第二十二章 數學
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立和求解方法。
朱世傑在《四元玉鑒》中用天、地、人、物代表四個未知數，然後根據已知條件推導出四元（或者二元、三元）高次方程組。
這個方程組的表示方法是将其各項系數擺成一個方陣，其中常數項右側仍記一“太”字，四個未知數一次項的系數分置于常數項的上下左右，高次項系數則按幂次逐一向外擴展，各行列交叉處分别表示相應未知數各次幂的乘積。
解這個用方陣表示的方程組時，要運用消元法，經過方程變換（實際上也就是矩陣變換），逐步化成一個一元高次方程，再用增乘開方法求出正根。
在歐洲，直到十八世紀法國數學家貝佐（é）才對多元高次方程組的消元法作了系統的研究。
另一方面，從E'.Bzout從四元術的表示法來看，這種方陣形式不僅運算繁難，而且難以表示含有四個以上未知數的方程組，帶有很大的局限性。
因此，中國代數學在這一時期确實發展到了頂峰，如果要再前進一步，那就需要另辟蹊徑，突破新的難關了。
後來，清代的代數學的進展是通過汪萊、李銳等對于方程理論的深入研究和引進西方數學這兩條途徑來實現的。
第二節 垛積術 對于一般等差數列和等比數列，我國古代很早就有了初步的研究成果。
北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創“隙積術”，開始研究某種物品（如酒壇、圓球、棋子等）按一定規律堆積起來求其總數問題，即高階等差級數求和問題，并推算出長方台垛公式。
南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，豐富和發展了沈括的隙積術成果，提出了一些新的垛積公式。
沈括、楊輝等所讨論的級數與一般等差級數不同，前後兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差相等。
對這類高階等差級數的研究，在楊輝之後一般稱為“垛積術”。
朱世傑對于垛積術作了進一步的研究，并得到一系列重要的高階等差級數求和公式，這是元代數學的又一項突出成就。
例如，朱世傑在《四元玉鑒》中提出了著名的三角垛公式：112111112prrrrprnpnnnnp!()()()()!()()()+++-=.=++++LL其中p=1，2，3，4.。
在這一串三角垛公式中，後式恰好是把前式結果作為一般項的新級數的求和公式。
又如岚峰形垛公式：11211121211prrrrprrnpnnnnppn!()()()()!()()()[()]+++-=.=++++++LL·也是很精彩有趣的。
他還研究了更複雜的垛積公式及其在各種問題中的實際應用。
總結和歸納出這些公式并不是一件輕而易舉的事情，是有相當難度的。
朱世傑究竟如何得到這些公式，由于史料缺載，至今尚不清楚。
朱世傑《四元玉鑒》所載“古法開七乘方圖”，比楊輝所引賈憲“開方作法本源圖”（賈憲三角）多出了平行于兩斜邊的許多斜線，有些學者推測，從這些斜線相連的數字關系可以得出一些有意義的結論，其中包括推導出某些垛積公式①。
①杜石然：《朱世傑研究》，載《宋元數學史論文集》，科學出版社1966年版。
第三節 招差術 招差術即高次内插法，是現代計算數學中一種常用的插值方法。
在中國古代天文學中早已應用了一次内插法，隋唐時期又創立了等間距和不等間距二次内插法，用以計算日月五星的視行度數。
但是太陽等天體的視運動并不是時間的二次函數，因此僅用二次内插公式推算的結果仍不夠精确。
唐代天文學家一行已經注意到這個問題，并列出一個包括三差的表格。
由于當時數學水平所限，一行還沒有能夠給出正确的三次差内插公式。
元代天文學家和數學家王恂、郭守敬在所編制的《授時曆》中，為精确推算日月五星運行的速度和位置，根據“平、定、立”三差，創用三次差内插公式，這在數學上是重要的創新，同時也把天文曆法的計算工作推進了一大步。
朱世傑對于這類插值問題作了更深入的研究。
他在《四元玉鑒》中成功地把高階等差級數方面的研究成果運用于内插法，得到了一般的插值公式：fnnnnnnn()!()!()(),=+=+--+△△△121131223L并且明确指出公式中各項系數恰好是p=1，2，3，.時的三角垛求和公式。
上述插值公式，在中國數學史上一般稱為“招差術”，其用途并不僅僅限于内插法。
招差術與垛積術是密切相關的，這兩者可以互相推演。
朱世傑掌握了三角垛公式，因而易于推導出一般的内插公式。
相反地，利用招差術，也可解決高階等差級數的求和問題。
因此，朱世傑的垛積招差術，将宋元數學家在這方面的研究成果推進到了更加完善的地步。
