二、哲學問題的本質及其科學根源(1)
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克利特的理論也承認大塊原子，但他的原子絕大多數都小得看不見。
(26) 比較《曆史決定論的貧困》第3節。
(27) 由柏拉圖的《蒂邁歐篇》，55所引起。
那裡用相應固體的幾何性質（因而還用它們的實體形式）來解釋元素的潛在傾向。
(28) &ldquo本質主義的&rdquo（參見第94頁注②）實體理論的毫無成果是同它的拟人主義相聯系的；因為實體（如洛克所認為的那樣）是從一個自我同一的然而變化着、展開着的自我的經驗獲取其貌似的可能性。
但是，盡管我們可能對亞裡士多德的實體從物理學中消失這一事實表示歡迎，但如海克教授所說，拟人化地思考人時，是一點也不錯的；也沒有什麼哲學的或先驗的理由，要求實體從心理學中消失。
(29) 參見德谟克利特，第爾斯，殘篇11（參見阿那克薩哥拉，第爾斯，殘篇21；亦見殘篇7）。
(30) 參見塞克斯都·恩披裡柯：《反對科學家》（貝克爾），vii，140，第221頁，23B。
(31) 哲學相對主義意義上的&ldquo相對主義的&rdquo，例如，普羅塔哥拉的&ldquo人的測度&rdquo的學說。
不幸的是，現在仍得強調一下，愛因斯坦的理論同這種哲學相對主義毫無共同之處。
(32) &ldquo實證主義&rdquo是培根的傾向；也是早期皇家學會的理論（但所幸不是實踐）傾向；還是當代的馬赫（他反對原子論）以及感覺材料理論家的傾向。
(33) 參見第爾斯，殘篇155，它必須按照阿基米德（海伯格編），Ⅱ2，第428和429頁。
參見S·盧裡安的極為重要的論文《古代原子論者的無窮小法》（DieInfinitesimalmethodederantikenAtomisten），《數學史資料和論文》（Quellen&StudienzurGesch.d.Math.Abt.B.）1932年第2期，第142頁。
(34) 參見A·馬爾希：《自然和認識》（NaturundErkenntnis），維也納1948年版第193和194頁。
(35) 參見S·盧裡安上引著作，尤見第148頁以後、172頁以後。
A·T·尼科爾斯小姐在《看不見的線》（IndivisibleLines）[《經典季刊》（Class.Quarterly），xxx，1936年，第120和121頁]中證明了，有兩段引文，一段是普羅塔克的，另一段是辛普裡休斯的，表明為什麼德谟克利特&ldquo無法相信看不見的線&rdquo；然而，她沒有談到盧裡安1932年的反對意見。
我覺得後者遠為令人信服，尤其如果我們記得德谟克利特曾試圖回答芝諾（見下一個注）。
但是，不管德谟克利特關于看不見的或原子的距離的觀點究竟怎樣，柏拉圖看來是認為，德谟克利特的原子論需要按照無理數的發現加以修正。
然而，希思[《希臘數學》（GreekMathematics）第1卷，1921年，第181頁，提到辛普裡休斯和亞裡士多德]也認為，德谟克利特沒有說過存在看不見的線。
(36) 這個針鋒相對的回答保留在亞裡士多德的《論發生和腐壞》（OnGenerationandCorruption）之中，第14頁以下。
I·哈默·詹森在1910年最初認為這段非常重要的話是德谟克利特的，盧裡安仔細讨論過這段話，他說（上引著作，135）它是巴門尼德和芝諾的：&ldquo德谟克利特借用了他們的演繹論證，但他得出相反的結論。
&rdquo (37) 參見G·H·哈迪和E·M·賴特：《數論導論》（IntroductiontotheTheoryofNumbers）（1938年，第39、42頁），其中有柏拉圖的《泰阿泰德篇》記載的關于西奧多勒斯證明的一段十分有趣的曆史論述。
亦可見A·瓦塞施泰因的論文《〈泰阿泰德篇〉與數論曆史》（TheaetetusandtheHistoryoftheTheoryofNumbers），《經典季刊》1958年，第8期，第165&mdash179頁。
這是我所知道的關于這個問題的最出色的讨論。
