第二章 自然數與人工數
關燈
小
中
大
書時，在書頁空白處作了一則簡短的筆記，說雖然方程
x2+y2=z2
有無窮多組整數解，但對于任何
xn+yn=zn
類型的方程，當n大于2時永遠沒有整數解。
&ldquo我發現了一個絕妙的證明，&rdquo費馬補充說，&ldquo但這裡的空白太窄了，寫不下。
&rdquo 費馬去世後，人們在他的圖書室發現了丢番圖的那本書，那則旁注的内容也公之于世。
三百多年來，各國最優秀的數學家都在力圖重建費馬寫那則旁注時所想到的證明，但至今未能成功。
13當然，在朝着終極目标邁進方面已經有了很大進展。
一門全新的數學分支，即所謂的&ldquo理想數理論&rdquo，在嘗試證明費馬大定理的過程中被創建出來。
歐拉證明，方程x3+y3=z3和x4+y4=z4不可能有整數解。
狄利克雷（Dirichlet）證明，x5+y5=z5也是如此。
通過幾位數學家的共同努力，現已證明，當n的值小于269時，費馬方程都不可能有整數解。
不過，對指數n取任何值都成立的一般證明一直沒能作出。
人們越來越懷疑，費馬要麼根本沒有作出證明，要麼就是在證明過程中有什麼地方弄錯了。
為了尋求這個問題的解答，曾經懸賞10萬德國馬克，這個問題因此變得紅極一時。
不過，那些為獎金而來的業餘數學家的努力全都以失敗而告終。
當然，這個定理也有可能是錯誤的，隻要能找到一個例子，證明兩個整數的某個相同高次幂之和等于另一個整數的同一次幂就可以了。
不過在尋找這個例子時，我們隻能使用比269更大的幂次，這可不是容易的事情啊。
二、神秘的 現在，我們來做點兒高級算術。
二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五。
因此，四的平方根是二，九的平方根是三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。
14 但一個負數的平方根會是什麼呢？和這樣的表達式有什麼意義嗎？ 如果你試圖以理性的方式來理解這樣的數，你一定會得出結論說，上述表達式沒有任何意義。
我們可以引用12世紀的印度數學家婆什迦羅（BrahminBhaskara）的話：&ldquo正數的平方是正數，負數的平方也是正數。
因此，正數的平方根有兩個：一個正的、一個負的。
負數沒有平方根，因為負數不是平方數。
&rdquo 但數學家都是固執的人。
如果有某個看上去沒有意義的東西不斷出現在其公式中，他們就會盡力為其賦予意義。
負數的平方根顯然持續出現在各種地方，無論是過去的數學家所思考的簡單算術問題，還是20世紀在相對論框架内将時間和空間統一起來的問題。
最早将負數的平方根這個看似沒有意義的東西寫到公式中的勇士是16世紀的意大利數學家卡爾丹（Cardan）。
在讨論是否有可能将10分成乘積等于40的兩部分時，卡爾丹表明，雖然這個問題沒有任何有理解，但如果把答案寫成5+和5-這兩個荒謬的表達式就可以了。
15 卡爾丹雖然承認這兩個表達式沒有意義，是虛構和想象的，但還是把它們寫下來了。
如果有人敢把負數的平方根寫下來，那麼将10分成乘積等于40的兩部分的問題就迎刃而解了，盡管它們是虛構的。
一旦打破堅冰，負數的平方根，或如卡爾丹所稱的&ldquo虛數&rdquo，就越來越被數學家們頻繁使用了，盡管使用時總是很有保留，并且要找适當的借口。
在著名德國科學家歐拉1770年出版的代數著作中，我們看到了對虛數的大量運用。
但作為緩和，他又加上了如下評論：&ldquo所有像、&hellip&hellip這樣的表達式都是不可能的或想象中的數，因為它們表示的是負數的平方根。
對于這類數，我們也許可以斷言，它們既不是無，也不比無更多或更少。
它們純屬虛幻或不可能。
&rdquo 然而，盡管有這些毀謗和借口，虛數很快就成了數學中像分數或根式一樣無法避免的東西。
如果不使用虛數，幾乎可以說寸步難行。
可以說，虛數家族代表着實數的一個虛構的鏡像。
正如我們從基本數1可以産生所有實數，我們也可以把當作虛數的基本數（通常用符号i表示），由它産生所有虛數。
不難看出，=×=3i，=×=0.246&hellipi，等等，因此每一個實數都有自己的虛數搭擋。
我們還能像卡爾丹起初所做的那樣把實數和虛數結合起來，組成像5+=5+i這樣的表達式。
這種混合形式通常被稱為複數。
闖入數學領域之後足足兩個世紀，虛數仍然被一張難以置信的神秘面紗包裹着，直到兩位業餘數學家，即挪威的測量員韋塞爾（Wessel）和巴黎的簿記員阿爾岡（RobotArgand），最終對虛數做出了簡單的幾何解釋。
