九、邏輯演算和算術演算為什麼可應用于實在(1)
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母&rdquo，&ldquog&rdquo代表&ldquo羅伯特的祖母&rdquo。
）當然，這條規則是不正确的，因為在直言命題的語言中我們可以随意舉出許多反例。
因此，一種語言即使豐富得足以描述所有我們希望描述的事實，可能還是不允許表述為适用于我們能可靠地從真前提過渡到真結論的一切場合的必需的推理規則。
Ⅷ 可以用上述這些考慮把我們的分析擴充到邏輯演算和算術演算的适用性問題；因為我們切莫忘記，到現在為止（随着賴爾教授）我們隻是讨論了推理規則的适用性。
我認為，構造所謂的&ldquo邏輯演算&rdquo主要是由于希望建立起一些語言，對于這些語言來說，所有我們直覺地知道怎樣進行的推理都可加以&ldquo形式化&rdquo，就是說，都可表明是按照很少幾條明顯的正确的推理規則進行的。
（這些作為程序規則的推理規則都述及我們正在探讨的語言或演算。
所以，這些規則不是用所研讨的演算來表示，而是用這演算的所謂元語言，即我們讨論這演算時所用的語言來表示。
）例如，三段論邏輯可以說是企圖構造這種語言，許多支持它的人現在仍然相信，它是成功的，所有真正正确的推理都在它們的格和式中得到形式化。
（我們已經看到，實際情況并非如此。
）其他系統也是抱着類似目标建立起來的（例如《數學原理》），并在實際上把不僅通常議論遵從而且數學論證也遵從的正确推理規則都成功地加以形式化。
人們很想構造一種語言或演算，以便我們能把所有正确的推理規則（部分地借助于演算本身的邏輯公式，部分地借助于從屬于這演算的少數幾條推理規則）形式化的任務，說成是顯而易見的基本的邏輯問題。
有很充分的理由相信，這個問題是無法解決的，至少在為了把相當簡單的直覺推理形式化，我們不承認性質判然不同的程序（例如從無限類的前提出發進行的推理）時是如此。
事情看來是這樣的：盡管對于任何給定的正确的直覺推理能夠構造某種得以把這種推理形式化的語言，但是，構造一種得以把所有正确的直覺推理都形式化的語言，卻是不可能的。
據我所知，這種令人感興趣的情境，最早是塔爾斯基加以讨論的，他援引了哥德爾的研究成果。
這種情境表明，每種演算的适用性（在它适合作為一種能夠表述每個正确的直覺推理的語言的意義上）總要在某個階段上喪失，就此而言，它和我們的問題是有關的。
我現在轉到适用性問題上來，但這次僅限于邏輯演算，或者更确切地說，限于邏輯演算的被斷定的公式，而不是推理規則。
為什麼這些演算&mdash&mdash它們可能包括算術演算&mdash&mdash适用于實在呢？ 我試圖用三句陳述的形式來回答這個問題。
（1）這些演算通常是語義的系統，(5)就是說，旨在用于描述某些事實的語言。
如果實際情況證明了它們是用于這種目的，那麼，我們不必驚訝。
（2）它們可能不是旨在用于這個目的；這一點我們可以從以下事實看出：某些演算&mdash&mdash例如，自然數或實數的算術演算&mdash&mdash有助于描述某些種類事實，但無助于描述其他種類事實。
（3）就一種演算可運用于實在而言，它失去了邏輯演算的性質，而成為一種描述性理論，這種理論可經驗地加以反駁；而就它被看作不可反駁的，即看作邏輯上真的公式系統，而不是一種描述性科學理論而言，它不适用于實在。
關于（1）的評論可見于第Ⅸ節。
這一節隻簡短讨論（2）和（3）。