(38) 而不是我在《開放社會》（第2版）第6章注⑨中所譯的《論無理的線和原子》（OnIrrationalLinesandAtoms）。
我認為，為了表達這個題目（考慮到下一個注中所提到的柏拉圖的話）的可能含義，最好是譯成《論古怪的線和原子》。
參見H·沃格特：《數學文獻》（Bibl.Math.），1910年第10期（希思反對他，《希臘數學》第156和157頁，但我認為希思并不十分成功）；以及S·盧裡安：上頁注①引著作第168頁以後令人信服地提出，（亞裡士多德的）《論不可分線》（Deinsec.lin.）（968b17）和普羅塔克的《論普通概念》（Decomm.notit.38，2）包含德谟克利特工作的線索。
按照這兩個資料，德谟克利特的論證是這樣的。
如果線無限可分，那麼，它們乃由無限多的終極單元所組成，因此全都像&infin∶&infin地相關，這就是說，它們全都是&ldquo不可比的&rdquo（沒有比例）。
實際上，如果把線看成點的類，那麼按照現代的觀點，一條線的點的基&ldquo數&rdquo（勢）對于一切線都相等，不管這些線是有限的還是無限的。
這個事實被說成是&ldquo悖論&rdquo（例如波爾察諾），而德谟克利特則很可能說它是&ldquo古怪的&rdquo。
可以指出，按照布勞威爾的意見，甚至一個連續統的勒貝格測度的古典理論也導緻基本上相同的結果；因為布勞威爾斷言，所有的古典連續統都有零的測度，因此比率的不存在在這裡表達為0∶0。
德谟克利特的結果（和他的Amerēs理論）看來是不可能的，隻要幾何是基于畢達哥拉斯的算術方法，即點的計數。
(39) 這将符合于引自《開放社會》的那個注中所指出的事實：&ldquoalogos&rdquo似乎隻是很久以後才用來表示&ldquo無理的&rdquo，提到德谟克利特的書名的柏拉圖，在那裡（《理想國》534d）是在&ldquo古怪的&rdquo意義上使用&ldquoalogos&rdquo這個詞的；就我所知，柏拉圖從未把它用作&ldquoarrhētos&rdquo的同義詞。
(40) G·弗裡德萊因編：《普羅克勒斯對歐幾裡得〈原本〉第1編的評述》（ProcliDiadochiinPrimumEuclidisElementorumLibrumCommentarii），萊比錫，1873年，第487頁，第7&mdash21頁。
(41) 普羅克勒斯的上引著作第428頁，第21&mdash429頁，第8頁。
(42) 這說的是一個名叫希帕索斯的人，這個人的情況不太清楚；據說他死在海上（參見第爾斯，4）。
亦見本書第117頁注①中提到的A·瓦塞施泰因的文章。
(43) 見S·盧裡安，前面第116頁注①所引著作，尤其是論述普羅塔克的部分。
(44) 《後分析篇》76b9；《形而上學》983a20，1061b1。
亦見《厄庇諾米斯篇》（Epinomis）990d。
(45) 具體地說，柏拉圖接過了德谟克利特的渦旋理論（第爾斯，殘篇167，164；參見阿那克薩哥拉，第爾斯，9和12，13；亦見下面兩個腳注）和他的我們今天将稱之為引力現象的理論（第爾斯，164；阿那克薩哥拉12，13，15和2）&mdash&mdash這個理論曾被亞裡士多德略加修改，最終為伽利略所抛棄。
(46) 最清楚的段落是《蒂邁歐篇》80c，它說，無論是在（摩擦過的）琥珀還是&ldquo赫拉克利特的石頭&rdquo（磁石）的例子裡，都沒有真實的吸引；&ldquo沒有虛空，這些東西是自己推着轉、彼此靠近的&rdquo。
另一方面，柏拉圖不大明白這一點，因為他的基本粒子（不同于立方體和棱錐）不可能滿得不留些（空的？）間隙，如亞裡士多德在《論天》（DeCaelo）306b5中所發現的。
亦可見本書第113頁注①（和《蒂邁歐篇》52e）。
(47) 柏拉圖對原子論和充實理論（&ldquo自然厭惡空虛&rdquo）的調和，對于至今的物理學史具有極為重要的意義。
因為它強烈地影響了笛卡兒，成為以太和光的理論的基礎，最後又經過惠更斯和麥克斯韋而成為德布羅意的理論與薛定谔的波動力學的基礎。
