二、哲學問題的本質及其科學根源(1)
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這個公式可以不讀成平方數的磐折形，但它不如（2）普遍，因為它不适用例如17∶8∶15。
另一公式屬于柏拉圖，據說(41)他曾改進畢達哥拉斯的公式（3），但這個公式仍沒有達到公式（2）的普遍程度。
為了表明畢達哥拉斯的或算術的方法與幾何方法之間的區别，可以提一下柏拉圖所作的一個證明：以單位正方形（那就是邊為1，面積量度為1的正方形）的對角線為邊長的正方形具有兩倍于單位正方形的面積（那就是說面積量度為2），它是這樣構成的：畫一個有對角線的正方形 然後我們可以擴展這個圖形，從而 通過計算，得出結果。
但這些圖形從第一圖形轉為第二圖形，用點的算術，甚至用比率的方法來說明都不可能是有效的。
這的确是不可能的，确立這一點的是關于對角線的無理性的著名證明、關于2的平方根的著名證明，大家都知道是柏拉圖和亞裡士多德所假定過的。
它在于表明這個假定 （1） 即等于任何兩個自然數n和m的比率，導緻荒謬的結果。
我們首先看出我們可以假定 （2） n和m兩個數中隻有一個是偶數。
如果兩個都是偶數，那麼我們總可以約去公因數2，而得出另外兩個自然數n&prime和m&prime，而n/m＝n&prime/m&prime，因而n&prime和m&prime兩個數至多隻有一個是偶數。
現在把（1）平方，我們得到 （3） 2＝n2/m2 而由此 （4） 2m2＝n2 于是 （5） n是偶數。
這樣一定有一個自然數a，使 （6） n＝2a 從（3）和（6）我們得出 （7） 2m2＝n2＝4a2 于是 （8） m2＝2a2 但這等于說 （9） m是偶數。
顯然，（5）和（9）是與（2）矛盾的。
于是，有兩個自然數n和m，它的比率等于，這個假定導緻一個荒謬的結論。
因此，不是一個比率，它是無理的。
這個證明隻用了自然數的算術方法。
因此它應用的是純畢達哥拉斯的方法，所以傳統所說它是在畢達哥拉斯學派以内發現的，這是無庸懷疑的。
但是說畢達哥拉斯發現它，或者很早時期被人發現的，則不大可能：芝諾似乎不知道它，德谟克利特也不知道它。
而且，因為它破壞了畢達哥拉斯主義的基礎，我們有理由假定在這個學派的影響達到高峰之前，遠遠沒有被人發現，至少在這個學派很好地建立起來之前還沒有發現，因為這個發現促成了這個學派的衰落。
傳說認為是在這個學派的範圍内但在保密的情況下發現的，看來似乎是很可能的。
為了支持這一論點，也許隻要看一下&ldquo無理的&rdquo這個詞的舊的說法&mdash&mdasharrhētos，&ldquo難以形容的&rdquo或&ldquo說不出口的&rdquo&mdash&mdash就已暗示一種說不出口的秘密。
傳說這個學派的一個成員洩露了這個秘密，就因為他的背叛而被殺了。
(42)盡管如此，有一點是無可懷疑的，即認識到有不合理的量存在（當然，它們沒有被作為是數），而且它們的存在削弱了畢達哥拉斯學派的信念，并打破了從自然數導出宇宙論甚至幾何學的希望。
Ⅷ 是柏拉圖認識到這個事實，并在他的《法律篇》中用最強烈的語言強調它的重要意義，譴責他的國人沒有能估計到它的含義。
我認為他的全部哲學，特别是他的&ldquo形式&rdquo或&ldquo理念&rdquo理論，是受着這個信仰的影響的。
柏拉圖很接近畢達哥拉斯學派，也接近埃利亞學派；雖然他表面上對德谟克利特有反感，但他自己卻多少是一個原子論者。
（原子論的教學始終是他的&ldquo學院&rdquo的傳統。
(43)）鑒于畢達哥拉斯派與原子論的思想的密切關系，這并不奇怪。
但是這一切都受到無理數發現的威脅。
我認為柏拉圖對科學的主要貢獻是由于他認識到無理數的問題，以及他為挽救科學的危機對畢達哥拉斯主義和原子論所作的修正。
他認識到關于自然的純算術理論是失敗了，現在需要一種描述和解釋世界的新的數學方法。
因此他提倡發展一種獨立的幾何方法。
這個方法在柏拉圖主義者歐幾裡得的《綱要》中得到了實現。
這些事實是什麼呢？我将試圖簡要地把它們羅列如下： （1）在德谟克利特的形式中，畢達哥拉斯主義與原子論基本上都是以算術為基礎的，就是說以計數為基礎的。
