第一章 大數
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當然，由于不可能把無窮多個整數和無窮多個小數實際寫出來，所以上述說法隻是意味着這張表的作者有了某種一般規則（類似于我們用來排列普通分數的規則），并且根據這種規則制作了這張表，此規則保證每一個小數遲早會出現在這張表上。
但我們很容易證明，任何此類說法都是站不住腳的，因為我們總能寫出一個無限小數沒有包含在這張無窮表之中。
怎麼寫呢？非常簡單。
隻要讓該小數的第一小數位區别于表中N1的第一小數位，第二小數位區别于表中N2的第二小數位，等等。
你所得到的數可能是下面這個樣子： 無論你怎樣找，都不可能在上表中找到這個數。
事實上，如果該表的作者告訴你，你所寫出的這個數位于他那張表上的N137（或其他任何序号），你可以立即回答說：&ldquo不可能，我這個數并不是你那個數，因為我這個數的第137小數位不同于你那個數的第137小數位。
&rdquo 因此，線上的點與整數之間不可能建立起一一對應關系。
這意味着，線上的點的無窮大大于或強于所有整數或分數的無窮大。
我們一直在讨論&ldquo1英寸長&rdquo的線上的點。
但現在很容易證明，按照我們&ldquo無窮大算術&rdquo的規則，無論多長的線都是如此。
事實上，無論是1英寸長的線，1英尺長的線，還是1英裡長的線，上面的點數都相同。
要想證明這一點，隻要看看圖6，AB和AC是兩條不同長度的線，現在要比較其上的點數。
為了在這兩條線的點之間建立一一對應關系，過AB上的每一點作BC的平行線與AC相交，這樣便形成了D與D&prime，E與E&prime，F與F&prime等交點。
對于AB上的任意一點，都有AC上的一個點與之對應，反之亦然。
于是按照我們的規則，這兩個無窮大是相等的。
通過這種對無窮大的分析還能得出一個更加驚人的結論：一個平面上所有點的數目與一條線上所有點的數目相等。
為了證明這一點，讓我們考慮一條長1英寸的線AB上的點和邊長1英寸的正方形CDEF上的點（圖7）。
圖6 圖7 假定這條線上某一點的位置由某個數給出，比如0.75120386&hellip。
我們可以把這個數的奇數位和偶數位挑出來再組合到一起，形成兩個不同的小數： 0.7108&hellip 和 0.5236&hellip 在正方形中沿水平和豎直方向量出由這兩個數所指定的距離，把這樣得到的點稱為原來線上那個點的&ldquo對偶點&rdquo。
反過來，對于正方形中的任意一點，比如由0.4835&hellip和0.9907&hellip這兩個數來描述的點，我們把這兩個數合到一起，便得到了線上相應的&ldquo對偶點&rdquo：0.49893057&hellip。
顯然，通過這種程序可以在兩組點之間建立一一對應關系。
線上的每一點在正方形中都有其對應點，正方形中的每一點在線上也有其對應點，沒有被遺漏的點。
于是，按照康托爾的标準，一個正方形中所有點的無窮大與一條線上所有點的無窮大相等。
通過類似的辦法也很容易證明，立方體中所有點的無窮大與正方形或線上所有點的無窮大相等。
為此，我們隻需把最初那個無限小數分成三部分，10并用由此獲得的三個新的小數來定義立方體中&ldquo對偶點&rdquo的位置。
和不同長度的兩條線的情況一樣，正方形或立方體中的點數與該正方形或立方體的尺寸無關。
雖然所有幾何點的數目要大于所有整數和分數的數目，但這還不是數學家們知道的最大的數。
事實上，人們發現，所有可能的曲線，包括形狀最不尋常的那些，其成員數目要比所有幾何點的數目更大，因此應把它看成無窮大序列中的第三個數。
根據&ldquo無窮大算術&rdquo的創始人康托爾的說法，無窮大數由希伯來字母（讀作阿列夫）表示，其右下角再用一個小數字來表示此無窮大的級别。
這樣一來，數（包括無窮大數）的序列就成了： 1，2，3，4，5，&hellip1，2，3&hellip 正如我們說&ldquo世界有7大洲&rdquo，&ldquo一副撲克有54張牌&rdquo，我們也可以說&ldquo一條線上有1個點&rdquo，&ldquo存在着2種不同的曲線&rdquo。
圖8 前三個無窮大數 在結束關于無窮大數的讨論時，我們要指出，這些數很快就把人們所能想象的無窮大數包含了進去。
我們知道，0表示所有整數的數目，1表示所有幾何點的數目，2表示所有曲線的數目，但是到目前為止，還沒有人想得出能用3來表示的無限集合。
