第二章 自然數與人工數
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論是正是負）都可以用橫軸上的點來表示，所有純虛數都可以用縱軸上的點來表示。
我們把一個實數（代表橫軸上的一個點）比如3乘以虛數單位i，就得到了位于縱軸上的純虛數3i。
因此，一個數乘以i，在幾何上等價于逆時針旋轉90°。
（見圖10）。
圖10 如果把3i再乘以i，則須再旋轉90°，結果又回到了橫軸，不過現在位于負數那一邊。
因此， 3i×i=3i2=-3， 或 i2=-1。
說&ldquoi的平方等于-1&rdquo遠比說&ldquo兩次逆時針旋轉90°便成反向&rdquo更容易理解。
當然，同樣的規則也适用于混合的複數。
把3+4i乘以i，我們得到 （3+4i）i=3i+4i2=3i-4=-4+3i。
由圖10立即可以看到，-4+3i這個點對應于3+4i這個點圍繞原點逆時針旋轉90°。
同樣，由圖10也可以看出，一個數乘以-i不過是它圍繞原點順時針旋轉90°罷了。
如果你仍然覺得虛數蒙有一層神秘的面紗，那就讓我們通過解決一個虛數有實際應用的簡單問題來揭開它吧。
有一個喜歡冒險的年輕人，在他曾祖父的遺稿中發現了一張羊皮紙，上面透露了一個藏寶地點。
它是這樣寫着的： 乘船至北緯 、西經 ，16即可找到一座荒島。
島的北岸有一大片草地，草地上有一棵橡樹和一棵松樹。
17那裡還能看到一個年代已久的絞架，那是我們曾經用來吊死叛變者的。
從絞架走到橡樹，記住走了多少步；到了橡樹之後，向右轉個直角再走這麼多步，在那裡打個樁。
然後回到絞架朝松樹走，記住所走的步數。
到了松樹之後，向左轉個直角再走這麼多步，在那裡也打個樁。
在兩個樁的中間挖掘，即可找到财寶。
這些指令清楚而明确。
于是，這位年輕人租了一條船駛往南太平洋。
他找到了這座島，也找到了橡樹和松樹，但讓他大失所望的是，絞架不見了。
此時距離寫下那份遺稿已經過去太長時間，風吹日曬雨淋已使絞架的木頭徹底腐爛，歸于泥土，當初所在的位置一點痕迹也沒有留下來。
我們這位愛冒險的年輕人陷入了絕望。
憤怒而狂亂的他開始在地上胡亂挖掘。
但這個島面積太大了，他的所有努力都付諸東流。
一無所獲的他隻得返航。
如今，那财寶可能還在島上埋着呢！ 這是一個不幸的故事，但更為不幸的是，如果這個小夥子懂點數學，特别是懂得如何運用虛數，他或許能夠找到财寶。
現在讓我們為他找找看，盡管對他來說已經太晚了。
圖11 用虛數尋寶 把這個島看成一個複數平面。
過兩樹的根畫出一軸（實軸），過兩樹的中點作另一軸（虛軸）與實軸垂直（見圖11）。
取兩樹距離的一半作為我們的長度單位，于是可以說，橡樹位于實軸上的-1點，松樹位于+1點。
我們不知道絞架在哪裡，不妨用希臘字母&Gamma（這個字母的樣子倒像個絞架！）來表示它的假設位置。
由于該位置并不一定在兩根軸中的某一軸上，所以應把&Gamma看成一個複數，即&Gamma=a+bi。
現在我們來做些簡單的計算，别忘了前面講過的虛數的乘法規則。
如果絞架在&Gamma，橡樹在-1，則兩者的方位距離為 -1-&Gamma=-(1+&Gamma)。
同樣，絞架與松樹的方位距離為1-&Gamma。
根據上述規則，将這兩段距離分别沿順時針（向右）和逆時針（向左）旋轉90°，就是把它們分别乘以-i和i，這樣便求出了我們打的兩根樁的位置： 第一根樁：(-i)［-(1+&Gamma)］+1=i(&Gamma+1)+1， 第二根樁：(+i)(1-&Gamma)-1=i(1-&Gamma)-1。
由于财寶在兩根樁的正中間，所以我們應求出上述兩個複數之和的一半，即 ［i(&Gamma+1)+1+i(1-&Gamma)-1］=(i&Gamma+i+1+i-i&Gamma-1)=(2i)=i。
由此可見，&Gamma所表示的絞架的未知位置已經從我們的運算過程中消失了。
無論絞架在哪裡，财寶都必定在+i這個點上。
因此，如果這個年輕人能做這麼一點簡單的數學運算，他就無須在整個島上挖來挖去，而隻要在圖11中打×的地方尋找财寶。
如果你仍然不相信，要找到财寶完全不需要知道絞架的位置，你可以在一張紙上标記出兩棵樹的位置，再為絞架假設幾個不同的位置，然後按照羊皮紙上的指令去做。
你将總是得到複數平面上對應于+i的那個位置！ 通過運用-1的平方根這個虛數，我們還找到了另一項隐秘的财寶：我們驚訝地發現，普通的三維空間能與時間結合成受四維幾何學規則支配的四維空間。