（2）柏拉圖強調了無理數的發現是災難性的。
（3）他在學院的大門上寫着&ldquo未經幾何訓練的人不得入内&rdquo。
但是，按照柏拉圖的最接近的學生亞裡士多德(44)和歐幾裡得，都典型地把幾何用來研究不可通約的數或無理數，而與論述&ldquo奇數與偶數&rdquo（即論述整數及其關系）的算術大相徑庭。
（4）在柏拉圖死後不久，他的學派在歐幾裡得的《綱要》中提出一個見解，其要點之一是使數學從&ldquo算術&rdquo的可通約性或有理數的假定中解放出來。
（5）柏拉圖自己對這個發展作出了貢獻，特别是對立體幾何學的發展作出了貢獻。
（6）尤其是他在《蒂邁歐篇》中對以前的純算術的原子論給予一種明确的幾何學論述；這是用體現了無理數2的平方根和3的平方根的三角形來創立的基本粒子（著名的柏拉圖的物體）的說明。
（參見以下說明。
）除此以外，他在其他方面大都保留了畢達哥拉斯的觀點以及德谟克利特的某些重要觀點。
(45)同時，他試圖去除德谟克利特的虛空；因為他認識到(46)即使在一個&ldquo滿&rdquo的世界裡仍可能有運動，如果把液體中的旋渦看作是運動性質的話。
這樣，他又保留了巴門尼德的某些最重要的觀點。
(47) （7）柏拉圖鼓勵制造世界的幾何模型，特别是解釋行星運動的模型。
我認為歐幾裡得的幾何學并非（如現在通常所假定的）作為一種純幾何學的運用，而是作為一種世界理論的研究原則。
按照這個觀點，《綱要》并不是一部幾何學教科書，而是試圖系統地解決柏拉圖的宇宙論的主要問題。
這樣做獲得了很大成就，因而許多問題解決之後就不複存在，而且幾乎都被忘卻了；雖然在普羅克勒斯的著作中仍然留有痕迹，他寫道：&ldquo有些人認為歐幾裡得各種著作的主題是關于宇宙的，它們的主旨是幫助我們對宇宙的思考并建立宇宙理論&rdquo（本書注(39)所引書，第71頁）。
然而，甚至普羅克勒斯在這個地方也并未提到這個主要問題&mdash&mdash無理數問題（雖然他在别處提到）；不過他正确地指出，《綱要》以&ldquo宇宙&rdquo的構造或&ldquo柏拉圖的&rdquo正多面體結束。
自從(48)柏拉圖和歐幾裡得以後，而不是以前，幾何（而不是算術）方才在物質理論和宇宙論中，表現為一切物理解釋和描述的基本工具。
(49) Ⅸ 這些都是曆史事實。
我認為它們大有助于确立我的主要論點：我所謂講授哲學的初看有效的方法不能導緻對柏拉圖所關心的問題的理解，也不能使人正确地評價他的世界幾何理論，而這可以公正地說成是他最偉大的哲學成就。
文藝複興時期的偉大物理學家&mdash&mdash哥白尼、伽利略、開普勒、吉爾伯特，他們離開亞裡士多德轉向柏拉圖，企圖用宇宙論的幾何方法來代替亞裡士多德的質的實體或潛能。
的确，這就是文藝複興（在科學上）的基本意義：幾何方法的複興，它成為歐幾裡得、亞裡斯塔克斯、阿基米德、哥白尼、開普勒、伽利略、笛卡兒、牛頓、麥克斯韋和愛因斯坦著作的基礎。
但是，說這個成就是哲學的成就，這合适嗎？它不是更應屬于物理學&mdash&mdash一種事實科學；或者純數學&mdash&mdash如維特根斯坦學派所主張的，即重言式邏輯的一個分支嗎？ 我認為在這個階段，我們可以非常清楚地看到為什麼柏拉圖的成就（盡管它無疑有着物理學的、邏輯的、混合的以及不能感知的成分）是一種哲學的成就；為什麼至少他的自然哲學和物理學的哲學部分經久不衰，而且我認為将是永不衰竭的。
我們在柏拉圖以及他的先驅者們中間所發現的是有意識的構造和發明對于世界和世界知識的一種新的研究方法。
這個研究方法把一種原始的神學觀念（即用一種假設的無形世界來解釋有形世界），(50)改變為理論科學的一個基本工具。
這個觀念被阿那克薩哥拉和德谟克利特(51)作為研究物質或物體本性的原則而明确地闡述出來；用關于無形的、小得看不見的物質結構的假設來解釋可見的物質。
在柏拉圖的學說裡這個觀點是自覺地被接受了，并普遍推廣了；變化的可見世界最後是以具有各種不變&ldquo形式&rdquo（或實體，或本質，或本性；即我将試圖詳細表明的幾何形狀或圖形）的看不見的世界來解釋的。