似乎前三個無窮大數就足以數出我們所能想到的任何東西了。
我們現在的處境正好與我們那位霍屯督老朋友完全相反：他有許多個兒子，卻數不過3；我們什麼都能數，卻沒有那麼多東西讓我們來數！
但我們很容易證明，任何此類說法都是站不住腳的，因為我們總能寫出一個無限小數沒有包含在這張無窮表之中。
怎麼寫呢？非常簡單。
隻要讓該小數的第一小數位區别于表中N1的第一小數位，第二小數位區别于表中N2的第二小數位，等等。
你所得到的數可能是下面這個樣子： 無論你怎樣找，都不可能在上表中找到這個數。
事實上，如果該表的作者告訴你，你所寫出的這個數位于他那張表上的N137（或其他任何序号），你可以立即回答說：&ldquo不可能，我這個數并不是你那個數，因為我這個數的第137小數位不同于你那個數的第137小數位。
&rdquo 因此，線上的點與整數之間不可能建立起一一對應關系。
這意味着，線上的點的無窮大大于或強于所有整數或分數的無窮大。
我們一直在讨論&ldquo1英寸長&rdquo的線上的點。
但現在很容易證明，按照我們&ldquo無窮大算術&rdquo的規則，無論多長的線都是如此。
事實上，無論是1英寸長的線，1英尺長的線，還是1英裡長的線，上面的點數都相同。
要想證明這一點，隻要看看圖6，AB和AC是兩條不同長度的線，現在要比較其上的點數。
為了在這兩條線的點之間建立一一對應關系，過AB上的每一點作BC的平行線與AC相交，這樣便形成了D與D&prime，E與E&prime，F與F&prime等交點。
對于AB上的任意一點，都有AC上的一個點與之對應，反之亦然。
于是按照我們的規則，這兩個無窮大是相等的。
通過這種對無窮大的分析還能得出一個更加驚人的結論：一個平面上所有點的數目與一條線上所有點的數目相等。
為了證明這一點，讓我們考慮一條長1英寸的線AB上的點和邊長1英寸的正方形CDEF上的點（圖7）。
圖6 圖7 假定這條線上某一點的位置由某個數給出，比如0.75120386&hellip。
我們可以把這個數的奇數位和偶數位挑出來再組合到一起，形成兩個不同的小數： 0.7108&hellip 和 0.5236&hellip 在正方形中沿水平和豎直方向量出由這兩個數所指定的距離，把這樣得到的點稱為原來線上那個點的&ldquo對偶點&rdquo。
反過來，對于正方形中的任意一點，比如由0.4835&hellip和0.9907&hellip這兩個數來描述的點，我們把這兩個數合到一起，便得到了線上相應的&ldquo對偶點&rdquo：0.49893057&hellip。
顯然，通過這種程序可以在兩組點之間建立一一對應關系。
線上的每一點在正方形中都有其對應點，正方形中的每一點在線上也有其對應點，沒有被遺漏的點。
于是，按照康托爾的标準，一個正方形中所有點的無窮大與一條線上所有點的無窮大相等。
通過類似的辦法也很容易證明，立方體中所有點的無窮大與正方形或線上所有點的無窮大相等。
為此，我們隻需把最初那個無限小數分成三部分，10并用由此獲得的三個新的小數來定義立方體中&ldquo對偶點&rdquo的位置。
和不同長度的兩條線的情況一樣，正方形或立方體中的點數與該正方形或立方體的尺寸無關。
雖然所有幾何點的數目要大于所有整數和分數的數目，但這還不是數學家們知道的最大的數。
事實上，人們發現，所有可能的曲線，包括形狀最不尋常的那些，其成員數目要比所有幾何點的數目更大，因此應把它看成無窮大序列中的第三個數。
根據&ldquo無窮大算術&rdquo的創始人康托爾的說法，無窮大數由希伯來字母（讀作阿列夫）表示，其右下角再用一個小數字來表示此無窮大的級别。
這樣一來，數（包括無窮大數）的序列就成了： 1，2，3，4，5，&hellip1，2，3&hellip 正如我們說&ldquo世界有7大洲&rdquo，&ldquo一副撲克有54張牌&rdquo，我們也可以說&ldquo一條線上有1個點&rdquo，&ldquo存在着2種不同的曲線&rdquo。
圖8 前三個無窮大數 在結束關于無窮大數的讨論時，我們要指出，這些數很快就把人們所能想象的無窮大數包含了進去。
我們知道，0表示所有整數的數目，1表示所有幾何點的數目，2表示所有曲線的數目，但是到目前為止，還沒有人想得出能用3來表示的無限集合。
似乎前三個無窮大數就足以數出我們所能想到的任何東西了。
我們現在的處境正好與我們那位霍屯督老朋友完全相反：他有許多個兒子，卻數不過3；我們什麼都能數，卻沒有那麼多東西讓我們來數！