至于（2），我們可以注意到，自然數的演算用來計算台球、便士或鳄魚，而實數的演算為度量像幾何距離或速度這樣的連續量提供一種構架。
（在布勞威爾的實數理論中這一點特别清楚。
）我們不應該說，在我們的動物園中，有例如3.6條或&pi條鳄魚。
為了計算鳄魚，我們利用了自然數的演算。
但為了确定我們動物園的緯度，或它同格林尼治的距離，我們可能必須利用&pi。
因此，認為任何算術演算都可用于任何實在的信念（這種信念似乎是我們專題讨論會議題的基礎）看來是站不住腳的。
至于（3），如果我們考慮像&ldquo2＋2＝4&rdquo這樣的命題，那麼，就可在若幹不同的意義上運用于例如蘋果。
這裡隻讨論兩種意義的運用。
在第一種意義上，陳述&ldquo兩隻蘋果加兩隻蘋果等于四隻蘋果&rdquo被認為是不可反駁的、邏輯上真的。
但是，它并不描述任何有關蘋果的事實&mdash&mdash一如&ldquo所有蘋果都是蘋果&rdquo這一陳述。
像這後一個陳述一樣，它也是一個邏輯自明之理；惟一的區别是，它不是建基于符号&ldquo所有&rdquo和&ldquo是&rdquo的定義之上，而是建基于符号&ldquo2&rdquo、&ldquo4&rdquo、&ldquo＋&rdquo和&ldquo＝&rdquo的确定的定義之上。
（這些定義可以是明顯的也可以是隐含的。
）在這種情況下，我們可以說，這種運用不是實在的而隻是視在的；我們在這裡并未描述任何實在，而隻是斷定，描述實在的某種方式同另一種方式等價。
更重要的是第二種意義上的運用。
在這種意義上，&ldquo2＋2＝4&rdquo可認為意味着，如果某人把兩隻蘋果放在某個籃子裡，然後再放入兩隻，并且沒有從這籃子裡取出任何蘋果，那麼，這籃子裡就有四隻蘋果。
按這樣的解釋，陳述&ldquo2＋2＝4&rdquo幫助我們計算，即描述某些物理事實，而符号&ldquo＋&rdquo代表一種物理操作&mdash&mdash代表物理上把某些東西加在另一些東西之上。
（我們在這裡看到，描述性地解釋一個顯然邏輯的符号有時是可能的。
(6)）但是，在這種解釋中，陳述&ldquo2＋2＝4&rdquo成為一種物理理論，而不是一種邏輯理論；結果，我們無法肯定它是否保持普遍地真。
事實上，它并不保持普遍地真。
它可能對蘋果來說是成立的，但它對兔子就很難成立。
如果你放2＋2隻兔子在一個籃子裡，你可能不久發現這籃子裡有7隻或8隻兔子。
它也不适用于像水滴這樣的事物。
如果你在一個幹燥的燒杯裡滴入2＋2滴水，你絕不可能從中取出四滴水來。
換句話說，如果你對&ldquo2＋2＝4&rdquo不适用的一個世界會是怎樣的世界感到疑惑，那麼，你的這種好奇心是很容易滿足的。
一對不同性别的兔子或幾滴水可以作為這樣一個世界的模型。
如果你回答說，這些例子不那麼适當，因為這些兔子和水滴發生了某種變化，還因為方程&ldquo2＋2＝4&rdquo隻适用于那些沒有發生什麼變化的對象，那麼，我的回答是，如果你用這種方式解釋的話，那麼，它對&ldquo實在&rdquo并不成立（因為在&ldquo實在&rdquo中，始終發生着變化），而隻對在其中什麼變化也不發生的、由獨特對象組成的抽象世界成立。
顯然，就我們的實在世界和這樣的抽象世界相似而言，例如就我們的蘋果不腐爛或僅僅很慢地腐爛而言，或就兔子或鳄魚碰巧不生育而言，換句話說，就物理條件和純邏輯的或算術的加法運算相似而言，算術當然是适用的。
但是，這是很淺薄的。
關于測量的相加也可作類似的陳述。
有任何兩根直杆，如果并行放置長度各為a，而首尾相接地放置，則總長度将是2a。