這種關于物質的看不見的結構的觀念，是一個物理的觀念還是一個哲學的觀念呢？如果一個物理學家，僅僅根據這個理論行事，如果他接受這個理論（或許是不自覺地），通過把他的學科的傳統問題作為他所碰到的問題狀況提供的問題來接受，如果他這樣做，并提出一個新的特殊的物質結構的理論，那麼我是不能把他叫做哲學家的。
但如果他考慮它，并且比如駁斥它（就像貝克萊或馬赫），不贊成這種理論的并有點像神學的研究方法，而贊成一種現象學的或實證主義的物理學，那麼他就可以稱得上一個哲學家。
同樣，那些自覺地探尋理論的方法，建立這種方法，并明白地加以陳述，從而把這種假設的和演繹的方法從神學改為物理學，他就是哲學家，盡管就他們根據自己的規則行事并試圖拿出關于看不見的物質結構的真實理論而言，他們又是物理學家。
但是，我對這種正确使用&ldquo哲學&rdquo标簽的問題不準備再講下去了，因為這個問題即維特根斯坦的問題，顯然本來是一種語言用法的問題；它的确是一個假問題，必然會很快地使我的聽衆感到厭煩。
然而，我願意對柏拉圖的形式或理念論再說幾句，或者說得更确切一點，對上面指出的曆史事實的第六點再說幾句。
柏拉圖的物質結構的理論可以在《蒂邁歐篇》中找到。
它和現代用晶體論解釋固體的理論至少有表面上的相似。
他的物體是由不同形狀的看不見的基本粒子所組成，可見物質的可見性質就是根據這些形狀來的。
基本粒子的形狀又是為形成它們各邊的平面圖形的形狀所決定的。
這些平面圖形最後又是由兩個基本三角形所組成：相當于半個正方形的（或等腰直角的）三角形，和相當于半個等邊三角形的直角三角形，前者具體表現了2的平方根，後者具體表現了3的平方根，兩者都是無理數。
這些三角形又被說成是不變的&ldquo形式&rdquo或&ldquo理念&rdquo的摹本；(52)這意味着屬于幾何的&ldquo形式&rdquo獲準進入畢達哥拉斯的&ldquo算術&rdquo的形式數的天門。
可以肯定，這種結構的用意是試圖把無理數和構成世界的最基本元素結合起來，以解決原子論的危機。
一旦解決了這個問題，由于無理距離的存在而引起的困難就克服了。
但是，柏拉圖為什麼僅僅選擇了這兩個三角形呢？作為一種猜測，我曾在别處(53)說明了這個觀點，即柏拉圖認為所有其他無理數可以通過有理數加上2和3的方根的倍數而獲得。
(54)我現在更加感到自信，《蒂邁歐篇》中的關鍵性段落确實意味着這個理論（歐幾裡得後來指出它是錯誤的）。
因為在我們提到的這段文字裡，柏拉圖清楚地說到，&ldquo所有三角形都是從兩個三角形合成的，這兩個三角形各有一個直角&rdquo，他繼續把這兩個三角形詳細說成是半個正方形和半個等邊三角形。
但是從上下文看來，這隻能意味着所有三角形都可以由這兩者合成，而這個觀點等于下述錯誤理論：所有無理數跟有理數與2和3的方根之和具有相對可通約性。
(55) 但是，柏拉圖并沒有自命對這讨論的理論找到證明。
相反，他說他假定這兩個三角形為本原，&ldquo是同一種把猜測與必然性聯系在一起的說明相符合的&rdquo。
不久以後，他以半個等邊三角形作為他的第二個本原來解釋時，他說：&ldquo這個理由是很複雜的，但是如果任何人竟然探索這個問題，并證明它具有這個性質（我假定所有其他三角形都可以由這兩個所組成），那麼，我們都願意他是得獎者&rdquo。
(56)這句話有點含糊，大概柏拉圖意識到他關于這兩個三角形的（錯誤）猜測還缺少證明，他感到應由别人來加以補充。
看來，這段文字的含糊不清産生了一個奇怪效果，就是柏拉圖明明說選擇三角形是把無理數引入他的形式世界，但是他的讀者和評論者都沒有注意到，盡管柏拉圖在其他地方也強調了無理性問題。
而這反過來或許可以說明為什麼柏拉圖的形式論在亞裡士多德看來與畢達哥拉斯的形式&mdash數的理論(57)基本上是一樣的，以及為什麼柏拉圖的原子論在亞裡士多德看來僅僅是德谟克利特原子論的一個比較次要的改變。
(58)亞裡士多德盡管把奇數和偶數與算術的聯系，以及無理數與幾何的聯系，都認為是理所當然的，但并沒有認真對待無理數的問題。