見我載于《國際哲學會議（1958）文選》（Attid.Congr.Intern.diFilosofia，1958），第367頁以後的報告。
(48) 一個例外是算術方法在量子論中重新出現，例如基于泡利不相容原理的周期系電子殼層理論；這是對柏拉圖把算術幾何化的傾向（見下面）的颠倒。
關于有時稱為&ldquo幾何算術化&rdquo的現代傾向（它決不表征現代關于幾何學的全部工作）或者說分析的傾向，應當指出，它同畢達哥拉斯的方式沒什麼相似，因為它的主要工具是自然數的集合或無限序列，而不是自然數本身。
隻有那些局限于&ldquo構造的&rdquo、&ldquo有窮論的&rdquo或&ldquo直覺主義的&rdquo數論方法&mdash&mdash同集合論方法相反&mdash&mdash的人可能聲稱，他們像畢達哥拉斯或前柏拉圖的算術思想那樣，也試圖把幾何學還原為數論。
沿着這個方向的重大一步，似乎是最近由德國數學家E·德·韋特完成的。
(49) 關于柏拉圖和歐幾裡得的影響的一種類似觀點，見G·F·海明斯：《第十屆國際哲學大會文集》（阿姆斯特丹，1949年），第2分冊，第847頁。
(50) 參見荷馬借助于奧林匹斯山的無形世界對特洛伊城周圍的有形世界的解釋。
到了德谟克利特的手裡，這個思想的神學性質有所減弱（它在巴門尼德那裡仍很強，盡管在阿那克薩哥拉那裡沒有那麼強），但到了柏拉圖手裡便又恢複，隻是不久便又喪失了。
(51) 見本書第115頁注①以及阿那克薩哥拉殘篇B4和17，第爾斯-克蘭茨。
(52) 關于三角形被理念（&ldquo父親&rdquo）從空間（&ldquo母親&rdquo）那裡逐出的過程，參見我的《開放社會》第3章注和那裡列出的參考文獻以及第6章注⑨。
在允許無理的三角形進入他的神聖形式的天門時，柏拉圖承認了某種在畢達哥拉斯意義上&ldquo不可确定的&rdquo東西亦即屬于對立表中壞的一邊的東西。
這種&ldquo壞&rdquo東西可能是必須予以接納的，而這一點最早見于柏拉圖的《巴門尼德》130b-e；這種接納被加諸巴門尼德本人之口。
(53) 在上面所引的我的《開放社會》中的後一個注。
(54) 這意味着，一切幾何距離（長度）都可以同成關系的三個&ldquo測度&rdquo之一（或者兩個之和，或者三個之和）通約。
看來亞裡士多德甚至可能相信，一切幾何長度都可同兩個測度即1和2之一通約。
因為他寫道（《形而上學》1053a17）：&ldquo一個正方形的對角線與邊和一切（幾何）長度可用兩個（測度）來量度。
&rdquo（比較羅斯對這段話的說明。
） (55) 在我上面提到的《開放社會》第6章的注⑨中，我還猜測，是之近似于&pi這一點促使柏拉圖采取他的錯誤理論。
(56) 這兩段引文取自《蒂邁歐篇》53c/d和54a/b。
(57) 我相信，我們的考慮可能對柏拉圖的著名的兩個&ldquo本原&rdquo&mdash&mdash&ldquo一&rdquo和&ldquo不确定的二&rdquo的問題有所啟示。
下述的說明闡明了一個見解，這個見解是範·德·維倫[《論柏拉圖的理念》（DeIdeegetallenvanPlato），1941年，第132和133頁]提出的，羅斯（《柏拉圖的理念論》第201頁）針對範·德·維倫自己對之作的批判而替它作了精彩的辯護。
我們假設，&ldquo不确定的二&rdquo是一條直線或距離，不把它解釋為單位距離或者已經量度過。
我們假設，把一個點（極限、&ldquo一&rdquo）逐次放到按比率1∶n（對于任何自然數n）分割二的那些位置上。
于是，我們可以把數的&ldquo生成&rdquo描述如下。
對于n＝1，二分為成1∶1的兩部分。
這可解釋為2從一（1∶1＝1）和二生成，因為我們已把二分成二等份。
如此&ldquo生成&rdquo了數2，我們便按比率1∶2分割二（所産生的較大部分像前面一樣再按比率1∶1分割），這樣便生成三等份和數3；一般地說，一個數n的&ldquo生成&rdquo引起按比率1∶n分割二，由此導緻&ldquo生成&rdquo數n＋1。
