第四十七章數學
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錄》、時曰醇《求一術指》、黃宗憲《求一術通解》等，對于大衍求一術（一次同餘組）和百雞問題（不定方程）重新進行了研究和闡發，澄清了古算中陳述不清的一些問題，特别是黃宗憲還改進了古代的一些算法。
乾隆嘉慶時期著名學者焦循（1763&mdash1820）著《加減乘除釋》，使用甲、乙、丙、丁等文字代表不同的具體數字，分析《九章算術》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《緝古算經》中各種算法的規律，提出了一些有關加減乘除的基本運算律，如加法交換律和結合律，乘法交換律、結合律及分配律，整指數的二項式定理等，向着理論算術的發展邁出了重要的一步。
乾隆嘉慶時代的學者通過整理和研究古代算書的辛勤勞動，使瀕于湮沒無聞的數學典籍重放光芒，為後世研究古代數學發展史和了解祖國古代數學的輝煌成就，保存了極為寶貴的文獻，這是乾嘉學派的重大功績。
但可惜的是，由于社會條件和指導思想的不同，中國乾嘉時期整理和研究古典文獻的熱潮，并沒有像歐洲文藝複興時期那樣對包括數學在内的科學發展起到應有的推動作用。
這一時期還有一部重要作品，就是阮元主編，李銳和周治平協助編撰的《疇人傳》46卷（1799年）。
在封建史家編撰的正史中，極少為科學家或技術專家專門立傳。
《疇人傳》則完全是數學家和天文學家的傳記，着重表彰他們卓越的科學成就，這在中國曆史上是一件創舉。
全書收集曆代數學家和天文學家二百四十三人，而把西方人士三十七人作為附錄，記載了他們的生平事迹和科學成就。
在有些人的傳記之後，還有簡短的評論。
《疇人傳》對于研究中國古代數學和天文學是很有參考價值的資料，其中對一些數學家和天文學家的評價也相當精辟。
但書中也有不少内容反映了阮元的封建保守的陳腐觀點。
《疇人傳》編成之後，又有一些人繼續這項工作。
羅士琳撰《疇人傳續編》6卷（1840年），論述當時學者的生平和成就，内容比較翔實。
華世芳撰《近代疇人著述記》（1884年），所記很簡略。
諸可寶撰《疇人傳三編》7卷（1886年），所收史料和當時社會上的評價也比較可靠。
黃鐘駿撰《疇人傳四編》11卷和附卷1卷（1898年），雖然所收人數較多，但很多人并非是數學家或天文學家，有些著作也早已失傳，内容無從查考，因此《四編》的質量遠不如前幾編。
第五節 方程論 對方程論中高次方程實根個數判定問題的研究，是乾隆嘉慶時期中國數學家的重要成果之一。
宋元時代數學家賈憲、秦九韶等，創造和發展了“增乘開方法”，解決了高次方程正實根的求解問題，但是對于該方程是否還有其他的根，方程根與系數之間的關系，則沒有進行過探讨。
清代數學家李銳、汪萊、焦循經常通信或在一起讨論數學和天文學問題，當時被譽為“談天三友”。
汪萊（1768&mdash1813），字孝嬰，号衡齋，安徽歙縣人，著作有《衡齋遺書》9卷和《衡齋算學》7冊。
首先提出一個方程可能存在不隻一個正根，并通過與李銳的讨論，提出一套“審有無”（即判别方程是否存在正根）的方法。
他的結論包括：對于二次方程x2-px+q=0，當&le時，方程有正根；＞時，無正根。
對于三次方程q(p2)q(p2)x-px+q223=0qp2p，當&le·時，方程有正根，否則無正根。
這兩個結果與現在33判定二次方程與三次方程存在正實根的判别式p2-4q&ge0與4p3-27q&ge0是一緻的。
汪萊研究了xn-pxm+q=0類型的高次方程有無正實根的判定方法，上述兩種判别式是這種判定方法的特例①。
李銳（1769&mdash1817），字尚之，号四香，江蘇元和（今蘇州市）人，著作有《李氏算學遺書》等。
他在與汪萊讨論過程中，進一步發展了汪萊的成果，總結出下列幾條規律：設有方程a0xn+a1xn-1+..+an-1x+an=0，則1.方程系數有一次變号時，此方程有一個正根；2.方程系數有二次變号時，此方程可有兩個正根；3.方程系數有三次變号時，此方程有三個或一個正根；4.方程系數有四次變号時，此方程可有四個或兩個正根。
其中2，4這兩種情形，方程可能不存在正根，但在李銳《開方說》中不予讨論②。
這些結論與現在所謂“笛卡兒符号法則”是一緻的。
此外，李銳還首次提出了方程的重根問題。
他還指出：方程“不可開，是為無數。
凡無數必兩，無無一數者”①。
當時雖然還沒有虛根的概念，但他的這一結論為高次方程可能存在虛根（或複數根）和虛根成對的情況，以及方程根的個數問題等代數學基本問題，提供了進一步研究的廣闊餘地。