《蒂邁歐篇》中柏拉圖的空間和物質是等同的；從亞裡士多德對《蒂邁歐篇》的這個解釋來看，他似乎已認為柏拉圖對幾何學的改革方案是理所當然的；這在亞裡士多德進入學園以前已由歐多塞斯部分地實現了，亞裡士多德隻是表面上對數學感到興趣。
他從未提到過學園大門上的題詞。
總括起來，大約柏拉圖的形式論和物質論都是他的先驅者即畢達哥拉斯和德谟克利特各自的理論的重述，因為柏拉圖認識到無理數要求把幾何學放在算術之前。
為了促進這種解放，柏拉圖對歐幾裡得體系的發展作了貢獻，建立了最重要的和最有影響的演繹理論。
由于他采用幾何學作為世界的理論，他就為阿裡斯塔克斯、牛頓和愛因斯坦裝備了智慧的工具箱。
這樣，希臘原子論的一場災難就轉變為一個重大的成就。
但是，柏拉圖的科學興趣卻部分地被人遺忘了。
科學上的問題狀況引起柏拉圖的哲學問題，這很少為人理解。
而柏拉圖的最偉大的成就，關于世界的幾何理論，對我們的世界圖景的影響是這樣大，以緻我們不假思索就認為是理所當然的了。
Ⅹ 一個例子是決不夠的。
我從許多有趣的可能性中選擇了康德作為第二個例子。
他的《純粹理性批判》是一本最難讀的書。
康德非常匆忙地寫了這本書；(59)他讨論的問題，我将試圖表明，不僅是不能解決的，而且也是被誤解了的。
不過它不是一個假問題，而是當時科學現狀所引起的一個無法避免的問題。
他的書是為那些懂得點關于牛頓星球動力學以及至少對牛頓的前輩&mdash&mdash哥白尼、第谷·布拉埃、開普勒和伽利略的某些思想有所了解的人而寫的。
對我們今天的知識分子來說，像我們這樣被科學的勝利景象所寵壞而感到厭倦的人，或許難以認識到牛頓理論不僅對康德、而且對任何一個18世紀思想家具有怎樣的涵義。
古人以無比的勇氣試行解決宇宙之謎，中間經過長期的衰落和複蘇，然後取得了驚人的成就。
牛頓發現了這個長期探尋的秘密。
他的幾何理論以歐幾裡得為基礎和模型，開頭是引起人們極大疑慮的，連它的創始人也感到擔心。
(60)原因是萬有引力被認為是&ldquo神秘的&rdquo，至少是需要解釋的一種東西。
雖然沒有找到言之有理的解釋（牛頓也不屑于求助于特定的假設），但遠在康德對牛頓的理論作出他自己的重要貢獻以前，即在《原理》發表78年後，所有的疑慮都早已消失了。
(61)任何有資格的科學現狀的判斷者(62)都不再懷疑牛頓的理論是真實的了。
這個理論已為許多精确的測量檢驗過，證明總是對的。
它導緻預言開普勒定律的細微偏差，并導緻新的發現。
在我們這樣一個時代，許多理論就像皮卡迪利大街上的公共汽車一樣來來往往，而且每個學生都聽到牛頓早已為愛因斯坦所代替的時候，人們很難重新獲得牛頓理論所引起的那種确信不移的感覺，那種歡欣鼓舞的感覺和解放的感覺。
在思想史上出現了一個永遠不會重複的獨一無二的事件：關于宇宙的絕對真理的最初的和最終的發現。
一個古老的夢想成為事實了。
人類獲得了知識，真正的、确實的、無可懷疑的和可證明的知識&mdash&mdash神聖的科學或認識，而不隻是人們的意見。
這樣，對于康德來說，牛頓的理論完全是正确的，在康德死後一個世紀内，人們對牛頓學說的真理性的信念始終沒有動搖過。
康德最後承認他和所有其他人曾誤以為事實上科學或認識已完成。
起初，他毫不懷疑地承認這個事實。
他把這種狀态叫做&ldquo獨斷論的沉睡&rdquo。
休谟把他從睡夢中喚醒了。
休谟曾經教導說，關于宇宙規律的确實知識或認識這樣的東西是沒有的，我們知道的一切事物都是靠觀察獲得的，而觀察隻能是單獨的（或特殊的）事例，因此一切理論知識都是不确定的。
他的論證是可信服的（并且他當然是正确的）。
然而有一個事實，或者說一個表面的事實&mdash&mdash牛頓對認識的完成。
休谟喚醒了康德，使他認識到他從不懷疑是事實的東西是近乎荒謬的。
這裡有一個不能排除的問題。
一個人怎能掌握這樣的知識？這種知識是普遍的、精确的、數學的、可證明的和無可懷疑的，像歐幾裡得幾何學那樣，而且還能解釋觀察事實的原因。
這樣就引起了《純粹理性批判》的中心問題：純自然科學怎樣才可能呢？所謂純自然科學&mdash&mdash科學，認識&mdash&mdash康德認為就是牛頓的理論。
不幸的是，他并沒有這樣說；我不知道閱讀他的第一部《批判》（1781和1787年版）的學生怎麼可能發現它。