[在每個階段，&ldquo一&rdquo都重新幹預，作為點把極限、形式或測度引入在其他方面&ldquo不确定的&rdquo二，以産生這新的數；這段話能增強羅斯駁斥範·德·維倫的力量。
也請比較特普利茨、施滕第爾、貝克爾等人的論文（《數學史資料和論文》，1931年，第1卷）。
然而，他們都沒有暗示算術的幾何化&mdash&mdash盡管在第476和477頁上有圖形。
] 應當注意到，盡管這個程序僅僅&ldquo生成&rdquo（至少在第一個例子中）自然數序列，但它包含一個幾何因素&mdash&mdash把一條直線先分割成二等份，再按某個比例1∶n分割成兩部分。
這兩種分割都需要用幾何方法，尤其第二種分割更需要像歐多塞斯的比例理論那樣的一種方法。
我認為，柏拉圖開始問自己：為什麼他不也該按和1∶的比例來分割二。
他一定已經感到，這偏離了自然數得以生成的方法；這不再是&ldquo算術的&rdquo方法，它需要另外的屬于&ldquo幾何的&rdquo方法。
但是，這樣&ldquo生成&rdquo的不是自然數，而是比例為和的線元，它們可以看成是原子三角形所由構成的&ldquo原子線&rdquo（《形而上學》，992a19）。
同時，從畢達哥拉斯派對待無理數的态度（參見菲羅勞斯、第爾斯，殘篇2和3）來看，把二表征為&ldquo不确定的&rdquo，便是十分恰當的了。
（當在有理比例之外又産生無理比例時，&ldquo大和小&rdquo這個名稱也許開始被&ldquo不确定的二&rdquo所取代。
） 假定這個看法是正确的，那麼，我們可以揣測，柏拉圖緩慢地接近（始于《大希皮亞斯》（HippiasMajor），因此比《理想國》早得多&mdash&mdash同羅斯在上引著作第56頁上所說的相反）這樣的觀點：無理數是數，這是因為（1）它們可同數相比較（《形而上學》，1021a4和1021a5），（2）自然數和無理數都由類似的、本質上是幾何的過程所生成。
而一旦達到這種觀點（看來最初是在《厄庇諾米斯篇》990d-e中達到的，不管這篇著作是否為柏拉圖所作；不過我傾向于認為系柏拉圖所作），那麼，甚至《蒂邁歐篇》中的無理三角形也成為&ldquo數&rdquo（即若為無理的，便用數的比例來表征）。
但是，在這裡，柏拉圖的特殊貢獻以及他的理論與畢達哥拉斯理論間的差别可能就變得難以察覺了；這也許可以說明，為什麼甚至亞裡士多德（他對&ldquo幾何化&rdquo和&ldquo算術化&rdquo都有懷疑）也忽視了這一點。
(58) 盧裡安在本書第116頁注①所引著作中已指出，這是亞裡士多德的觀點。
(59) 他擔心自己沒有寫完就先死了。
(60) 見牛頓1693年緻本特利的信。
(61) 康德在1755年發表的所謂康德&mdash拉普拉斯假說。
(62) 有些批判是非常中肯的（尤其是萊布尼茨和貝克萊所作的），但由于這理論的成功，所以令人&mdash&mdash我認為是正确地&mdash&mdash感到，批評者有點不得這理論的要領。
我們切不可忘記，甚至在今天，這理論仍是極佳的一級近似（或者考慮到開普勒，可能是二級近似），隻需作少許修正。
(63) 這裡康德談的是牛頓的成就：&ldquo洞悉亘古不變的宇宙結構，可以期待這認識随着觀察的積累而增長，而無需害怕受到挫折。
&rdquo (64) 彭加勒在1909年還在為此大傷腦筋。
(65) 任何恰當的知識理論所必須予以滿足的一個關鍵性要求是，它不必解釋太多的東西。
任何非曆史的理論要解釋某個發現所以必須作出的原因，肯定遭到失敗。
因為它不可能解釋這發現為什麼不早一些時候作出。
(66) 根據本書第134頁注①，任何理論都無法解釋為什麼我們對解釋理論的探索是成功的。
任何正确理論所作的成功解釋，必定保持幾率為零，如果我們近似地用&ldquo成功的&rdquo解釋性假說同人們可能作出的一切假說之比來量度這概率的話。
(67) 這個&ldquo回答&rdquo的思想是在我的《科學發現的邏輯》（1935年，1959年和以後各版）中闡明的。