按照他們的解釋，一個複數，例如3+4i，可以像在圖10中那樣表示出來，其中3對應着水平距離，4對應着垂直距離。
事實上，所有實數（無
&ldquo我發現了一個絕妙的證明，&rdquo費馬補充說，&ldquo但這裡的空白太窄了，寫不下。
&rdquo 費馬去世後，人們在他的圖書室發現了丢番圖的那本書，那則旁注的内容也公之于世。
三百多年來，各國最優秀的數學家都在力圖重建費馬寫那則旁注時所想到的證明，但至今未能成功。
13當然，在朝着終極目标邁進方面已經有了很大進展。
一門全新的數學分支，即所謂的&ldquo理想數理論&rdquo，在嘗試證明費馬大定理的過程中被創建出來。
歐拉證明，方程x3+y3=z3和x4+y4=z4不可能有整數解。
狄利克雷（Dirichlet）證明，x5+y5=z5也是如此。
通過幾位數學家的共同努力，現已證明，當n的值小于269時，費馬方程都不可能有整數解。
不過，對指數n取任何值都成立的一般證明一直沒能作出。
人們越來越懷疑，費馬要麼根本沒有作出證明，要麼就是在證明過程中有什麼地方弄錯了。
為了尋求這個問題的解答，曾經懸賞10萬德國馬克，這個問題因此變得紅極一時。
不過，那些為獎金而來的業餘數學家的努力全都以失敗而告終。
當然，這個定理也有可能是錯誤的，隻要能找到一個例子，證明兩個整數的某個相同高次幂之和等于另一個整數的同一次幂就可以了。
不過在尋找這個例子時，我們隻能使用比269更大的幂次，這可不是容易的事情啊。
二、神秘的 現在，我們來做點兒高級算術。
二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五。
因此，四的平方根是二，九的平方根是三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。
14 但一個負數的平方根會是什麼呢？和這樣的表達式有什麼意義嗎？ 如果你試圖以理性的方式來理解這樣的數，你一定會得出結論說，上述表達式沒有任何意義。
我們可以引用12世紀的印度數學家婆什迦羅（BrahminBhaskara）的話：&ldquo正數的平方是正數，負數的平方也是正數。
因此，正數的平方根有兩個：一個正的、一個負的。
負數沒有平方根，因為負數不是平方數。
&rdquo 但數學家都是固執的人。
如果有某個看上去沒有意義的東西不斷出現在其公式中，他們就會盡力為其賦予意義。
負數的平方根顯然持續出現在各種地方，無論是過去的數學家所思考的簡單算術問題，還是20世紀在相對論框架内将時間和空間統一起來的問題。
最早将負數的平方根這個看似沒有意義的東西寫到公式中的勇士是16世紀的意大利數學家卡爾丹（Cardan）。
在讨論是否有可能将10分成乘積等于40的兩部分時，卡爾丹表明，雖然這個問題沒有任何有理解，但如果把答案寫成5+和5-這兩個荒謬的表達式就可以了。
15 卡爾丹雖然承認這兩個表達式沒有意義，是虛構和想象的，但還是把它們寫下來了。
如果有人敢把負數的平方根寫下來，那麼将10分成乘積等于40的兩部分的問題就迎刃而解了，盡管它們是虛構的。
一旦打破堅冰，負數的平方根，或如卡爾丹所稱的&ldquo虛數&rdquo，就越來越被數學家們頻繁使用了，盡管使用時總是很有保留，并且要找适當的借口。
在著名德國科學家歐拉1770年出版的代數著作中，我們看到了對虛數的大量運用。
但作為緩和，他又加上了如下評論：&ldquo所有像、&hellip&hellip這樣的表達式都是不可能的或想象中的數，因為它們表示的是負數的平方根。
對于這類數，我們也許可以斷言，它們既不是無，也不比無更多或更少。
它們純屬虛幻或不可能。
&rdquo 然而，盡管有這些毀謗和借口，虛數很快就成了數學中像分數或根式一樣無法避免的東西。
如果不使用虛數，幾乎可以說寸步難行。
可以說，虛數家族代表着實數的一個虛構的鏡像。
正如我們從基本數1可以産生所有實數，我們也可以把當作虛數的基本數（通常用符号i表示），由它産生所有虛數。
不難看出，=×=3i，=×=0.246&hellipi，等等，因此每一個實數都有自己的虛數搭擋。
我們還能像卡爾丹起初所做的那樣把實數和虛數結合起來，組成像5+=5+i這樣的表達式。
這種混合形式通常被稱為複數。
闖入數學領域之後足足兩個世紀，虛數仍然被一張難以置信的神秘面紗包裹着，直到兩位業餘數學家，即挪威的測量員韋塞爾（Wessel）和巴黎的簿記員阿爾岡（RobotArgand），最終對虛數做出了簡單的幾何解釋。
按照他們的解釋，一個複數，例如3+4i，可以像在圖10中那樣表示出來，其中3對應着水平距離，4對應着垂直距離。
事實上，所有實數（無