但是康德考慮到牛頓的理論是很清楚的，在1786年的《自然科學的形而上學基礎》中，他給予牛頓理論一個先
另一公式屬于柏拉圖，據說(41)他曾改進畢達哥拉斯的公式（3），但這個公式仍沒有達到公式（2）的普遍程度。
為了表明畢達哥拉斯的或算術的方法與幾何方法之間的區别，可以提一下柏拉圖所作的一個證明：以單位正方形（那就是邊為1，面積量度為1的正方形）的對角線為邊長的正方形具有兩倍于單位正方形的面積（那就是說面積量度為2），它是這樣構成的：畫一個有對角線的正方形 然後我們可以擴展這個圖形，從而 通過計算，得出結果。
但這些圖形從第一圖形轉為第二圖形，用點的算術，甚至用比率的方法來說明都不可能是有效的。
這的确是不可能的，确立這一點的是關于對角線的無理性的著名證明、關于2的平方根的著名證明，大家都知道是柏拉圖和亞裡士多德所假定過的。
它在于表明這個假定 （1） 即等于任何兩個自然數n和m的比率，導緻荒謬的結果。
我們首先看出我們可以假定 （2） n和m兩個數中隻有一個是偶數。
如果兩個都是偶數，那麼我們總可以約去公因數2，而得出另外兩個自然數n&prime和m&prime，而n/m＝n&prime/m&prime，因而n&prime和m&prime兩個數至多隻有一個是偶數。
現在把（1）平方，我們得到 （3） 2＝n2/m2 而由此 （4） 2m2＝n2 于是 （5） n是偶數。
這樣一定有一個自然數a，使 （6） n＝2a 從（3）和（6）我們得出 （7） 2m2＝n2＝4a2 于是 （8） m2＝2a2 但這等于說 （9） m是偶數。
顯然，（5）和（9）是與（2）矛盾的。
于是，有兩個自然數n和m，它的比率等于，這個假定導緻一個荒謬的結論。
因此，不是一個比率，它是無理的。
這個證明隻用了自然數的算術方法。
因此它應用的是純畢達哥拉斯的方法，所以傳統所說它是在畢達哥拉斯學派以内發現的，這是無庸懷疑的。
但是說畢達哥拉斯發現它，或者很早時期被人發現的，則不大可能：芝諾似乎不知道它，德谟克利特也不知道它。
而且，因為它破壞了畢達哥拉斯主義的基礎，我們有理由假定在這個學派的影響達到高峰之前，遠遠沒有被人發現，至少在這個學派很好地建立起來之前還沒有發現，因為這個發現促成了這個學派的衰落。
傳說認為是在這個學派的範圍内但在保密的情況下發現的，看來似乎是很可能的。
為了支持這一論點，也許隻要看一下&ldquo無理的&rdquo這個詞的舊的說法&mdash&mdasharrhētos，&ldquo難以形容的&rdquo或&ldquo說不出口的&rdquo&mdash&mdash就已暗示一種說不出口的秘密。
傳說這個學派的一個成員洩露了這個秘密，就因為他的背叛而被殺了。
(42)盡管如此，有一點是無可懷疑的，即認識到有不合理的量存在（當然，它們沒有被作為是數），而且它們的存在削弱了畢達哥拉斯學派的信念，并打破了從自然數導出宇宙論甚至幾何學的希望。
Ⅷ 是柏拉圖認識到這個事實，并在他的《法律篇》中用最強烈的語言強調它的重要意義，譴責他的國人沒有能估計到它的含義。
我認為他的全部哲學，特别是他的&ldquo形式&rdquo或&ldquo理念&rdquo理論，是受着這個信仰的影響的。
柏拉圖很接近畢達哥拉斯學派，也接近埃利亞學派；雖然他表面上對德谟克利特有反感，但他自己卻多少是一個原子論者。
（原子論的教學始終是他的&ldquo學院&rdquo的傳統。
(43)）鑒于畢達哥拉斯派與原子論的思想的密切關系，這并不奇怪。
但是這一切都受到無理數發現的威脅。
我認為柏拉圖對科學的主要貢獻是由于他認識到無理數的問題，以及他為挽救科學的危機對畢達哥拉斯主義和原子論所作的修正。
他認識到關于自然的純算術理論是失敗了，現在需要一種描述和解釋世界的新的數學方法。
因此他提倡發展一種獨立的幾何方法。
這個方法在柏拉圖主義者歐幾裡得的《綱要》中得到了實現。
這些事實是什麼呢？我将試圖簡要地把它們羅列如下： （1）在德谟克利特的形式中，畢達哥拉斯主義與原子論基本上都是以算術為基礎的，就是說以計數為基礎的。
（2）柏拉圖強調了無理數的發現是災難性的。
