第二十二章 數學
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元四大數學家的著作中才普遍使用了零碼。
明代以後珠算術逐漸推廣，為區分算籌記數位數而采用的縱橫相間制已無實際意義，因而在需要用數碼記數時，除表示1，2，3的數碼仍兼用縱橫二式以防混淆外，其他數碼都單用南宋數碼的橫式，明程大位《算法統宗》稱之為“暗碼”。
後來，暗碼中很長時間的商用暗碼（又稱蘇州碼）：清末學制改革設立了新式學堂，各地還有許多教會學校，大多采用新編譯的數學課本，現在通用的印度-阿拉伯數碼才逐漸傳播開來。
第六節 籌算歌訣的完備和珠算的發明 唐宋時期對于實用算術的研究是一個相當活躍的領域，不少人積極從事籌算算法的改進尤其是籌算乘除法的簡化工作，并取得了一些重要的進展。
如把籌算乘除需要擺放三層的擺法簡化為在一個橫列裡演算，提出了求一、上驅、搭因、重因、增成、身外加減、損乘、九歸等等籌算乘除捷法，并且其中一些方法還被編成容易上口和便于記憶的歌訣形式。
到了元代，這種簡化籌算乘除法的歌訣經過不斷改進而更加簡練和完備。
這一時期新編成的比較重要的歌訣有“化零歌”、“歸除歌訣”、“撞歸訣”、“起一訣”等，如朱世傑《算學啟蒙》記載有“化零歌”：“一退六二五，二留一二五，三留一八七五..”即11600625216012531601875===.,.,.當時一斤等于十六兩，這個歌訣就是以斤化兩的算法。
南宋楊輝也有斤價化兩價的歌訣：“一求，隔位六二五；二求，退位一二五；三求，一八七五記..”顯然朱世傑的歌訣更為順口易記。
《算學啟蒙》還記載了36句的“九歸”（除數為一位數的除法）歌訣，如“二一添作五，逢二進一十”，“三一三十一，三二六十二”等等，也比楊輝的九歸歌訣簡單明确。
此外，在元代還很流行“歸除”，在做多位數除法時先“歸”後“減”，以簡化除法運算。
賈亨《算法全能集》記有算法歌訣：“唯有歸除法更奇，将身歸了次除之。
有歸若是無除數，起一回将原數施。
或值本歸歸不得，撞歸之法莫教遲。
若還識得中間法，算者并無差一厘”，其中提到的撞歸訣和起一訣也趨于完善。
如《丁巨算法》（1355）提到的撞歸訣是“二歸撞歸九十二，三歸撞歸九十三..”，元末何平子《洋明算法》已将其改為“見二無除作九二，見三無除作九三..”等等。
以上這些口訣與珠算的口訣已經基本相同，隻不過當時還是用于籌算而已。
根據這些口訣作除法時，一念口訣便能立即得到商數。
在這種情況下，隻要熟練掌握口訣，具體計算本來可以變成相當簡便的事情，然而當時的計算工具卻還是那些不很便于取用的小竹條，因此手不應心的矛盾，也就是計算工具與計算方法的矛盾顯得更加突出了。
由于社會經濟的發展，迫切需要改進計算方法和計算工具，而籌算口訣的完備，已經提供了更為簡便的計算方法，于是，一種嶄新的計算工具&mdash&mdash珠算盤便應運而生了。
珠算是在我國籌算基礎上發展起來的，它的計算方法吸取了籌算方法，尤其是籌算口訣的産生和改進，對于從籌算向珠算的演變起了十分重要的作用。
至于珠算究竟是什麼時候産生，又是什麼人創造的，根據現有史料還不能作出确切的回答。
南北朝時期的《數術記遺》中記載了多種記數方法，其中的“珠算”并非後世的珠算，但是否對珠算的産生有所影響，則還須作更深入的研究。
有人認為北宋張擇端《清明上河圖》裡畫有一個算盤，但是原圖并不很清楚，難以确認是否為珠算盤。
元中葉之後的一些文學和戲劇作品中已經提到珠算。
元末陶宗儀《辍耕錄》記載一條俗諺：“凡納婢仆，初來時，曰雷盤珠，言不撥自動。
稍久，日算盤珠，言撥之則動。
既久，曰佛頂珠，言終日凝言，雖撥亦不動。
”①明初刊刻的一本看圖識字書《對相四言雜字》有算盤圖，共十檔，上二珠下五珠。
這是目前發現最早的算盤圖。
書中①陶宗儀：《辍耕錄》卷二九。
所繪人物服飾為元代式樣，由此可知該書原刊于元代。
另一方面，南宋和元初的著名數學家秦九韶、楊輝、李冶、朱世傑等又都沒有提起過珠算。
因此，珠算大約産生于元中葉以前不太久的時間。
總的說來，正像我們不能确切說明籌算是什麼時候産生又是什麼人創造的一樣，這種情況恰恰說明珠算和籌算都不是哪一個個人創造發明的，而是社會經濟發展的産物，是廣大勞動人民在長期的生産活動和日常生活中，根據實際需要創造出來并逐漸加以改進和完善的。
珠算盤和珠算術的發明，是我國古代勞動人民作出的一項意義重大、影響深遠的突出貢獻。