這決不是邏輯地必然的。
我們可以很容易想象一個世界，在這個世界裡直杆的情況按照透視的規則變化，
）當然，這條規則是不正确的，因為在直言命題的語言中我們可以随意舉出許多反例。
因此，一種語言即使豐富得足以描述所有我們希望描述的事實，可能還是不允許表述為适用于我們能可靠地從真前提過渡到真結論的一切場合的必需的推理規則。
Ⅷ 可以用上述這些考慮把我們的分析擴充到邏輯演算和算術演算的适用性問題；因為我們切莫忘記，到現在為止（随着賴爾教授）我們隻是讨論了推理規則的适用性。
我認為，構造所謂的&ldquo邏輯演算&rdquo主要是由于希望建立起一些語言，對于這些語言來說，所有我們直覺地知道怎樣進行的推理都可加以&ldquo形式化&rdquo，就是說，都可表明是按照很少幾條明顯的正确的推理規則進行的。
（這些作為程序規則的推理規則都述及我們正在探讨的語言或演算。
所以，這些規則不是用所研讨的演算來表示，而是用這演算的所謂元語言，即我們讨論這演算時所用的語言來表示。
）例如，三段論邏輯可以說是企圖構造這種語言，許多支持它的人現在仍然相信，它是成功的，所有真正正确的推理都在它們的格和式中得到形式化。
（我們已經看到，實際情況并非如此。
）其他系統也是抱着類似目标建立起來的（例如《數學原理》），并在實際上把不僅通常議論遵從而且數學論證也遵從的正确推理規則都成功地加以形式化。
人們很想構造一種語言或演算，以便我們能把所有正确的推理規則（部分地借助于演算本身的邏輯公式，部分地借助于從屬于這演算的少數幾條推理規則）形式化的任務，說成是顯而易見的基本的邏輯問題。
有很充分的理由相信，這個問題是無法解決的，至少在為了把相當簡單的直覺推理形式化，我們不承認性質判然不同的程序（例如從無限類的前提出發進行的推理）時是如此。
事情看來是這樣的：盡管對于任何給定的正确的直覺推理能夠構造某種得以把這種推理形式化的語言，但是，構造一種得以把所有正确的直覺推理都形式化的語言，卻是不可能的。
據我所知，這種令人感興趣的情境，最早是塔爾斯基加以讨論的，他援引了哥德爾的研究成果。
這種情境表明，每種演算的适用性（在它适合作為一種能夠表述每個正确的直覺推理的語言的意義上）總要在某個階段上喪失，就此而言，它和我們的問題是有關的。
我現在轉到适用性問題上來，但這次僅限于邏輯演算，或者更确切地說，限于邏輯演算的被斷定的公式，而不是推理規則。
為什麼這些演算&mdash&mdash它們可能包括算術演算&mdash&mdash适用于實在呢？ 我試圖用三句陳述的形式來回答這個問題。
（1）這些演算通常是語義的系統，(5)就是說，旨在用于描述某些事實的語言。
如果實際情況證明了它們是用于這種目的，那麼，我們不必驚訝。
（2）它們可能不是旨在用于這個目的；這一點我們可以從以下事實看出：某些演算&mdash&mdash例如，自然數或實數的算術演算&mdash&mdash有助于描述某些種類事實，但無助于描述其他種類事實。
（3）就一種演算可運用于實在而言，它失去了邏輯演算的性質，而成為一種描述性理論，這種理論可經驗地加以反駁；而就它被看作不可反駁的，即看作邏輯上真的公式系統，而不是一種描述性科學理論而言，它不适用于實在。
關于（1）的評論可見于第Ⅸ節。
這一節隻簡短讨論（2）和（3）。
至于（2），我們可以注意到，自然數的演算用來計算台球、便士或鳄魚，而實數的演算為度量像幾何距離或速度這樣的連續量提供一種構架。
（在布勞威爾的實數理論中這一點特别清楚。