（3）他在學院的大門上寫着&ldquo未經幾何訓練的人不得入内&rdquo。
但是，按照柏拉圖的最接近的學生亞裡士多德(44)和歐幾裡得，都典型地把幾何用來研究不可通約的數或無理數，而與論述&ldquo奇數與偶數&rdquo（即論述整數及其關系）的算術大相徑庭。
（4）在柏拉圖死後不久，他的學派在歐幾裡得的《綱要》中提出一個見解，其要點之一是使數學從&ldquo算術&rdquo的可通約性或有理數的假定中解放出來。
（5）柏拉圖自己對這個發展作出了貢獻，特别是對立體幾何學的發展作出了貢獻。
（6）尤其是他在《蒂邁歐篇》中對以前的純算術的原子論給予一種明确的幾何學論述；這是用體現了無理數2的平方根和3的平方根的三角形來創立的基本粒子（著名的柏拉圖的物體）的說明。
（參見以下說明。
）除此以外，他在其他方面大都保留了畢達哥拉斯的觀點以及德谟克利特的某些重要觀點。
(45)同時，他試圖去除德谟克利特的虛空；因為他認識到(46)即使在一個&ldquo滿&rdquo的世界裡仍可能有運動，如果把液體中的旋渦看作是運動性質的話。
這樣，他又保留了巴門尼德的某些最重要的觀點。
(47) （7）柏拉圖鼓勵制造世界的幾何模型，特别是解釋行星運動的模型。
我認為歐幾裡得的幾何學并非（如現在通常所假定的）作為一種純幾何學的運用，而是作為一種世界理論的研究原則。
按照這個觀點，《綱要》并不是一部幾何學教科書，而是試圖系統地解決柏拉圖的宇宙論的主要問題。
這樣做獲得了很大成就，因而許多問題解決之後就不複存在，而且幾乎都被忘卻了；雖然在普羅克勒斯的著作中仍然留有痕迹，他寫道：&ldquo有些人認為歐幾裡得各種著作的主題是關于宇宙的，它們的主旨是幫助我們對宇宙的思考并建立宇宙理論&rdquo（本書注(39)所引書，第71頁）。
然而，甚至普羅克勒斯在這個地方也并未提到這個主要問題&mdash&mdash無理數問題（雖然他在别處提到）；不過他正确地指出，《綱要》以&ldquo宇宙&rdquo的構造或&ldquo柏拉圖的&rdquo正多面體結束。
自從(48)柏拉圖和歐幾裡得以後，而不是以前，幾何（而不是算術）方才在物質理論和宇宙論中，表現為一切物理解釋和描述的基本工具。
(49) Ⅸ 這些都是曆史事實。
我認為它們大有助于确立我的主要論點：我所謂講授哲學的初看有效的方法不能導緻對柏拉圖所關心的問題的理解，也不能使人正确地評價他的世界幾何理論，而這可以公正地說成是他最偉大的哲學成就。
文藝複興時期的偉大物理學家&mdash&mdash哥白尼、伽利略、開普勒、吉爾伯特，他們離開亞裡士多德轉向柏拉圖，企圖用宇宙論的幾何方法來代替亞裡士多德的質的實體或潛能。
的确，這就是文藝複興（在科學上）的基本意義：幾何方法的複興，它成為歐幾裡得、亞裡斯塔克斯、阿基米德、哥白尼、開普勒、伽利略、笛卡兒、牛頓、麥克斯韋和愛因斯坦著作的基礎。
但是，說這個成就是哲學的成就，這合适嗎？它不是更應屬于物理學&mdash&mdash一種事實科學；或者純數學&mdash&mdash如維特根斯坦學派所主張的，即重言式邏輯的一個分支嗎？ 我認為在這個階段，我們可以非常清楚地看到為什麼柏拉圖的成就（盡管它無疑有着物理學的、邏輯的、混合的以及不能感知的成分）是一種哲學的成就；為什麼至少他的自然哲學和物理學的哲學部分經久不衰，而且我認為将是永不衰竭的。
我們在柏拉圖以及他的先驅者們中間所發現的是有意識的構造和發明對于世界和世界知識的一種新的研究方法。
這個研究方法把一種原始的神學觀念（即用一種假設的無形世界來解釋有形世界），(50)改變為理論科學的一個基本工具。
這個觀念被阿那克薩哥拉和德谟克利特(51)作為研究物質或物體本性的原則而明确地闡述出來；用關于無形的、小得看不見的物質結構的假設來解釋可見的物質。
在柏拉圖的學說裡這個觀點是自覺地被接受了，并普遍推廣了；變化的可見世界最後是以具有各種不變&ldquo形式&rdquo（或實體，或本質，或本性；即我将試圖詳細表明的幾何形狀或圖形）的看不見的世界來解釋的。