第七節 中國與伊斯蘭國家的數學交流 中國和伊斯蘭國家的接觸，很早的時候就已開始，在宋元時期有了更進一步
明代以後珠算術逐漸推廣，為區分算籌記數位數而采用的縱橫相間制已無實際意義，因而在需要用數碼記數時，除表示1，2，3的數碼仍兼用縱橫二式以防混淆外，其他數碼都單用南宋數碼的橫式，明程大位《算法統宗》稱之為“暗碼”。
後來，暗碼中很長時間的商用暗碼（又稱蘇州碼）：清末學制改革設立了新式學堂，各地還有許多教會學校，大多采用新編譯的數學課本，現在通用的印度-阿拉伯數碼才逐漸傳播開來。
第六節 籌算歌訣的完備和珠算的發明 唐宋時期對于實用算術的研究是一個相當活躍的領域，不少人積極從事籌算算法的改進尤其是籌算乘除法的簡化工作，并取得了一些重要的進展。
如把籌算乘除需要擺放三層的擺法簡化為在一個橫列裡演算，提出了求一、上驅、搭因、重因、增成、身外加減、損乘、九歸等等籌算乘除捷法，并且其中一些方法還被編成容易上口和便于記憶的歌訣形式。
到了元代，這種簡化籌算乘除法的歌訣經過不斷改進而更加簡練和完備。
這一時期新編成的比較重要的歌訣有“化零歌”、“歸除歌訣”、“撞歸訣”、“起一訣”等，如朱世傑《算學啟蒙》記載有“化零歌”：“一退六二五，二留一二五，三留一八七五..”即11600625216012531601875===.,.,.當時一斤等于十六兩，這個歌訣就是以斤化兩的算法。
南宋楊輝也有斤價化兩價的歌訣：“一求，隔位六二五；二求，退位一二五；三求，一八七五記..”顯然朱世傑的歌訣更為順口易記。
《算學啟蒙》還記載了36句的“九歸”（除數為一位數的除法）歌訣，如“二一添作五，逢二進一十”，“三一三十一，三二六十二”等等，也比楊輝的九歸歌訣簡單明确。
此外，在元代還很流行“歸除”，在做多位數除法時先“歸”後“減”，以簡化除法運算。
賈亨《算法全能集》記有算法歌訣：“唯有歸除法更奇，将身歸了次除之。
有歸若是無除數，起一回将原數施。
或值本歸歸不得，撞歸之法莫教遲。
若還識得中間法，算者并無差一厘”，其中提到的撞歸訣和起一訣也趨于完善。
如《丁巨算法》（1355）提到的撞歸訣是“二歸撞歸九十二，三歸撞歸九十三..”，元末何平子《洋明算法》已将其改為“見二無除作九二，見三無除作九三..”等等。
以上這些口訣與珠算的口訣已經基本相同，隻不過當時還是用于籌算而已。
根據這些口訣作除法時，一念口訣便能立即得到商數。
在這種情況下，隻要熟練掌握口訣，具體計算本來可以變成相當簡便的事情，然而當時的計算工具卻還是那些不很便于取用的小竹條，因此手不應心的矛盾，也就是計算工具與計算方法的矛盾顯得更加突出了。
由于社會經濟的發展，迫切需要改進計算方法和計算工具，而籌算口訣的完備，已經提供了更為簡便的計算方法，于是，一種嶄新的計算工具&mdash&mdash珠算盤便應運而生了。
珠算是在我國籌算基礎上發展起來的，它的計算方法吸取了籌算方法，尤其是籌算口訣的産生和改進，對于從籌算向珠算的演變起了十分重要的作用。
至于珠算究竟是什麼時候産生，又是什麼人創造的，根據現有史料還不能作出确切的回答。
南北朝時期的《數術記遺》中記載了多種記數方法，其中的“珠算”并非後世的珠算，但是否對珠算的産生有所影響，則還須作更深入的研究。
有人認為北宋張擇端《清明上河圖》裡畫有一個算盤，但是原圖并不很清楚，難以确認是否為珠算盤。
元中葉之後的一些文學和戲劇作品中已經提到珠算。
元末陶宗儀《辍耕錄》記載一條俗諺：“凡納婢仆，初來時，曰雷盤珠，言不撥自動。
稍久，日算盤珠，言撥之則動。
既久，曰佛頂珠，言終日凝言，雖撥亦不動。
”①明初刊刻的一本看圖識字書《對相四言雜字》有算盤圖，共十檔，上二珠下五珠。
這是目前發現最早的算盤圖。
書中①陶宗儀：《辍耕錄》卷二九。
所繪人物服飾為元代式樣，由此可知該書原刊于元代。
另一方面，南宋和元初的著名數學家秦九韶、楊輝、李冶、朱世傑等又都沒有提起過珠算。
因此，珠算大約産生于元中葉以前不太久的時間。
總的說來，正像我們不能确切說明籌算是什麼時候産生又是什麼人創造的一樣，這種情況恰恰說明珠算和籌算都不是哪一個個人創造發明的，而是社會經濟發展的産物，是廣大勞動人民在長期的生産活動和日常生活中，根據實際需要創造出來并逐漸加以改進和完善的。
珠算盤和珠算術的發明，是我國古代勞動人民作出的一項意義重大、影響深遠的突出貢獻。
第七節 中國與伊斯蘭國家的數學交流 中國和伊斯蘭國家的接觸，很早的時候就已開始，在宋元時期有了更進一步