在歐洲，對招差術首先加以讨論的是英國數學家J.格雷戈裡（J.Gregory，1670）
朱世傑在《四元玉鑒》中用天、地、人、物代表四個未知數，然後根據已知條件推導出四元（或者二元、三元）高次方程組。
這個方程組的表示方法是将其各項系數擺成一個方陣，其中常數項右側仍記一“太”字，四個未知數一次項的系數分置于常數項的上下左右，高次項系數則按幂次逐一向外擴展，各行列交叉處分别表示相應未知數各次幂的乘積。
解這個用方陣表示的方程組時，要運用消元法，經過方程變換（實際上也就是矩陣變換），逐步化成一個一元高次方程，再用增乘開方法求出正根。
在歐洲，直到十八世紀法國數學家貝佐（é）才對多元高次方程組的消元法作了系統的研究。
另一方面，從E'.Bzout從四元術的表示法來看，這種方陣形式不僅運算繁難，而且難以表示含有四個以上未知數的方程組，帶有很大的局限性。
因此，中國代數學在這一時期确實發展到了頂峰，如果要再前進一步，那就需要另辟蹊徑，突破新的難關了。
後來，清代的代數學的進展是通過汪萊、李銳等對于方程理論的深入研究和引進西方數學這兩條途徑來實現的。
第二節 垛積術 對于一般等差數列和等比數列，我國古代很早就有了初步的研究成果。
北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創“隙積術”，開始研究某種物品（如酒壇、圓球、棋子等）按一定規律堆積起來求其總數問題，即高階等差級數求和問題，并推算出長方台垛公式。
南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，豐富和發展了沈括的隙積術成果，提出了一些新的垛積公式。
沈括、楊輝等所讨論的級數與一般等差級數不同，前後兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差相等。
對這類高階等差級數的研究，在楊輝之後一般稱為“垛積術”。
朱世傑對于垛積術作了進一步的研究，并得到一系列重要的高階等差級數求和公式，這是元代數學的又一項突出成就。
例如，朱世傑在《四元玉鑒》中提出了著名的三角垛公式：112111112prrrrprnpnnnnp!()()()()!()()()+++-=.=++++LL其中p=1，2，3，4.。
在這一串三角垛公式中，後式恰好是把前式結果作為一般項的新級數的求和公式。
又如岚峰形垛公式：11211121211prrrrprrnpnnnnppn!()()()()!()()()[()]+++-=.=++++++LL·也是很精彩有趣的。
他還研究了更複雜的垛積公式及其在各種問題中的實際應用。
總結和歸納出這些公式并不是一件輕而易舉的事情，是有相當難度的。
朱世傑究竟如何得到這些公式，由于史料缺載，至今尚不清楚。
朱世傑《四元玉鑒》所載“古法開七乘方圖”，比楊輝所引賈憲“開方作法本源圖”（賈憲三角）多出了平行于兩斜邊的許多斜線，有些學者推測，從這些斜線相連的數字關系可以得出一些有意義的結論，其中包括推導出某些垛積公式①。
①杜石然：《朱世傑研究》，載《宋元數學史論文集》，科學出版社1966年版。
第三節 招差術 招差術即高次内插法，是現代計算數學中一種常用的插值方法。
在中國古代天文學中早已應用了一次内插法，隋唐時期又創立了等間距和不等間距二次内插法，用以計算日月五星的視行度數。
但是太陽等天體的視運動并不是時間的二次函數，因此僅用二次内插公式推算的結果仍不夠精确。
唐代天文學家一行已經注意到這個問題，并列出一個包括三差的表格。
由于當時數學水平所限，一行還沒有能夠給出正确的三次差内插公式。
元代天文學家和數學家王恂、郭守敬在所編制的《授時曆》中，為精确推算日月五星運行的速度和位置，根據“平、定、立”三差，創用三次差内插公式，這在數學上是重要的創新，同時也把天文曆法的計算工作推進了一大步。
朱世傑對于這類插值問題作了更深入的研究。
他在《四元玉鑒》中成功地把高階等差級數方面的研究成果運用于内插法，得到了一般的插值公式：fnnnnnnn()!()!()(),=+=+--+△△△121131223L并且明确指出公式中各項系數恰好是p=1，2，3，.時的三角垛求和公式。
上述插值公式，在中國數學史上一般稱為“招差術”，其用途并不僅僅限于内插法。
招差術與垛積術是密切相關的，這兩者可以互相推演。
朱世傑掌握了三角垛公式，因而易于推導出一般的内插公式。
相反地，利用招差術，也可解決高階等差級數的求和問題。
因此，朱世傑的垛積招差術，将宋元數學家在這方面的研究成果推進到了更加完善的地步。
在歐洲，對招差術首先加以讨論的是英國數學家J.格雷戈裡（J.Gregory，1670）