第6章 論主體的第三類客體以及充足根據律在這類客體中起支配作用

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識根據隻表明它們的共存。

    而且我們甚至還主張,通常的證明方法隻能在作為一個例子所給予我們的一個實際圖形中使我們相倍它們的共存,而不是無論如何總是共存的;因為,由于沒有表明這種必然聯系,我們對于這種真理性所得到的信任就隻能依賴于歸納法,依賴于這樣一個事實:我們發現它在我們所劃的每一個圖形中都是如此。

    存在根據并不是在任何情況下,都像在歐幾裡德第六定理這樣一個簡單的定理中一樣顯而易見,但我仍然相信在每一定理中都可使之明白易見,無論它多麼複雜,命題總能還原到某一這種簡單的直觀。

    另外,我們先天地意識到空間的每一關系的這種存在根據的必然性,同我們先天地意識到每一變化之原因的必然性是完全一緻的。

    當然,在複雜的定理中,要揭示存在根據是很難的,但這種研究不是對幾何學研究而言的。

    因此,為使我所說的意義顯得更明白,我現在将要把一個具有适當難度的命題之存在根據找出來,這個命題的根據不是十分明顯的。

    作為一個不十分直接的定理,我以定理十六為例: &ldquo在任何一個三角形中,延長一邊,所成外角大于其他兩個内角中的任何一個。

    &rdquo 歐幾裡德的證明如下:&mdash&mdash &ldquo假設abc是一個三角形;延長bc邊到d,那麼,外角acd将大于任何一個與之相對的内角bac或cba。

    作ac邊中點e,連接be并延長至f,使ef=eb,連接fc。

    延長ac到g。

    由于ae=ec,be=ef;兩邊ae,eb分别等于兩邊ce、ef;Eaeb=Ecef(對頂角相等);因此底邊ab=底邊cf,Faeb全等于Fcef。

    全等三角形中等邊所對應的其餘兩角分别對應相等;因此,Ebae=Eecf。

    但Eecd>Eecf,因此,Eacd>Ebac。

    &rdquo &ldquo同樣,假如bc邊等分為二,ac邊延長到g,可以證明Ebcg,即對頂角acd>Eabc。

    &rdquo 我對于這一命題的證明如下:&mdash&mdash 若要Ebac等于Eacd,更不用說>Eacd,線ba對于ca 就要與bd一樣在同一方向上(因為這就是兩角相等的含義),即它必須要與bd平行;就是說,ba和bd必須永不相交;但是,要形成一個三角形,就必須讓它們相交(存在根據),因而必定跟我們要證明的Ebac=Eacd所要求的條件相反。

     若要Eabc等于Eacd,更不用說>Eacd,線ba必須要對于bd與ac處在同一方向上(因為這就是兩角相等的含義),即它必須與ac平行,就是說,ba和ac必須永不相交;但要形成三角形,ba和ac必須相交,這樣就必定跟我們要證明的Eabc=Eacd所要求的條件相反。

     我作了以上說明,并非有意提出一個數學論證的新方案,也不是要用我的證明取代歐幾裡德的證明,因為這一證明的本質并不适合于此,而且事實上它事先假定了平行線的概念,平行線的概念在歐幾裡德那裡出現得較晚。

    我隻是希望表明存在根據是什麼,因而說明它與認識根據的不同,認識根據隻産生确證,這與認識存在根據是完全不同的一件事。

    幾何的唯一目的在于産生确證,正如我所說,在這種情況中,會給人留下一種不适感,絲毫無助于認識存在的根據&mdash&mdash這種認識同一切認識一樣,是令人滿意愉悅的&mdash&mdash這一事實,或許是其他方面的傑出人物之所以如此讨厭數學的原因之一。

     我不禁又要給出圖,雖然它已在别的地方出現過:因為毋庸語言而隻靠視覺,對于畢達哥拉斯定理的真理性所傳達的說服力就要比歐幾裡德的陷井式論證(反證法)強出十倍。

     對本章有特别興趣的讀者在我的代表作《作為意志和表象的世界》第一卷第15節和第二卷第13章中,可以找到更詳盡的論述。