第一章 大數
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者說更強。
這顯然是我們可以用來對無窮大量進行比較的非常合理的規則，事實上也是唯一可能的規則。
但在實際開始運用它時，我們很可能會大吃一驚。
例如，所有偶數的無窮大和所有奇數的無窮大，你當然會直覺地感到偶數與奇數的數目相等。
這與上述法則完全一緻，因為這兩組數之間可以建立如下的一一對應關系： 在這張表中，每一個奇數都有一個偶數相對應，反之亦然。
因此，偶數的無窮大等于奇數的無窮大。
這的确再簡單自然不過了！ 但是，且慢。
所有整數（包括奇數和偶數）的數目和僅僅偶數的數目，你認為哪個大呢？當然，你會說前者更大，因為所有整數不僅包括所有偶數，而且還包括所有奇數。
但這隻是你的感覺而已。
要想得出正确的答案，你必須運用比較兩個無窮大的上述規則。
如果運用了這個規則，你就會驚訝地發現，你的感覺是錯誤的。
請看，以下是所有整數和所有偶數的一一對應表： 根據對無窮大進行比較的上述規則，我們不得不說，偶數的無窮大與所有整數的無窮大一樣大。
當然，這聽起來非常悖謬，因為偶數隻是所有整數的一部分。
但不要忘了，我們這裡是在與無窮大數打交道，因此必須有碰到不同性質的思想準備。
事實上，在無窮大的世界裡，部分有可能等于整體！關于這一點，著名德國數學家希爾伯特（DavidHilbert）所講述的一則故事也許是最好的說明。
據說他曾在關于無窮大的演講中這樣講述無窮大數的這種悖謬性質：8 設想有一家旅店，内設有限個房間，而且所有房間都已住滿。
這時又來了一位客人，想訂個房間。
店主說：&ldquo對不起，所有房間都住滿了。
&rdquo現在再設想一家旅店，内設無窮多個房間，所有房間也都住滿了。
此時也來了一位新客，想訂個房間。
&ldquo當然可以！&rdquo店主說。
接着，他把一号房間裡的客人移到二号房間，二号房間的客人移到三号房間，三号房間的客人移到四号房間，&hellip&hellip，以此類推。
這樣一來，新客就可以住進已被騰空的一号房間。
我們再設想一個有無窮多個房間的旅店，所有房間都已經住滿。
這時來了無窮多位想訂房間的客人。
&ldquo好的先生們，請稍等，&rdquo店主說。
他把一号房間的客人移到二号房間，二号房間的客人移到四号房間，三号房間的客人移到六号房間，以此類推。
現在，所有單号房間都騰出來了。
新來的無窮多位客人可以住進去了。
希爾伯特講這個故事時正值戰争期間，所以即使在華盛頓也很難想象他所描述的情況。
但這個例子的确使我們清楚地明白了：我們在與無窮大數打交道時碰到的性質與普通算術中常見的性質大相徑庭。
運用比較兩個無窮大的康托爾規則，我們現在也能證明，所有像或這樣的普通分數的數目與所有整數的數目相等。
事實上，我們可以把所有普通分數按照以下規則排成一排：先寫下分子與分母之和等于2的分數，這樣的分數隻有一個，即；然後寫下分子與分母之和等于3的分數，這樣的分數有兩個，即和；然後寫下分子與分母之和等于4的，即。
以此類推，我們便得到了一個無窮的分數數列，它包含了我們所能想到的所有分數（圖5）。
現在，在這個數列上方寫出整數數列，這樣便有了無窮多個分數與無窮多個整數之間的一一對應。
因此，它們的數目又是相等的！ 圖5 一個非洲土著和康托爾教授都在對其數不出來的數進行比較 &ldquo是啊，這一切都很妙，&rdquo你可能會說，&ldquo但這是否就意味着，所有無窮大都彼此相等呢？如果是這樣，還比較它們幹什麼呢？&rdquo 不，情況并非如此。
我們很容易找到一個無窮大，它比所有整數或所有分數的無窮大更大。
事實上，考察一下本章前面提出的那個比較一條線上的點數和所有整數數目的問題，我們就會發現，這兩個無窮大是不同的。
一條線上點的數目要比整數或分數的數目多得多。
為了證明這一點，我們先嘗試在一條線（比如1英寸長）上的點與整數數列之間建立一一對應關系。
線上的每一點都可用該點到這條線某一端的距離來表示，此距離可以寫成無限小數的形式，比如0.7350624780056&hellip或0.38250375632&hellip9現在我們要比較一下所有整數的數目和所有可能的無限小數的數目。
那麼，上面寫出的無限小數與或這樣的分數有何不同呢？ 大家一定還記得，我們在算術課上學過：每一個普通分數都可以轉化為一個無限循環小數。
例如=0.6666&hellip=0.66，=0.4285714285714285714&hellip=0.(428571)。
我們前面已經證明，所有普通分數的數目等于所有整數的數目，因此所有循環小數的數目也必定等于所有整數的數目。
但一條線上的點不一定能由循環小數表示出來，絕大多數點是由不循環小數表示的。
因此很容易證明，在這種情況下不可能建立一一對應關系。
假定有人聲稱已經建立了這樣一種一一對應，且具有以下形式： N 1 0.38602563078&hellip 2 0.57350762050&hellip 3 0.99356753207&hellip 4 0.25763200456&hellip 5 0.00005320562&hell
