第二章 自然數與人工數
關燈
小
中
大
可惜到了第41步，這個公式也不管用了。
事實上， (41)2-41+41＝412＝41×41， 這是一個平方數，而不是質數。
人們還嘗試過另一個公式： n2-79n+1601， 在n取從1到79之間的某個數時，這個公式都能産生質數，然而當n＝80時，它又失效了！ 于是，尋找隻産生質數的普遍公式的問題仍然沒有得到解決。
尚未得到證明也沒有被否證的數論定理的另一個有趣例子是1742年提出的所謂&ldquo哥德巴赫猜想&rdquo。
它說：每一個偶數都能表示成兩個質數之和。
從一些簡單的例子很容易看出它是對的，比如12=7+5，24=17+7，32=29+3。
但數學家們雖然就此作了大量研究，卻依然不能确鑿地證明這個命題是對的，也找不出一個反例來否證它。
直到1931年，蘇聯數學家施尼雷爾曼（Schnirelmann）才朝着所期望的證明成功地邁出了建設性的第一步。
他證明，每一個偶數都是不多于300000個質數之和。
後來，&ldquo300000個質數之和&rdquo與&ldquo2個質數之和&rdquo之間的差距被另一位蘇聯數學家維諾格拉多夫（Vinogradoff）大大縮短了。
他把史尼雷爾曼的結論減少到&ldquo4個質數之和&rdquo。
但是從維諾格拉多夫的&ldquo4個質數&rdquo到哥德巴赫的&ldquo2個質數&rdquo，這最後的兩步似乎最難邁過去。
我們不知道究竟需要幾年還是幾個世紀，才能最終證明或否證這個困難的命題。
由此可見，要想導出能夠自動給出小于任意大的數的所有質數的公式，我們還有很遠的路要走，我們甚至不确定究竟能否導出這樣的公式呢。
現在，我們也許可以問一個更為謙卑的問題：在給定的數值區間内，質數所占的百分比有多少。
随着數變得越來越大，這個百分比是否大緻保持恒定？如果不是，它是增大還是減小？我們可以通過查找不同數值區間内的質數數目來經驗地回答這個問題。
我們發現，100以内有26個質數，1000以内有168個，1000000以内有78498個，1000000000以内有50847478個。
把這些質數數目除以相應的數值區間，我們便得到了下面這張表： 數值區間 1~N 質數數目 比率 偏差（%） 1~100 26 0.260 0.217 20 1~1000 168 0.168 0.145 16 1~106 78498 0.078498 0.072382 8 1~109 50847478 0.050847478 0.048254942 5 從這張表上首先可以看出，随着數值區間的擴大，質數的相對數目在逐漸減少，但并不存在質數的終點。
有沒有什麼簡單的辦法能對質數在大數當中所占百分比的這種減小做出數學表示呢？有的，而且支配質數平均分布的法則堪稱整個數學中最引人注目的發現之一。
這條法則說：從1到任何更大的數N之間質數所占的百分比近似由N的自然對數的倒數所表示。
11N越大，這種近似就越精确。
從上表的第四欄可以查到N的自然對數的倒數。
将它們與前一欄的值對比一下，就會看到兩者非常接近，而且N越大就越接近。
和其他許多數論命題一樣，上述質數定理起初也是憑經驗發現的，而且長時間得不到嚴格的數學證明。
直到19世紀末，法國數學家阿達馬（JacquesSolomonHadamard）和比利時數學家普桑（delaValléePoussin）才終于證明了它。
其證明方法太過繁難，這裡就不去解釋了。
既然讨論整數，就不能不提到著名的費馬大定理，盡管這個定理與質數的性質并無必然聯系。
這個問題可以追溯到古埃及，那裡的每一個好木匠都知道，一個三邊之比為3:4:5的三角形必定包含一個直角。
事實上，古埃及人正是把這樣一個三角形（現在被稱為埃及三角形）用作木匠的曲尺。
公元3世紀時，亞曆山大裡亞的丢番圖（Diophantes）開始思考這樣一個問題：是否隻有3和4這兩個整數才滿足其平方和等于另一個整數的平方？他證明，還有其他三個一組的整數（事實上有無窮多組）具有這樣的性質，并且給出了找到這些整數的一般規則。
這些三邊均為整數的直角三角形被稱為畢達哥拉斯三角形，埃及三角形是其中第一個。
構造畢達哥拉斯三角形的問題可以簡單地表述成解代數方程 x2+y2=z2， 其中x，y，z須為整數。
12 1621年，費馬在巴黎買了一本丢番圖所著《算術》的法文譯本，其中讨論了畢達哥拉斯三角形。