(68) 見本書第133頁注①和正文。
(69) 參見我的《開放社會》第12章注。
(26) 比較《曆史決定論的貧困》第3節。
(27) 由柏拉圖的《蒂邁歐篇》，55所引起。
那裡用相應固體的幾何性質（因而還用它們的實體形式）來解釋元素的潛在傾向。
(28) &ldquo本質主義的&rdquo（參見第94頁注②）實體理論的毫無成果是同它的拟人主義相聯系的；因為實體（如洛克所認為的那樣）是從一個自我同一的然而變化着、展開着的自我的經驗獲取其貌似的可能性。
但是，盡管我們可能對亞裡士多德的實體從物理學中消失這一事實表示歡迎，但如海克教授所說，拟人化地思考人時，是一點也不錯的；也沒有什麼哲學的或先驗的理由，要求實體從心理學中消失。
(29) 參見德谟克利特，第爾斯，殘篇11（參見阿那克薩哥拉，第爾斯，殘篇21；亦見殘篇7）。
(30) 參見塞克斯都·恩披裡柯：《反對科學家》（貝克爾），vii，140，第221頁，23B。
(31) 哲學相對主義意義上的&ldquo相對主義的&rdquo，例如，普羅塔哥拉的&ldquo人的測度&rdquo的學說。
不幸的是，現在仍得強調一下，愛因斯坦的理論同這種哲學相對主義毫無共同之處。
(32) &ldquo實證主義&rdquo是培根的傾向；也是早期皇家學會的理論（但所幸不是實踐）傾向；還是當代的馬赫（他反對原子論）以及感覺材料理論家的傾向。
(33) 參見第爾斯，殘篇155，它必須按照阿基米德（海伯格編），Ⅱ2，第428和429頁。
參見S·盧裡安的極為重要的論文《古代原子論者的無窮小法》（DieInfinitesimalmethodederantikenAtomisten），《數學史資料和論文》（Quellen&StudienzurGesch.d.Math.Abt.B.）1932年第2期，第142頁。
(34) 參見A·馬爾希：《自然和認識》（NaturundErkenntnis），維也納1948年版第193和194頁。
(35) 參見S·盧裡安上引著作，尤見第148頁以後、172頁以後。
A·T·尼科爾斯小姐在《看不見的線》（IndivisibleLines）[《經典季刊》（Class.Quarterly），xxx，1936年，第120和121頁]中證明了，有兩段引文，一段是普羅塔克的，另一段是辛普裡休斯的，表明為什麼德谟克利特&ldquo無法相信看不見的線&rdquo；然而，她沒有談到盧裡安1932年的反對意見。
我覺得後者遠為令人信服，尤其如果我們記得德谟克利特曾試圖回答芝諾（見下一個注）。
但是，不管德谟克利特關于看不見的或原子的距離的觀點究竟怎樣，柏拉圖看來是認為，德谟克利特的原子論需要按照無理數的發現加以修正。
然而，希思[《希臘數學》（GreekMathematics）第1卷，1921年，第181頁，提到辛普裡休斯和亞裡士多德]也認為，德谟克利特沒有說過存在看不見的線。
(36) 這個針鋒相對的回答保留在亞裡士多德的《論發生和腐壞》（OnGenerationandCorruption）之中，第14頁以下。
I·哈默·詹森在1910年最初認為這段非常重要的話是德谟克利特的，盧裡安仔細讨論過這段話，他說（上引著作，135）它是巴門尼德和芝諾的：&ldquo德谟克利特借用了他們的演繹論證，但他得出相反的結論。
&rdquo (37) 參見G·H·哈迪和E·M·賴特：《數論導論》（IntroductiontotheTheoryofNumbers）（1938年，第39、42頁），其中有柏拉圖的《泰阿泰德篇》記載的關于西奧多勒斯證明的一段十分有趣的曆史論述。
亦可見A·瓦塞施泰因的論文《〈泰阿泰德篇〉與數論曆史》（TheaetetusandtheHistoryoftheTheoryofNumbers），《經典季刊》1958年，第8期，第165&mdash179頁。
這是我所知道的關于這個問題的最出色的讨論。
(38) 而不是我在《開放社會》（第2版）第6章注⑨中所譯的《論無理的線和原子》（OnIrrationalLinesandAtoms）。
