第二十二章 數學
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此後不久，牛頓得到了現在通稱牛頓插值公式的一般結果。
牛頓插值公式在現代數學和天文學計算中仍然起着重要的作用。
朱世傑所發現的公式與牛頓插值公式在形式上和實質上都是完全一緻的，而後者要晚三百多年。
招差術的創立、發展和應用是中國數學史和天文學史上具有世界意義的重大成就。
第四節 弧矢割圓術和球面三角法 古希臘、印度和阿拉伯國家的數學家和天文學家從很早的時候起就創用了球面三角法，用來解決天文學方面的計算問題。
隋唐之際，印度天文學開始傳入我國，如《開元占經》所收《九執曆》中曾介紹過印度的正弦表，但球面三角法基本上沒有引起中國數學家和天文學家的重視。
沈括在《夢溪筆談》中首創“會圓術”，把割圓術方法應用于推算弧、弦、矢的關系，提出了一個由弓形中弦和矢的長度來求弧長的近似公式。
他的結果相當于公式：，其中為弧長，為相s=c+2vsc2d應弦長，v為相應矢長，d為圓的直徑。
王恂、郭守敬在《授時曆》中，根據相似三角形相應各線段成比例的關系，并反複應用沈括“會圓術”，創立了一種推算“赤道積度”和“赤道内外度”（即已知太陽的黃經度數求其赤經度數和赤緯度數）的新算法。
這種新算法常被稱為“弧矢割圓術”，它與球面三角學中求解球面直角三角形的方法是類同的。
在推算過程中，他們還得到了一些新的關系式。
這些關系式相當于下列的球面三角公式：sin&alpha=sincsin&alphacoscossincoscossinsincossincoscosbcccbccc=+=+222222&alpha&alpha&alpha其中c為黃經，b為赤經，a為赤緯，&alpha為黃赤交角。
由于當時用于天文計算的中國傳統代數學方法并不遜色，并且會圓術公式誤差很大，采用圓周率&pi=3入算，誤差也很大，所得結果并不精确，所以王恂、郭守敬雖然開辟了通向球面三角學的途徑，但他們所引入的新方法并沒有能夠發展起來。
一直到十七世紀進行曆法改革時由《崇祯曆書》等引進西方數學之後，球面三角法才在天文計算等方面得到了廣泛的應用。
第五節 中國數碼和零的符号 中國古代演算用算籌，記錄數量用一、二、三、四、..十、百、千、萬等漢字，這是比較簡明方便的。
因此，雖然商周甲骨、金文和秦漢簡牍中曾出現一些按照算籌形象描繪下來的記數符号，但在很長時期内并未形成一套完整的用于記數和演算的數碼。
由于社會和數學本身發展的需要，唐代已開始用數碼記數，宋元時期的數碼已較完善，而且其使用也更加普遍。
現存最早記有數碼的著作是唐代敦示36、108、126等，其數碼完全摹仿算籌擺放形式，用空位表示零，記數法也與籌算記數原則相同，但筆劃長短不等，不如算籌記數那樣整齊。
北宋時尚未出現“0”号。
在十三世紀，中國數學有了高度的發展，有些數學方法如高次方程數值解法等的演算程序比較複雜，僅僅依靠文字說明難以講清楚，因此一些數學家便把解題過程的算草詳細記錄下來并寫入其數學專著，于是出現了較完整的中國數碼。
如南宋秦九韶《數書九章》和楊輝數學著作所用的數碼是：籌記數法中一條橫線或豎線代表五。
金元時期李冶《測圓海鏡》和《益古演段》、朱世傑《四元玉鑒》和《算學啟蒙》在論述天元術時所用的數碼，則完全采用了算籌記數中九個基數的寫法，但筆畫長短不齊，并添設了一個零号“○”：零的符号在一套完整的數碼中是必不可少的，并且在數學中有重要的意義。
有人認為中國數碼中的零号是外國傳來的，其實并非如此。
印度數碼和阿拉伯數碼早年曾傳入我國，如唐代天文學家瞿昙悉達在《開元占經》中曾介紹印度數碼，其中用一個圓點作為零号表示空位，元代安西王府所藏鐵制縱橫圖，其數字均為阿拉伯數碼，其中也有“0”号，但這些數碼當時并未為我國學者所采用。
中國數碼中的零号是宋元時期我國數學家和天文學家自己創造的。
新舊《唐書》、《宋史》等所載各家曆法曾用“空”字表示天文數據的空位。
為了避免誤解，宋代學者又仿照古代用方框“□”表示脫落文字的習慣，用“□”來表示數據中的空位，如南宋蔡沈《律呂新書》将林鐘律管的律數118098記作“林鐘十一萬八千□□九十八”，将南呂律管的律數104976記作“南呂十□萬四千九百七十六”等。
後來，為了書寫方便，方框“□”順筆寫成了圓圈“○”，于是形成了中國數碼中的零碼。
現在已知最早使用“○”表示空位的是金《大明曆》，其中有“三百○九”、“五百○五”、“二千○七”等等，但《大明曆》使用更多的仍是“空”字。