）我們不應該說，在我們的動物園中，有例如3.6條或&pi條鳄魚。
為了計算鳄魚，我們利用了自然數的演算。
但為了确定我們動物園的緯度，或它同格林尼治的距離，我們可能必須利用&pi。
因此，認為任何算術演算都可用于任何實在的信念（這種信念似乎是我們專題讨論會議題的基礎）看來是站不住腳的。
至于（3），如果我們考慮像&ldquo2＋2＝4&rdquo這樣的命題，那麼，就可在若幹不同的意義上運用于例如蘋果。
這裡隻讨論兩種意義的運用。
在第一種意義上，陳述&ldquo兩隻蘋果加兩隻蘋果等于四隻蘋果&rdquo被認為是不可反駁的、邏輯上真的。
但是，它并不描述任何有關蘋果的事實&mdash&mdash一如&ldquo所有蘋果都是蘋果&rdquo這一陳述。
像這後一個陳述一樣，它也是一個邏輯自明之理；惟一的區别是，它不是建基于符号&ldquo所有&rdquo和&ldquo是&rdquo的定義之上，而是建基于符号&ldquo2&rdquo、&ldquo4&rdquo、&ldquo＋&rdquo和&ldquo＝&rdquo的确定的定義之上。
（這些定義可以是明顯的也可以是隐含的。
）在這種情況下，我們可以說，這種運用不是實在的而隻是視在的；我們在這裡并未描述任何實在，而隻是斷定，描述實在的某種方式同另一種方式等價。
更重要的是第二種意義上的運用。
在這種意義上，&ldquo2＋2＝4&rdquo可認為意味着，如果某人把兩隻蘋果放在某個籃子裡，然後再放入兩隻，并且沒有從這籃子裡取出任何蘋果，那麼，這籃子裡就有四隻蘋果。
按這樣的解釋，陳述&ldquo2＋2＝4&rdquo幫助我們計算，即描述某些物理事實，而符号&ldquo＋&rdquo代表一種物理操作&mdash&mdash代表物理上把某些東西加在另一些東西之上。
（我們在這裡看到，描述性地解釋一個顯然邏輯的符号有時是可能的。
(6)）但是，在這種解釋中，陳述&ldquo2＋2＝4&rdquo成為一種物理理論，而不是一種邏輯理論；結果，我們無法肯定它是否保持普遍地真。
事實上，它并不保持普遍地真。
它可能對蘋果來說是成立的，但它對兔子就很難成立。
如果你放2＋2隻兔子在一個籃子裡，你可能不久發現這籃子裡有7隻或8隻兔子。
它也不适用于像水滴這樣的事物。
如果你在一個幹燥的燒杯裡滴入2＋2滴水，你絕不可能從中取出四滴水來。
換句話說，如果你對&ldquo2＋2＝4&rdquo不适用的一個世界會是怎樣的世界感到疑惑，那麼，你的這種好奇心是很容易滿足的。
一對不同性别的兔子或幾滴水可以作為這樣一個世界的模型。
如果你回答說，這些例子不那麼适當，因為這些兔子和水滴發生了某種變化，還因為方程&ldquo2＋2＝4&rdquo隻适用于那些沒有發生什麼變化的對象，那麼，我的回答是，如果你用這種方式解釋的話，那麼，它對&ldquo實在&rdquo并不成立（因為在&ldquo實在&rdquo中，始終發生着變化），而隻對在其中什麼變化也不發生的、由獨特對象組成的抽象世界成立。
顯然，就我們的實在世界和這樣的抽象世界相似而言，例如就我們的蘋果不腐爛或僅僅很慢地腐爛而言，或就兔子或鳄魚碰巧不生育而言，換句話說，就物理條件和純邏輯的或算術的加法運算相似而言，算術當然是适用的。
但是，這是很淺薄的。
關于測量的相加也可作類似的陳述。
有任何兩根直杆，如果并行放置長度各為a，而首尾相接地放置，則總長度将是2a。
這決不是邏輯地必然的。
我們可以很容易想象一個世界，在這個世界裡直杆的情況按照透視的規則變化，