李銳和汪萊關于高次方程實根個數判定問題的研究成果，雖然在時間上晚于西方，但他們突破了宋元數學的原有範圍，開辟了方程理論研究的新方向，特别是他們在中國數學史上最早開創了帶有純理論性質的研究課題，并獨立取得了一定的成就，這無疑應該給以充分的肯定。
①汪萊：《衡齋算學
乾隆嘉慶時期著名學者焦循（1763&mdash1820）著《加減乘除釋》，使用甲、乙、丙、丁等文字代表不同的具體數字，分析《九章算術》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《緝古算經》中各種算法的規律，提出了一些有關加減乘除的基本運算律，如加法交換律和結合律，乘法交換律、結合律及分配律，整指數的二項式定理等，向着理論算術的發展邁出了重要的一步。
乾隆嘉慶時代的學者通過整理和研究古代算書的辛勤勞動，使瀕于湮沒無聞的數學典籍重放光芒，為後世研究古代數學發展史和了解祖國古代數學的輝煌成就，保存了極為寶貴的文獻，這是乾嘉學派的重大功績。
但可惜的是，由于社會條件和指導思想的不同，中國乾嘉時期整理和研究古典文獻的熱潮，并沒有像歐洲文藝複興時期那樣對包括數學在内的科學發展起到應有的推動作用。
這一時期還有一部重要作品，就是阮元主編，李銳和周治平協助編撰的《疇人傳》46卷（1799年）。
在封建史家編撰的正史中，極少為科學家或技術專家專門立傳。
《疇人傳》則完全是數學家和天文學家的傳記，着重表彰他們卓越的科學成就，這在中國曆史上是一件創舉。
全書收集曆代數學家和天文學家二百四十三人，而把西方人士三十七人作為附錄，記載了他們的生平事迹和科學成就。
在有些人的傳記之後，還有簡短的評論。
《疇人傳》對于研究中國古代數學和天文學是很有參考價值的資料，其中對一些數學家和天文學家的評價也相當精辟。
但書中也有不少内容反映了阮元的封建保守的陳腐觀點。
《疇人傳》編成之後，又有一些人繼續這項工作。
羅士琳撰《疇人傳續編》6卷（1840年），論述當時學者的生平和成就，内容比較翔實。
華世芳撰《近代疇人著述記》（1884年），所記很簡略。
諸可寶撰《疇人傳三編》7卷（1886年），所收史料和當時社會上的評價也比較可靠。
黃鐘駿撰《疇人傳四編》11卷和附卷1卷（1898年），雖然所收人數較多，但很多人并非是數學家或天文學家，有些著作也早已失傳，内容無從查考，因此《四編》的質量遠不如前幾編。
第五節 方程論 對方程論中高次方程實根個數判定問題的研究，是乾隆嘉慶時期中國數學家的重要成果之一。
宋元時代數學家賈憲、秦九韶等，創造和發展了“增乘開方法”，解決了高次方程正實根的求解問題，但是對于該方程是否還有其他的根，方程根與系數之間的關系，則沒有進行過探讨。
清代數學家李銳、汪萊、焦循經常通信或在一起讨論數學和天文學問題，當時被譽為“談天三友”。
汪萊（1768&mdash1813），字孝嬰，号衡齋，安徽歙縣人，著作有《衡齋遺書》9卷和《衡齋算學》7冊。
首先提出一個方程可能存在不隻一個正根，并通過與李銳的讨論，提出一套“審有無”（即判别方程是否存在正根）的方法。
他的結論包括：對于二次方程x2-px+q=0，當&le時，方程有正根；＞時，無正根。
對于三次方程q(p2)q(p2)x-px+q223=0qp2p，當&le·時，方程有正根，否則無正根。
這兩個結果與現在33判定二次方程與三次方程存在正實根的判别式p2-4q&ge0與4p3-27q&ge0是一緻的。
汪萊研究了xn-pxm+q=0類型的高次方程有無正實根的判定方法，上述兩種判别式是這種判定方法的特例①。
李銳（1769&mdash1817），字尚之，号四香，江蘇元和（今蘇州市）人，著作有《李氏算學遺書》等。
他在與汪萊讨論過程中，進一步發展了汪萊的成果，總結出下列幾條規律：設有方程a0xn+a1xn-1+..+an-1x+an=0，則1.方程系數有一次變号時，此方程有一個正根；2.方程系數有二次變号時，此方程可有兩個正根；3.方程系數有三次變号時，此方程有三個或一個正根；4.方程系數有四次變号時，此方程可有四個或兩個正根。
其中2，4這兩種情形，方程可能不存在正根，但在李銳《開方說》中不予讨論②。
這些結論與現在所謂“笛卡兒符号法則”是一緻的。
此外，李銳還首次提出了方程的重根問題。
他還指出：方程“不可開，是為無數。
凡無數必兩，無無一數者”①。
當時雖然還沒有虛根的概念，但他的這一結論為高次方程可能存在虛根（或複數根）和虛根成對的情況，以及方程根的個數問題等代數學基本問題，提供了進一步研究的廣闊餘地。
李銳和汪萊關于高次方程實根個數判定問題的研究成果，雖然在時間上晚于西方，但他們突破了宋元數學的原有範圍，開辟了方程理論研究的新方向，特别是他們在中國數學史上最早開創了帶有純理論性質的研究課題，并獨立取得了一定的成就，這無疑應該給以充分的肯定。
①汪萊：《衡齋算學