寫下的每一句話，甚至是那些被他扔進廢紙簍的句子！ 事實上，這台自動機會印出人類從學會寫字以來所寫出的一切：每一句散文和詩歌，報紙上的每一篇社評和廣告，每一本厚重的科學論著，每一封情書，每一張訂奶單&hellip&hellip 不僅如此，這台機器還将印出未來所要印刷的所有東西。
在從滾筒出來的紙上，我們可以找到30世紀的詩歌，未來的科學發現，在第500屆美國國會上所作的講演，對2344年星際交通事故的報道，還會有一頁頁尚未寫出來的長、短篇小說。
出版商如果地下室裡有這樣的機器，他們隻需從印出的大量荒唐文字中選編一些好的句子就可以了&mdash&mdash這也正是他們現在在做的事情。
這為什麼做不到呢？ 英語字母表中有26個字母、10個數字（0、1、2、&hellip、9），還有14個常用符号（空白、句号、逗号、冒号、分号、問号、感歎号、破折号、連字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号），共50個字符。
再假設這台機器有65個輪盤，對應于平均打印行的65個位置。
打印行可以從任何一個字符開始，因此有50種可能性。
對于這50種可能性中的每一種，該行第二個位置又有50種可能性，因此共有50×50＝2500種可能性。
而對于前兩個字符的每一種給定組合，第三個位置又有50個字符可以選擇。
這樣下去，對整個打印行進行安排的可能性總數為 ， 或者 5065， 它等于10110。
要想知道這個數有多麼巨大，你可以假想宇宙中的每個原子都是一台獨立的印刷機，這樣就有3×1074台機器同時工作。
再假定所有這些機器自宇宙誕生以來就一直在運轉，也就是說已經運轉了30億年或1017秒，而且它們都以原子振動的頻率在印刷，即每秒鐘印出1015行。
那麼到現在為止，這些機器大約印了3×1074×1017×1015＝3×10106行,而這隻是上面那個總數的1/3000左右而已。
看來，想要在這些自動印出的材料裡做某種挑選，的确要花非常漫長的時間！ 二、怎樣對無窮大進行計數 上一節我們讨論了一些數，其中許多是相當巨大的。
但這些巨大的數，比如施賓達所要的麥粒數，雖然大得令人難以置信，但仍然是有限的，隻要有足夠的時間，總能把它們從頭到尾寫出來。
但的确存在着一些無窮大數，它們比我們所能寫出的任何數都要大，無論我們書寫多長時間。
例如，&ldquo所有數的數目&rdquo顯然是無窮大的，&ldquo一條線上所有幾何點的數目&rdquo也是如此。
關于這些數，除了說它們是無窮大的，我們還能說什麼嗎？例如，我們是否有可能對兩個不同的無窮大進行比較，看看哪個&ldquo更大&rdquo呢？ &ldquo所有數的數目和一條線上所有幾何點的數目，哪個更大呢？&rdquo這個問題有意義嗎？著名數學家康托爾（GeorgCantor）最先思考了這類初看起來荒誕不經的問題，他的确稱得上是&ldquo無窮大算術&rdquo的奠基人。
如果想談論無窮大的大小，我們就會面臨一個問題：這些數既讀不出來，也寫不出來，該怎樣比較呢？此時我們就像一個霍屯督人在檢查自己的财寶箱，想知道其中究竟是玻璃珠多還是銅币多。
但你大概還記得，霍屯督人最多隻能數到3。
難道他會因為數不出來而不再嘗試比較珠子和銅币的數目嗎？絕對不會。
如果足夠聰明，他會把珠子和銅币逐個進行比較，以此來得出答案。
他可以把一顆珠子放在一枚銅币旁邊，再把另一顆珠子放在另一枚銅币旁邊，然後一直這樣下去&hellip&hellip如果珠子用光了，還剩下一些銅币，他就知道銅币多于珠子；如果銅币用光了，珠子還有剩餘，他就知道珠子多于銅币；如果兩者同時用光，他就知道珠子與銅币數目相等。
康托爾正是用這種方法對兩個無窮大進行比較的：如果可以給兩組無窮大中的各個對象一一配對，使一組無窮大中的每一個對象都能與另一組無窮大中的每一個對象一一對應，任何一組都沒有對象遺漏，就說這兩組無窮大是相等的；如果有一組還留下了一些對象沒有配對，就說這組對象的無窮大比另一組對象的無窮大更大，或