我認為，為了表達這個題目（考慮到下一個注中所提到的柏拉圖的話）的可能含義，最好是譯成《論古怪的線和原子》。
參見H·沃格特：《數學文獻》（Bibl.Math.），1910年第10期（希思反對他，《希臘數學》第156和157頁，但我認為希思并不十分成功）；以及S·盧裡安：上頁注①引著作第168頁以後令人信服地提出，（亞裡士多德的）《論不可分線》（Deinsec.lin.）（968b17）和普羅塔克的《論普通概念》（Decomm.notit.38，2）包含德谟克利特工作的線索。
按照這兩個資料，德谟克利特的論證是這樣的。
如果線無限可分，那麼，它們乃由無限多的終極單元所組成，因此全都像&infin∶&infin地相關，這就是說，它們全都是&ldquo不可比的&rdquo（沒有比例）。
實際上，如果把線看成點的類，那麼按照現代的觀點，一條線的點的基&ldquo數&rdquo（勢）對于一切線都相等，不管這些線是有限的還是無限的。
這個事實被說成是&ldquo悖論&rdquo（例如波爾察諾），而德谟克利特則很可能說它是&ldquo古怪的&rdquo。
可以指出，按照布勞威爾的意見，甚至一個連續統的勒貝格測度的古典理論也導緻基本上相同的結果；因為布勞威爾斷言，所有的古典連續統都有零的測度，因此比率的不存在在這裡表達為0∶0。
德谟克利特的結果（和他的Amerēs理論）看來是不可能的，隻要幾何是基于畢達哥拉斯的算術方法，即點的計數。
(39) 這将符合于引自《開放社會》的那個注中所指出的事實：&ldquoalogos&rdquo似乎隻是很久以後才用來表示&ldquo無理的&rdquo，提到德谟克利特的書名的柏拉圖，在那裡（《理想國》534d）是在&ldquo古怪的&rdquo意義上使用&ldquoalogos&rdquo這個詞的；就我所知，柏拉圖從未把它用作&ldquoarrhētos&rdquo的同義詞。
(40) G·弗裡德萊因編：《普羅克勒斯對歐幾裡得〈原本〉第1編的評述》（ProcliDiadochiinPrimumEuclidisElementorumLibrumCommentarii），萊比錫，1873年，第487頁，第7&mdash21頁。
(41) 普羅克勒斯的上引著作第428頁，第21&mdash429頁，第8頁。
(42) 這說的是一個名叫希帕索斯的人，這個人的情況不太清楚；據說他死在海上（參見第爾斯，4）。
亦見本書第117頁注①中提到的A·瓦塞施泰因的文章。
(43) 見S·盧裡安，前面第116頁注①所引著作，尤其是論述普羅塔克的部分。
(44) 《後分析篇》76b9；《形而上學》983a20，1061b1。
亦見《厄庇諾米斯篇》（Epinomis）990d。
(45) 具體地說，柏拉圖接過了德谟克利特的渦旋理論（第爾斯，殘篇167，164；參見阿那克薩哥拉，第爾斯，9和12，13；亦見下面兩個腳注）和他的我們今天将稱之為引力現象的理論（第爾斯，164；阿那克薩哥拉12，13，15和2）&mdash&mdash這個理論曾被亞裡士多德略加修改，最終為伽利略所抛棄。
(46) 最清楚的段落是《蒂邁歐篇》80c，它說，無論是在（摩擦過的）琥珀還是&ldquo赫拉克利特的石頭&rdquo（磁石）的例子裡，都沒有真實的吸引；&ldquo沒有虛空，這些東西是自己推着轉、彼此靠近的&rdquo。
另一方面，柏拉圖不大明白這一點，因為他的基本粒子（不同于立方體和棱錐）不可能滿得不留些（空的？）間隙，如亞裡士多德在《論天》（DeCaelo）306b5中所發現的。
亦可見本書第113頁注①（和《蒂邁歐篇》52e）。
(47) 柏拉圖對原子論和充實理論（&ldquo自然厭惡空虛&rdquo）的調和，對于至今的物理學史具有極為重要的意義。
因為它強烈地影響了笛卡兒，成為以太和光的理論的基礎，最後又經過惠更斯和麥克斯韋而成為德布羅意的理論與薛定谔的波動力學的基礎。
見我載于《國際哲學會議（1958）文選》（Attid.Congr.Intern.diFilosofia，1958），第367頁以後的報告。