這種關于物質的看不見的結構的觀念，是一個物理的觀念還是一個哲學的觀念呢？如果一個物理學家，僅僅根據這個理論行事，如果他接受這個理論（或許是不自覺地），通過把他的學科的傳統問題作為他所碰到的問題狀況提供的問題來接受，如果他這樣做，并提出一個新的特殊的物質結構的理論，那麼我是不能把他叫做哲學家的。
但如果他考慮它，并且比如駁斥它（就像貝克萊或馬赫），不贊成這種理論的并有點像神學的研究方法，而贊成一種現象學的或實證主義的物理學，那麼他就可以稱得上一個哲學家。
同樣，那些自覺地探尋理論的方法，建立這種方法，并明白地加以陳述，從而把這種假設的和演繹的方法從神學改為物理學，他就是哲學家，盡管就他們根據自己的規則行事并試圖拿出關于看不見的物質結構的真實理論而言，他們又是物理學家。
但是，我對這種正确使用&ldquo哲學&rdquo标簽的問題不準備再講下去了，因為這個問題即維特根斯坦的問題，顯然本來是一種語言用法的問題；它的确是一個假問題，必然會很快地使我的聽衆感到厭煩。
然而，我願意對柏拉圖的形式或理念論再說幾句，或者說得更确切一點，對上面指出的曆史事實的第六點再說幾句。
柏拉圖的物質結構的理論可以在《蒂邁歐篇》中找到。
它和現代用晶體論解釋固體的理論至少有表面上的相似。
他的物體是由不同形狀的看不見的基本粒子所組成，可見物質的可見性質就是根據這些形狀來的。
基本粒子的形狀又是為形成它們各邊的平面圖形的形狀所決定的。
這些平面圖形最後又是由兩個基本三角形所組成：相當于半個正方形的（或等腰直角的）三角形，和相當于半個等邊三角形的直角三角形，前者具體表現了2的平方根，後者具體表現了3的平方根，兩者都是無理數。
這些三角形又被說成是不變的&ldquo形式&rdquo或&ldquo理念&rdquo的摹本；(52)這意味着屬于幾何的&ldquo形式&rdquo獲準進入畢達哥拉斯的&ldquo算術&rdquo的形式數的天門。
可以肯定，這種結構的用意是試圖把無理數和構成世界的最基本元素結合起來，以解決原子論的危機。
一旦解決了這個問題，由于無理距離的存在而引起的困難就克服了。
但是，柏拉圖為什麼僅僅選擇了這兩個三角形呢？作為一種猜測，我曾在别處(53)說明了這個觀點，即柏拉圖認為所有其他無理數可以通過有理數加上2和3的方根的倍數而獲得。
(54)我現在更加感到自信，《蒂邁歐篇》中的關鍵性段落确實意味着這個理論（歐幾裡得後來指出它是錯誤的）。
因為在我們提到的這段文字裡，柏拉圖清楚地說到，&ldquo所有三角形都是從兩個三角形合成的，這兩個三角形各有一個直角&rdquo，他繼續把這兩個三角形詳細說成是半個正方形和半個等邊三角形。
但是從上下文看來，這隻能意味着所有三角形都可以由這兩者合成，而這個觀點等于下述錯誤理論：所有無理數跟有理數與2和3的方根之和具有相對可通約性。
(55) 但是，柏拉圖并沒有自命對這讨論的理論找到證明。
相反，他說他假定這兩個三角形為本原，&ldquo是同一種把猜測與必然性聯系在一起的說明相符合的&rdquo。
不久以後，他以半個等邊三角形作為他的第二個本原來解釋時，他說：&ldquo這個理由是很複雜的，但是如果任何人竟然探索這個問題，并證明它具有這個性質（我假定所有其他三角形都可以由這兩個所組成），那麼，我們都願意他是得獎者&rdquo。
(56)這句話有點含糊，大概柏拉圖意識到他關于這兩個三角形的（錯誤）猜測還缺少證明，他感到應由别人來加以補充。
看來，這段文字的含糊不清産生了一個奇怪效果，就是柏拉圖明明說選擇三角形是把無理數引入他的形式世界，但是他的讀者和評論者都沒有注意到，盡管柏拉圖在其他地方也強調了無理性問題。
而這反過來或許可以說明為什麼柏拉圖的形式論在亞裡士多德看來與畢達哥拉斯的形式&mdash數的理論(57)基本上是一樣的，以及為什麼柏拉圖的原子論在亞裡士多德看來僅僅是德谟克利特原子論的一個比較次要的改變。
(58)亞裡士多德盡管把奇數和偶數與算術的聯系，以及無理數與幾何的聯系，都認為是理所當然的，但并沒有認真對待無理數的問題。
《蒂邁歐篇》中柏拉圖的空間和物質是等同的；從亞裡士多德對《蒂邁歐篇》的這個解釋來看，他似乎已認為柏拉圖對幾何學的改革方案是理所當然的；這在亞裡士多德進入學園以前已由歐多塞斯部分地實現了，亞裡士多德隻是表面上對數學感到興趣。