費馬讀這本
事實上， (41)2-41+41＝412＝41×41， 這是一個平方數，而不是質數。
人們還嘗試過另一個公式： n2-79n+1601， 在n取從1到79之間的某個數時，這個公式都能産生質數，然而當n＝80時，它又失效了！ 于是，尋找隻産生質數的普遍公式的問題仍然沒有得到解決。
尚未得到證明也沒有被否證的數論定理的另一個有趣例子是1742年提出的所謂&ldquo哥德巴赫猜想&rdquo。
它說：每一個偶數都能表示成兩個質數之和。
從一些簡單的例子很容易看出它是對的，比如12=7+5，24=17+7，32=29+3。
但數學家們雖然就此作了大量研究，卻依然不能确鑿地證明這個命題是對的，也找不出一個反例來否證它。
直到1931年，蘇聯數學家施尼雷爾曼（Schnirelmann）才朝着所期望的證明成功地邁出了建設性的第一步。
他證明，每一個偶數都是不多于300000個質數之和。
後來，&ldquo300000個質數之和&rdquo與&ldquo2個質數之和&rdquo之間的差距被另一位蘇聯數學家維諾格拉多夫（Vinogradoff）大大縮短了。
他把史尼雷爾曼的結論減少到&ldquo4個質數之和&rdquo。
但是從維諾格拉多夫的&ldquo4個質數&rdquo到哥德巴赫的&ldquo2個質數&rdquo，這最後的兩步似乎最難邁過去。
我們不知道究竟需要幾年還是幾個世紀，才能最終證明或否證這個困難的命題。
由此可見，要想導出能夠自動給出小于任意大的數的所有質數的公式，我們還有很遠的路要走，我們甚至不确定究竟能否導出這樣的公式呢。
現在，我們也許可以問一個更為謙卑的問題：在給定的數值區間内，質數所占的百分比有多少。
随着數變得越來越大，這個百分比是否大緻保持恒定？如果不是，它是增大還是減小？我們可以通過查找不同數值區間内的質數數目來經驗地回答這個問題。
我們發現，100以内有26個質數，1000以内有168個，1000000以内有78498個，1000000000以内有50847478個。
把這些質數數目除以相應的數值區間，我們便得到了下面這張表： 數值區間 1~N 質數數目 比率 偏差（%） 1~100 26 0.260 0.217 20 1~1000 168 0.168 0.145 16 1~106 78498 0.078498 0.072382 8 1~109 50847478 0.050847478 0.048254942 5 從這張表上首先可以看出，随着數值區間的擴大，質數的相對數目在逐漸減少，但并不存在質數的終點。
有沒有什麼簡單的辦法能對質數在大數當中所占百分比的這種減小做出數學表示呢？有的，而且支配質數平均分布的法則堪稱整個數學中最引人注目的發現之一。
這條法則說：從1到任何更大的數N之間質數所占的百分比近似由N的自然對數的倒數所表示。
11N越大，這種近似就越精确。
從上表的第四欄可以查到N的自然對數的倒數。
将它們與前一欄的值對比一下，就會看到兩者非常接近，而且N越大就越接近。
和其他許多數論命題一樣，上述質數定理起初也是憑經驗發現的，而且長時間得不到嚴格的數學證明。
直到19世紀末，法國數學家阿達馬（JacquesSolomonHadamard）和比利時數學家普桑（delaValléePoussin）才終于證明了它。
其證明方法太過繁難，這裡就不去解釋了。
既然讨論整數，就不能不提到著名的費馬大定理，盡管這個定理與質數的性質并無必然聯系。
這個問題可以追溯到古埃及，那裡的每一個好木匠都知道，一個三邊之比為3:4:5的三角形必定包含一個直角。
事實上，古埃及人正是把這樣一個三角形（現在被稱為埃及三角形）用作木匠的曲尺。
公元3世紀時，亞曆山大裡亞的丢番圖（Diophantes）開始思考這樣一個問題：是否隻有3和4這兩個整數才滿足其平方和等于另一個整數的平方？他證明，還有其他三個一組的整數（事實上有無窮多組）具有這樣的性質，并且給出了找到這些整數的一般規則。
這些三邊均為整數的直角三角形被稱為畢達哥拉斯三角形，埃及三角形是其中第一個。
構造畢達哥拉斯三角形的問題可以簡單地表述成解代數方程 x2+y2=z2， 其中x，y，z須為整數。
12 1621年，費馬在巴黎買了一本丢番圖所著《算術》的法文譯本，其中讨論了畢達哥拉斯三角形。
費馬讀這本