第四十七章數學
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》第5冊，第7冊。
②李銳：《開方說》，見《李氏算學遺書》。
①李銳·《開方說》，見《李氏算學遺書》。
第六節 初等函數的幂級數展開式 明末《崇祯曆書》中已經介紹了三角函數表的編造方法，即所謂六宗、三要和二簡法。
這種造表法利用普通三角函數關系公式推算，相當繁瑣，并且也不能算出任意角的三角函數值。
此後陸續有人研究這一問題，但未取得重大突破。
清初康熙年間，法國傳教士杜德美（P.Jartoux，1668&mdash1720）曾介紹三個無窮級數公式，當時稱之為“圓徑求周”、“弧背求正弦”和“弧背求正矢”，相當于圓周率&pi的展開式以及正弦和正矢的幂級數展開式：p=++++ìí.üyt3114313451354722222223.!!!·····.，sin!!!!!xxxxxversxxxx=-+-+=-+-131517121416!357246.，.．梅瑴成将其記載在《梅氏叢書輯要》的附錄《赤水遺珍》中。
這些公式提供了計算任意角度三角函數值的簡捷算法，受到當時數學家的歡迎。
但由于杜德美沒有給出這三個公式的證明，因而造成了理解上的困難。
首先對此進行深入研究的是蒙古族數學家和天文學家明安圖。
明安圖，字靜庵，蒙古族正白旗人，生年不詳，約卒于1763年。
畢生在欽天監從事天文工作，曾任時憲科五官正，晚年升任欽天監監正。
他經過30餘年的不懈努力，把中國古代數學與引進的西方數學結合起來，創造了割圓連比例法和級數回求法，終于圓滿地證明了上述三個公式，并且推導出另外六個公式，其中較重要的有反正弦和反正矢的幂級數展開式：arcsin!!!xxxx=++++113135135732252227···.，()!!arcversxxxxx221214126!1238!2222232224=++++ìí.üyt···.．明安圖的數學專著是《割圓密率捷法》4卷。
這部書在他生前未能完成，後由其學生和兒子續成出版（1774年）。
此外，他還曾參加編著《曆象考成》、《曆象考成後編》和《儀象考成》等重要天文學著作，并曾兩次親赴新疆地區測繪地圖，在天文學和地圖測繪學等方面作出了傑出的貢獻。
清代關于無窮級數的研究是一個相當活躍的領域。
明安圖之後，董祐誠（1791&mdash1823）在《割圓連比例圖解》中又采用不同方法得到了關于弧、弦、矢三者關系的四個公式，簡化了明安圖的結果。
項名達（1789&mdash1850）在《象數一原》中，又把這四個公式簡化成兩個公式。
項名達還和戴煦（1805&mdash1860）共同發現了指數為有理數的二項式定理。
在《外切密率》中，戴煦首先得到了正切、餘切、正割、餘割、反正切、反正割等三角函數和反三角函數的幂級數展開式。
李善蘭也進行了這方面的研究，但用的是他所發明的“尖錐術”。
徐有壬（1800&mdash1860）的《測圓密率》和《造表簡法》，則對于清代數學家關于三角函數展開式的研究成果，作了較為全面的總結。
此外，戴煦的《對數簡法》和李善蘭的《對數探源》，給出了自然對數的幂級數展開式。
由此可見，清代數學家已經基本上解決了初等函數的幂級數展開式問題。
雖然這些成果在時間上大多晚于西方數學家的同類成果，但這都是中國數學家刻苦鑽研獨立作出的貢獻，并且其中用到的數學方法已經有了微積分思想的萌芽，從而為順利接受解析幾何和微積分學等近代數學知識，實現由傳統數學向近代數學的演變，奠定了重要的思想基礎。
這一時期關于橢圓的研究也有了新進展。
項名達的《橢圓求周術》及戴煦為之補作的圖解，提出了正确的橢圓周長公式：paeee=----21121324135246222224222226p()······.，其中為橢圓離心率，，、分别為橢圓長、短半軸，其所用ee=ab2aba222-方法符合橢圓積分法則。
并據此推導出圓周率倒數公式：1121121324135246222222222p=----()······.．項、戴的這項工作是中國數學家關于二次曲線研究的最早的重要成果。
第七節 李善蘭的數學工作 李善蘭（1811&mdash1882），字壬叔，号秋紉，浙江海甯人，晚清時期的著名數學家、天文學家、翻譯家和教育家，我國近代科學的先驅者。