(48) 一個例外是算術方法在量子論中重新出現，例如基于泡利不相容原理的周期系電子殼層理論；這是對柏拉圖把算術幾何化的傾向（見下面）的颠倒。
關于有時稱為&ldquo幾何算術化&rdquo的現代傾向（它決不表征現代關于幾何學的全部工作）或者說分析的傾向，應當指出，它同畢達哥拉斯的方式沒什麼相似，因為它的主要工具是自然數的集合或無限序列，而不是自然數本身。
隻有那些局限于&ldquo構造的&rdquo、&ldquo有窮論的&rdquo或&ldquo直覺主義的&rdquo數論方法&mdash&mdash同集合論方法相反&mdash&mdash的人可能聲稱，他們像畢達哥拉斯或前柏拉圖的算術思想那樣，也試圖把幾何學還原為數論。
沿着這個方向的重大一步，似乎是最近由德國數學家E·德·韋特完成的。
(49) 關于柏拉圖和歐幾裡得的影響的一種類似觀點，見G·F·海明斯：《第十屆國際哲學大會文集》（阿姆斯特丹，1949年），第2分冊，第847頁。
(50) 參見荷馬借助于奧林匹斯山的無形世界對特洛伊城周圍的有形世界的解釋。
到了德谟克利特的手裡，這個思想的神學性質有所減弱（它在巴門尼德那裡仍很強，盡管在阿那克薩哥拉那裡沒有那麼強），但到了柏拉圖手裡便又恢複，隻是不久便又喪失了。
(51) 見本書第115頁注①以及阿那克薩哥拉殘篇B4和17，第爾斯-克蘭茨。
(52) 關于三角形被理念（&ldquo父親&rdquo）從空間（&ldquo母親&rdquo）那裡逐出的過程，參見我的《開放社會》第3章注和那裡列出的參考文獻以及第6章注⑨。
在允許無理的三角形進入他的神聖形式的天門時，柏拉圖承認了某種在畢達哥拉斯意義上&ldquo不可确定的&rdquo東西亦即屬于對立表中壞的一邊的東西。
這種&ldquo壞&rdquo東西可能是必須予以接納的，而這一點最早見于柏拉圖的《巴門尼德》130b-e；這種接納被加諸巴門尼德本人之口。
(53) 在上面所引的我的《開放社會》中的後一個注。
(54) 這意味着，一切幾何距離（長度）都可以同成關系的三個&ldquo測度&rdquo之一（或者兩個之和，或者三個之和）通約。
看來亞裡士多德甚至可能相信，一切幾何長度都可同兩個測度即1和2之一通約。
因為他寫道（《形而上學》1053a17）：&ldquo一個正方形的對角線與邊和一切（幾何）長度可用兩個（測度）來量度。
&rdquo（比較羅斯對這段話的說明。
） (55) 在我上面提到的《開放社會》第6章的注⑨中，我還猜測，是之近似于&pi這一點促使柏拉圖采取他的錯誤理論。
(56) 這兩段引文取自《蒂邁歐篇》53c/d和54a/b。
(57) 我相信，我們的考慮可能對柏拉圖的著名的兩個&ldquo本原&rdquo&mdash&mdash&ldquo一&rdquo和&ldquo不确定的二&rdquo的問題有所啟示。
下述的說明闡明了一個見解，這個見解是範·德·維倫[《論柏拉圖的理念》（DeIdeegetallenvanPlato），1941年，第132和133頁]提出的，羅斯（《柏拉圖的理念論》第201頁）針對範·德·維倫自己對之作的批判而替它作了精彩的辯護。
我們假設，&ldquo不确定的二&rdquo是一條直線或距離，不把它解釋為單位距離或者已經量度過。
我們假設，把一個點（極限、&ldquo一&rdquo）逐次放到按比率1∶n（對于任何自然數n）分割二的那些位置上。
于是，我們可以把數的&ldquo生成&rdquo描述如下。
對于n＝1，二分為成1∶1的兩部分。
這可解釋為2從一（1∶1＝1）和二生成，因為我們已把二分成二等份。
如此&ldquo生成&rdquo了數2，我們便按比率1∶2分割二（所産生的較大部分像前面一樣再按比率1∶1分割），這樣便生成三等份和數3；一般地說，一個數n的&ldquo生成&rdquo引起按比率1∶n分割二，由此導緻&ldquo生成&rdquo數n＋1。