我們将在接下來的某一章讨論愛因斯坦的思想和他的相對論，屆時會回到這一發現。
我們把一個實數（代表橫軸上的一個點）比如3乘以虛數單位i，就得到了位于縱軸上的純虛數3i。
因此，一個數乘以i，在幾何上等價于逆時針旋轉90°。
（見圖10）。
圖10 如果把3i再乘以i，則須再旋轉90°，結果又回到了橫軸，不過現在位于負數那一邊。
因此， 3i×i=3i2=-3， 或 i2=-1。
說&ldquoi的平方等于-1&rdquo遠比說&ldquo兩次逆時針旋轉90°便成反向&rdquo更容易理解。
當然，同樣的規則也适用于混合的複數。
把3+4i乘以i，我們得到 （3+4i）i=3i+4i2=3i-4=-4+3i。
由圖10立即可以看到，-4+3i這個點對應于3+4i這個點圍繞原點逆時針旋轉90°。
同樣，由圖10也可以看出，一個數乘以-i不過是它圍繞原點順時針旋轉90°罷了。
如果你仍然覺得虛數蒙有一層神秘的面紗，那就讓我們通過解決一個虛數有實際應用的簡單問題來揭開它吧。
有一個喜歡冒險的年輕人，在他曾祖父的遺稿中發現了一張羊皮紙，上面透露了一個藏寶地點。
它是這樣寫着的： 乘船至北緯 、西經 ，16即可找到一座荒島。
島的北岸有一大片草地，草地上有一棵橡樹和一棵松樹。
17那裡還能看到一個年代已久的絞架，那是我們曾經用來吊死叛變者的。
從絞架走到橡樹，記住走了多少步；到了橡樹之後，向右轉個直角再走這麼多步，在那裡打個樁。
然後回到絞架朝松樹走，記住所走的步數。
到了松樹之後，向左轉個直角再走這麼多步，在那裡也打個樁。
在兩個樁的中間挖掘，即可找到财寶。
這些指令清楚而明确。
于是，這位年輕人租了一條船駛往南太平洋。
他找到了這座島，也找到了橡樹和松樹，但讓他大失所望的是，絞架不見了。
此時距離寫下那份遺稿已經過去太長時間，風吹日曬雨淋已使絞架的木頭徹底腐爛，歸于泥土，當初所在的位置一點痕迹也沒有留下來。
我們這位愛冒險的年輕人陷入了絕望。
憤怒而狂亂的他開始在地上胡亂挖掘。
但這個島面積太大了，他的所有努力都付諸東流。
一無所獲的他隻得返航。
如今，那财寶可能還在島上埋着呢！ 這是一個不幸的故事，但更為不幸的是，如果這個小夥子懂點數學，特别是懂得如何運用虛數，他或許能夠找到财寶。
現在讓我們為他找找看，盡管對他來說已經太晚了。
圖11 用虛數尋寶 把這個島看成一個複數平面。
過兩樹的根畫出一軸（實軸），過兩樹的中點作另一軸（虛軸）與實軸垂直（見圖11）。
取兩樹距離的一半作為我們的長度單位，于是可以說，橡樹位于實軸上的-1點，松樹位于+1點。
我們不知道絞架在哪裡，不妨用希臘字母&Gamma（這個字母的樣子倒像個絞架！）來表示它的假設位置。
由于該位置并不一定在兩根軸中的某一軸上，所以應把&Gamma看成一個複數，即&Gamma=a+bi。
現在我們來做些簡單的計算，别忘了前面講過的虛數的乘法規則。
如果絞架在&Gamma，橡樹在-1，則兩者的方位距離為 -1-&Gamma=-(1+&Gamma)。
同樣，絞架與松樹的方位距離為1-&Gamma。
根據上述規則，将這兩段距離分别沿順時針（向右）和逆時針（向左）旋轉90°，就是把它們分别乘以-i和i，這樣便求出了我們打的兩根樁的位置： 第一根樁：(-i)［-(1+&Gamma)］+1=i(&Gamma+1)+1， 第二根樁：(+i)(1-&Gamma)-1=i(1-&Gamma)-1。
由于财寶在兩根樁的正中間，所以我們應求出上述兩個複數之和的一半，即 ［i(&Gamma+1)+1+i(1-&Gamma)-1］=(i&Gamma+i+1+i-i&Gamma-1)=(2i)=i。
由此可見，&Gamma所表示的絞架的未知位置已經從我們的運算過程中消失了。
無論絞架在哪裡，财寶都必定在+i這個點上。
因此，如果這個年輕人能做這麼一點簡單的數學運算，他就無須在整個島上挖來挖去，而隻要在圖11中打×的地方尋找财寶。
如果你仍然不相信，要找到财寶完全不需要知道絞架的位置，你可以在一張紙上标記出兩棵樹的位置，再為絞架假設幾個不同的位置，然後按照羊皮紙上的指令去做。
你将總是得到複數平面上對應于+i的那個位置！ 通過運用-1的平方根這個虛數，我們還找到了另一項隐秘的财寶：我們驚訝地發現，普通的三維空間能與時間結合成受四維幾何學規則支配的四維空間。
我們将在接下來的某一章讨論愛因斯坦的思想和他的相對論，屆時會回到這一發現。