直到宋
此後不久，牛頓得到了現在通稱牛頓插值公式的一般結果。
牛頓插值公式在現代數學和天文學計算中仍然起着重要的作用。
朱世傑所發現的公式與牛頓插值公式在形式上和實質上都是完全一緻的，而後者要晚三百多年。
招差術的創立、發展和應用是中國數學史和天文學史上具有世界意義的重大成就。
第四節 弧矢割圓術和球面三角法 古希臘、印度和阿拉伯國家的數學家和天文學家從很早的時候起就創用了球面三角法，用來解決天文學方面的計算問題。
隋唐之際，印度天文學開始傳入我國，如《開元占經》所收《九執曆》中曾介紹過印度的正弦表，但球面三角法基本上沒有引起中國數學家和天文學家的重視。
沈括在《夢溪筆談》中首創“會圓術”，把割圓術方法應用于推算弧、弦、矢的關系，提出了一個由弓形中弦和矢的長度來求弧長的近似公式。
他的結果相當于公式：，其中為弧長，為相s=c+2vsc2d應弦長，v為相應矢長，d為圓的直徑。
王恂、郭守敬在《授時曆》中，根據相似三角形相應各線段成比例的關系，并反複應用沈括“會圓術”，創立了一種推算“赤道積度”和“赤道内外度”（即已知太陽的黃經度數求其赤經度數和赤緯度數）的新算法。
這種新算法常被稱為“弧矢割圓術”，它與球面三角學中求解球面直角三角形的方法是類同的。
在推算過程中，他們還得到了一些新的關系式。
這些關系式相當于下列的球面三角公式：sin&alpha=sincsin&alphacoscossincoscossinsincossincoscosbcccbccc=+=+222222&alpha&alpha&alpha其中c為黃經，b為赤經，a為赤緯，&alpha為黃赤交角。
由于當時用于天文計算的中國傳統代數學方法并不遜色，并且會圓術公式誤差很大，采用圓周率&pi=3入算，誤差也很大，所得結果并不精确，所以王恂、郭守敬雖然開辟了通向球面三角學的途徑，但他們所引入的新方法并沒有能夠發展起來。
一直到十七世紀進行曆法改革時由《崇祯曆書》等引進西方數學之後，球面三角法才在天文計算等方面得到了廣泛的應用。
第五節 中國數碼和零的符号 中國古代演算用算籌，記錄數量用一、二、三、四、..十、百、千、萬等漢字，這是比較簡明方便的。
因此，雖然商周甲骨、金文和秦漢簡牍中曾出現一些按照算籌形象描繪下來的記數符号，但在很長時期内并未形成一套完整的用于記數和演算的數碼。
由于社會和數學本身發展的需要，唐代已開始用數碼記數，宋元時期的數碼已較完善，而且其使用也更加普遍。
現存最早記有數碼的著作是唐代敦示36、108、126等，其數碼完全摹仿算籌擺放形式，用空位表示零，記數法也與籌算記數原則相同，但筆劃長短不等，不如算籌記數那樣整齊。
北宋時尚未出現“0”号。
在十三世紀，中國數學有了高度的發展，有些數學方法如高次方程數值解法等的演算程序比較複雜，僅僅依靠文字說明難以講清楚，因此一些數學家便把解題過程的算草詳細記錄下來并寫入其數學專著，于是出現了較完整的中國數碼。
如南宋秦九韶《數書九章》和楊輝數學著作所用的數碼是：籌記數法中一條橫線或豎線代表五。
金元時期李冶《測圓海鏡》和《益古演段》、朱世傑《四元玉鑒》和《算學啟蒙》在論述天元術時所用的數碼，則完全采用了算籌記數中九個基數的寫法，但筆畫長短不齊，并添設了一個零号“○”：零的符号在一套完整的數碼中是必不可少的，并且在數學中有重要的意義。
有人認為中國數碼中的零号是外國傳來的，其實并非如此。
印度數碼和阿拉伯數碼早年曾傳入我國，如唐代天文學家瞿昙悉達在《開元占經》中曾介紹印度數碼，其中用一個圓點作為零号表示空位，元代安西王府所藏鐵制縱橫圖，其數字均為阿拉伯數碼，其中也有“0”号，但這些數碼當時并未為我國學者所采用。
中國數碼中的零号是宋元時期我國數學家和天文學家自己創造的。
新舊《唐書》、《宋史》等所載各家曆法曾用“空”字表示天文數據的空位。
為了避免誤解，宋代學者又仿照古代用方框“□”表示脫落文字的習慣，用“□”來表示數據中的空位，如南宋蔡沈《律呂新書》将林鐘律管的律數118098記作“林鐘十一萬八千□□九十八”，将南呂律管的律數104976記作“南呂十□萬四千九百七十六”等。
後來，為了書寫方便，方框“□”順筆寫成了圓圈“○”，于是形成了中國數碼中的零碼。
現在已知最早使用“○”表示空位的是金《大明曆》，其中有“三百○九”、“五百○五”、“二千○七”等等，但《大明曆》使用更多的仍是“空”字。
直到宋