[在每個階段，&ldquo一&rdquo都重新幹預，作為點把極限、形式或測度引入在其他方面&ldquo不确定的&rdquo二，以産生這新的數；這段話能增強羅斯駁斥範·德·維倫的力量。
也請比較特普利茨、施滕第爾、貝克爾等人的論文（《數學史資料和論文》，1931年，第1卷）。
然而，他們都沒有暗示算術的幾何化&mdash&mdash盡管在第476和477頁上有圖形。
] 應當注意到，盡管這個程序僅僅&ldquo生成&rdquo（至少在第一個例子中）自然數序列，但它包含一個幾何因素&mdash&mdash把一條直線先分割成二等份，再按某個比例1∶n分割成兩部分。
這兩種分割都需要用幾何方法，尤其第二種分割更需要像歐多塞斯的比例理論那樣的一種方法。
我認為，柏拉圖開始問自己：為什麼他不也該按和1∶的比例來分割二。
他一定已經感到，這偏離了自然數得以生成的方法；這不再是&ldquo算術的&rdquo方法，它需要另外的屬于&ldquo幾何的&rdquo方法。
但是，這樣&ldquo生成&rdquo的不是自然數，而是比例為和的線元，它們可以看成是原子三角形所由構成的&ldquo原子線&rdquo（《形而上學》，992a19）。
同時，從畢達哥拉斯派對待無理數的态度（參見菲羅勞斯、第爾斯，殘篇2和3）來看，把二表征為&ldquo不确定的&rdquo，便是十分恰當的了。
（當在有理比例之外又産生無理比例時，&ldquo大和小&rdquo這個名稱也許開始被&ldquo不确定的二&rdquo所取代。
） 假定這個看法是正确的，那麼，我們可以揣測，柏拉圖緩慢地接近（始于《大希皮亞斯》（HippiasMajor），因此比《理想國》早得多&mdash&mdash同羅斯在上引著作第56頁上所說的相反）這樣的觀點：無理數是數，這是因為（1）它們可同數相比較（《形而上學》，1021a4和1021a5），（2）自然數和無理數都由類似的、本質上是幾何的過程所生成。
而一旦達到這種觀點（看來最初是在《厄庇諾米斯篇》990d-e中達到的，不管這篇著作是否為柏拉圖所作；不過我傾向于認為系柏拉圖所作），那麼，甚至《蒂邁歐篇》中的無理三角形也成為&ldquo數&rdquo（即若為無理的，便用數的比例來表征）。
但是，在這裡，柏拉圖的特殊貢獻以及他的理論與畢達哥拉斯理論間的差别可能就變得難以察覺了；這也許可以說明，為什麼甚至亞裡士多德（他對&ldquo幾何化&rdquo和&ldquo算術化&rdquo都有懷疑）也忽視了這一點。
(58) 盧裡安在本書第116頁注①所引著作中已指出，這是亞裡士多德的觀點。
(59) 他擔心自己沒有寫完就先死了。
(60) 見牛頓1693年緻本特利的信。
(61) 康德在1755年發表的所謂康德&mdash拉普拉斯假說。
(62) 有些批判是非常中肯的（尤其是萊布尼茨和貝克萊所作的），但由于這理論的成功，所以令人&mdash&mdash我認為是正确地&mdash&mdash感到，批評者有點不得這理論的要領。
我們切不可忘記，甚至在今天，這理論仍是極佳的一級近似（或者考慮到開普勒，可能是二級近似），隻需作少許修正。
(63) 這裡康德談的是牛頓的成就：&ldquo洞悉亘古不變的宇宙結構，可以期待這認識随着觀察的積累而增長，而無需害怕受到挫折。
&rdquo (64) 彭加勒在1909年還在為此大傷腦筋。
(65) 任何恰當的知識理論所必須予以滿足的一個關鍵性要求是，它不必解釋太多的東西。
任何非曆史的理論要解釋某個發現所以必須作出的原因，肯定遭到失敗。
因為它不可能解釋這發現為什麼不早一些時候作出。
(66) 根據本書第134頁注①，任何理論都無法解釋為什麼我們對解釋理論的探索是成功的。
任何正确理論所作的成功解釋，必定保持幾率為零，如果我們近似地用&ldquo成功的&rdquo解釋性假說同人們可能作出的一切假說之比來量度這概率的話。
(67) 這個&ldquo回答&rdquo的思想是在我的《科學發現的邏輯》（1935年，1959年和以後各版）中闡明的。
(68) 見本書第133頁注①和正文。
(69) 參見我的《開放社會》第12章注。