這顯然是我們可以用來對無窮大量進行比較的非常合理的規則，事實上也是唯一可能的規則。
但在實際開始運用它時，我們很可能會大吃一驚。
例如，所有偶數的無窮大和所有奇數的無窮大，你當然會直覺地感到偶數與奇數的數目相等。
這與上述法則完全一緻，因為這兩組數之間可以建立如下的一一對應關系： 在這張表中，每一個奇數都有一個偶數相對應，反之亦然。
因此，偶數的無窮大等于奇數的無窮大。
這的确再簡單自然不過了！ 但是，且慢。
所有整數（包括奇數和偶數）的數目和僅僅偶數的數目，你認為哪個大呢？當然，你會說前者更大，因為所有整數不僅包括所有偶數，而且還包括所有奇數。
但這隻是你的感覺而已。
要想得出正确的答案，你必須運用比較兩個無窮大的上述規則。
如果運用了這個規則，你就會驚訝地發現，你的感覺是錯誤的。
請看，以下是所有整數和所有偶數的一一對應表： 根據對無窮大進行比較的上述規則，我們不得不說，偶數的無窮大與所有整數的無窮大一樣大。
當然，這聽起來非常悖謬，因為偶數隻是所有整數的一部分。
但不要忘了，我們這裡是在與無窮大數打交道，因此必須有碰到不同性質的思想準備。
事實上，在無窮大的世界裡，部分有可能等于整體！關于這一點，著名德國數學家希爾伯特（DavidHilbert）所講述的一則故事也許是最好的說明。
據說他曾在關于無窮大的演講中這樣講述無窮大數的這種悖謬性質：8 設想有一家旅店，内設有限個房間，而且所有房間都已住滿。
這時又來了一位客人，想訂個房間。
店主說：&ldquo對不起，所有房間都住滿了。
&rdquo現在再設想一家旅店，内設無窮多個房間，所有房間也都住滿了。
此時也來了一位新客，想訂個房間。
&ldquo當然可以！&rdquo店主說。
接着，他把一号房間裡的客人移到二号房間，二号房間的客人移到三号房間，三号房間的客人移到四号房間，&hellip&hellip，以此類推。
這樣一來，新客就可以住進已被騰空的一号房間。
我們再設想一個有無窮多個房間的旅店，所有房間都已經住滿。
這時來了無窮多位想訂房間的客人。
&ldquo好的先生們，請稍等，&rdquo店主說。
他把一号房間的客人移到二号房間，二号房間的客人移到四号房間，三号房間的客人移到六号房間，以此類推。
現在，所有單号房間都騰出來了。
新來的無窮多位客人可以住進去了。
希爾伯特講這個故事時正值戰争期間，所以即使在華盛頓也很難想象他所描述的情況。
但這個例子的确使我們清楚地明白了：我們在與無窮大數打交道時碰到的性質與普通算術中常見的性質大相徑庭。
運用比較兩個無窮大的康托爾規則，我們現在也能證明，所有像或這樣的普通分數的數目與所有整數的數目相等。
事實上，我們可以把所有普通分數按照以下規則排成一排：先寫下分子與分母之和等于2的分數，這樣的分數隻有一個，即；然後寫下分子與分母之和等于3的分數，這樣的分數有兩個，即和；然後寫下分子與分母之和等于4的，即。
以此類推，我們便得到了一個無窮的分數數列，它包含了我們所能想到的所有分數（圖5）。
現在，在這個數列上方寫出整數數列，這樣便有了無窮多個分數與無窮多個整數之間的一一對應。
因此，它們的數目又是相等的！ 圖5 一個非洲土著和康托爾教授都在對其數不出來的數進行比較 &ldquo是啊，這一切都很妙，&rdquo你可能會說，&ldquo但這是否就意味着，所有無窮大都彼此相等呢？如果是這樣，還比較它們幹什麼呢？&rdquo 不，情況并非如此。
我們很容易找到一個無窮大，它比所有整數或所有分數的無窮大更大。
事實上，考察一下本章前面提出的那個比較一條線上的點數和所有整數數目的問題，我們就會發現，這兩個無窮大是不同的。
一條線上點的數目要比整數或分數的數目多得多。
為了證明這一點，我們先嘗試在一條線（比如1英寸長）上的點與整數數列之間建立一一對應關系。
線上的每一點都可用該點到這條線某一端的距離來表示，此距離可以寫成無限小數的形式，比如0.7350624780056&hellip或0.38250375632&hellip9現在我們要比較一下所有整數的數目和所有可能的無限小數的數目。
那麼，上面寫出的無限小數與或這樣的分數有何不同呢？ 大家一定還記得，我們在算術課上學過：每一個普通分數都可以轉化為一個無限循環小數。
例如=0.6666&hellip=0.66，=0.4285714285714285714&hellip=0.(428571)。
我們前面已經證明，所有普通分數的數目等于所有整數的數目，因此所有循環小數的數目也必定等于所有整數的數目。
但一條線上的點不一定能由循環小數表示出來，絕大多數點是由不循環小數表示的。
因此很容易證明，在這種情況下不可能建立一一對應關系。
假定有人聲稱已經建立了這樣一種一一對應，且具有以下形式： N 1 0.38602563078&hellip 2 0.57350762050&hellip 3 0.99356753207&hellip 4 0.25763200456&hellip 5 0.00005320562&hell