他從未提到過學園大門上的題詞。
總括起來，大約柏拉圖的形式論和物質論都是他的先驅者即畢達哥拉斯和德谟克利特各自的理論的重述，因為柏拉圖認識到無理數要求把幾何學放在算術之前。
為了促進這種解放，柏拉圖對歐幾裡得體系的發展作了貢獻，建立了最重要的和最有影響的演繹理論。
由于他采用幾何學作為世界的理論，他就為阿裡斯塔克斯、牛頓和愛因斯坦裝備了智慧的工具箱。
這樣，希臘原子論的一場災難就轉變為一個重大的成就。
但是，柏拉圖的科學興趣卻部分地被人遺忘了。
科學上的問題狀況引起柏拉圖的哲學問題，這很少為人理解。
而柏拉圖的最偉大的成就，關于世界的幾何理論，對我們的世界圖景的影響是這樣大，以緻我們不假思索就認為是理所當然的了。
Ⅹ 一個例子是決不夠的。
我從許多有趣的可能性中選擇了康德作為第二個例子。
他的《純粹理性批判》是一本最難讀的書。
康德非常匆忙地寫了這本書；(59)他讨論的問題，我将試圖表明，不僅是不能解決的，而且也是被誤解了的。
不過它不是一個假問題，而是當時科學現狀所引起的一個無法避免的問題。
他的書是為那些懂得點關于牛頓星球動力學以及至少對牛頓的前輩&mdash&mdash哥白尼、第谷·布拉埃、開普勒和伽利略的某些思想有所了解的人而寫的。
對我們今天的知識分子來說，像我們這樣被科學的勝利景象所寵壞而感到厭倦的人，或許難以認識到牛頓理論不僅對康德、而且對任何一個18世紀思想家具有怎樣的涵義。
古人以無比的勇氣試行解決宇宙之謎，中間經過長期的衰落和複蘇，然後取得了驚人的成就。
牛頓發現了這個長期探尋的秘密。
他的幾何理論以歐幾裡得為基礎和模型，開頭是引起人們極大疑慮的，連它的創始人也感到擔心。
(60)原因是萬有引力被認為是&ldquo神秘的&rdquo，至少是需要解釋的一種東西。
雖然沒有找到言之有理的解釋（牛頓也不屑于求助于特定的假設），但遠在康德對牛頓的理論作出他自己的重要貢獻以前，即在《原理》發表78年後，所有的疑慮都早已消失了。
(61)任何有資格的科學現狀的判斷者(62)都不再懷疑牛頓的理論是真實的了。
這個理論已為許多精确的測量檢驗過，證明總是對的。
它導緻預言開普勒定律的細微偏差，并導緻新的發現。
在我們這樣一個時代，許多理論就像皮卡迪利大街上的公共汽車一樣來來往往，而且每個學生都聽到牛頓早已為愛因斯坦所代替的時候，人們很難重新獲得牛頓理論所引起的那種确信不移的感覺，那種歡欣鼓舞的感覺和解放的感覺。
在思想史上出現了一個永遠不會重複的獨一無二的事件：關于宇宙的絕對真理的最初的和最終的發現。
一個古老的夢想成為事實了。
人類獲得了知識，真正的、确實的、無可懷疑的和可證明的知識&mdash&mdash神聖的科學或認識，而不隻是人們的意見。
這樣，對于康德來說，牛頓的理論完全是正确的，在康德死後一個世紀内，人們對牛頓學說的真理性的信念始終沒有動搖過。
康德最後承認他和所有其他人曾誤以為事實上科學或認識已完成。
起初，他毫不懷疑地承認這個事實。
他把這種狀态叫做&ldquo獨斷論的沉睡&rdquo。
休谟把他從睡夢中喚醒了。
休谟曾經教導說，關于宇宙規律的确實知識或認識這樣的東西是沒有的，我們知道的一切事物都是靠觀察獲得的，而觀察隻能是單獨的（或特殊的）事例，因此一切理論知識都是不确定的。
他的論證是可信服的（并且他當然是正确的）。
然而有一個事實，或者說一個表面的事實&mdash&mdash牛頓對認識的完成。
休谟喚醒了康德，使他認識到他從不懷疑是事實的東西是近乎荒謬的。
這裡有一個不能排除的問題。
一個人怎能掌握這樣的知識？這種知識是普遍的、精确的、數學的、可證明的和無可懷疑的，像歐幾裡得幾何學那樣，而且還能解釋觀察事實的原因。
這樣就引起了《純粹理性批判》的中心問題：純自然科學怎樣才可能呢？所謂純自然科學&mdash&mdash科學，認識&mdash&mdash康德認為就是牛頓的理論。
不幸的是，他并沒有這樣說；我不知道閱讀他的第一部《批判》（1781和1787年版）的學生怎麼可能發現它。
但是康德考慮到牛頓的理論是很清楚的，在1786年的《自然科學的形而上學基礎》中，他給予牛頓理論一個先