自幼愛好數學，青少年時代自學和研讀了許多中西數學和天文學典籍
②李銳：《開方說》，見《李氏算學遺書》。
①李銳·《開方說》，見《李氏算學遺書》。
第六節 初等函數的幂級數展開式 明末《崇祯曆書》中已經介紹了三角函數表的編造方法，即所謂六宗、三要和二簡法。
這種造表法利用普通三角函數關系公式推算，相當繁瑣，并且也不能算出任意角的三角函數值。
此後陸續有人研究這一問題，但未取得重大突破。
清初康熙年間，法國傳教士杜德美（P.Jartoux，1668&mdash1720）曾介紹三個無窮級數公式，當時稱之為“圓徑求周”、“弧背求正弦”和“弧背求正矢”，相當于圓周率&pi的展開式以及正弦和正矢的幂級數展開式：p=++++ìí.üyt3114313451354722222223.!!!·····.，sin!!!!!xxxxxversxxxx=-+-+=-+-131517121416!357246.，.．梅瑴成将其記載在《梅氏叢書輯要》的附錄《赤水遺珍》中。
這些公式提供了計算任意角度三角函數值的簡捷算法，受到當時數學家的歡迎。
但由于杜德美沒有給出這三個公式的證明，因而造成了理解上的困難。
首先對此進行深入研究的是蒙古族數學家和天文學家明安圖。
明安圖，字靜庵，蒙古族正白旗人，生年不詳，約卒于1763年。
畢生在欽天監從事天文工作，曾任時憲科五官正，晚年升任欽天監監正。
他經過30餘年的不懈努力，把中國古代數學與引進的西方數學結合起來，創造了割圓連比例法和級數回求法，終于圓滿地證明了上述三個公式，并且推導出另外六個公式，其中較重要的有反正弦和反正矢的幂級數展開式：arcsin!!!xxxx=++++113135135732252227···.，()!!arcversxxxxx221214126!1238!2222232224=++++ìí.üyt···.．明安圖的數學專著是《割圓密率捷法》4卷。
這部書在他生前未能完成，後由其學生和兒子續成出版（1774年）。
此外，他還曾參加編著《曆象考成》、《曆象考成後編》和《儀象考成》等重要天文學著作，并曾兩次親赴新疆地區測繪地圖，在天文學和地圖測繪學等方面作出了傑出的貢獻。
清代關于無窮級數的研究是一個相當活躍的領域。
明安圖之後，董祐誠（1791&mdash1823）在《割圓連比例圖解》中又采用不同方法得到了關于弧、弦、矢三者關系的四個公式，簡化了明安圖的結果。
項名達（1789&mdash1850）在《象數一原》中，又把這四個公式簡化成兩個公式。
項名達還和戴煦（1805&mdash1860）共同發現了指數為有理數的二項式定理。
在《外切密率》中，戴煦首先得到了正切、餘切、正割、餘割、反正切、反正割等三角函數和反三角函數的幂級數展開式。
李善蘭也進行了這方面的研究，但用的是他所發明的“尖錐術”。
徐有壬（1800&mdash1860）的《測圓密率》和《造表簡法》，則對于清代數學家關于三角函數展開式的研究成果，作了較為全面的總結。
此外，戴煦的《對數簡法》和李善蘭的《對數探源》，給出了自然對數的幂級數展開式。
由此可見，清代數學家已經基本上解決了初等函數的幂級數展開式問題。
雖然這些成果在時間上大多晚于西方數學家的同類成果，但這都是中國數學家刻苦鑽研獨立作出的貢獻，并且其中用到的數學方法已經有了微積分思想的萌芽，從而為順利接受解析幾何和微積分學等近代數學知識，實現由傳統數學向近代數學的演變，奠定了重要的思想基礎。
這一時期關于橢圓的研究也有了新進展。
項名達的《橢圓求周術》及戴煦為之補作的圖解，提出了正确的橢圓周長公式：paeee=----21121324135246222224222226p()······.，其中為橢圓離心率，，、分别為橢圓長、短半軸，其所用ee=ab2aba222-方法符合橢圓積分法則。
并據此推導出圓周率倒數公式：1121121324135246222222222p=----()······.．項、戴的這項工作是中國數學家關于二次曲線研究的最早的重要成果。
第七節 李善蘭的數學工作 李善蘭（1811&mdash1882），字壬叔，号秋紉，浙江海甯人，晚清時期的著名數學家、天文學家、翻譯家和教育家，我國近代科學的先驅者。
自幼愛好數學，青少年時代自學和研讀了許多中西數學和天文學典籍