第二十講 餘話
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“我們談邏輯談了這麼多次……關于它曆史演進的大概情形，似乎也應該提到一下。
”老教授說，“我已經說過，邏輯學的鼻祖是亞裡士多德。
亞裡士多德關于邏輯的研究收集在《工具論》裡。
自亞裡士多德以後，邏輯在中世紀沒有什麼進步。
中世紀學者對于亞裡士多德的邏輯，隻做了一些煩瑣的注釋工作。
這期間邏輯之所以沒有什麼進步，最大的原因是将邏輯的題材囿限于自然語言界域中，而沒有開辟那邏輯題材豐富的數學園地。
“到了十七世紀，德國數學家萊布尼茨（Leibnitz）提出普遍數學（mathesisuniversalis）和普遍語言（characteristicauniversalis）的觀念。
這算是開近代邏輯之先河。
可惜，萊布尼茨隻提了一個頭，他并沒有把他的想法發展出來。
到了十九世紀，英國數學家喬治·布爾出現，才開始大規模地正式用數學方法研究邏輯。
從他開始，邏輯和純數學才逐漸合流。
邏輯上有名的布爾代數（BooleanAlgebra）就是布爾創建的。
他在這方面的重要著作有《邏輯之數學的解析》（MathematicalAnalysisofLogic），一八四七年出版；《思考規律》（LawsofThought），一八五四年出版。
那個時候，學者對于邏輯的性質沒有現在這麼清楚。
邏輯的研究受哲學上的知識論甚至于形而上學的影響。
哲學家多以為邏輯是思維之學，所以，布爾的邏輯書，也被冠以思考規律的名稱。
其實，這本書所講的内容，與思考之心理曆程毫不相幹，與思考之知識論的問題也毫不相幹，而主要是邏輯之代數學的表示。
繼布爾而起的，有德國數學家施羅德。
他在這方面的著作，有三巨冊的《邏輯代數學》（AlgebraderLogik）。
“布爾以後，最大的邏輯家是弗雷格（GottlobFrege）。
弗雷格是十九世紀中葉到二十世紀初葉的人。
他的貢獻頗多，有邏輯系統構造方法、語句演算、語句函數、量化項（Quantifiers）、推論規律，并從邏輯推出算術等。
因為弗雷格的著作艱深，所用符号繁雜，所以不大為同時的人所知悉，甚至被人誤解。
” “學者常有這類不幸。
”王蘊理說。
“是的……到了本世紀，由于羅素之發現，弗雷格大為受人重視。
現在，弗雷格的著作被翻譯出來，學理一一被人介紹與闡釋。
時至今日，研究邏輯與數學基礎的人，沒有不研究弗雷格的。
比弗雷格稍晚的，有意大利的皮亞諾（G.Peano），他對邏輯代數學有所革新。
“到了二十世紀，羅素和懷特海出現。
他們的工作，主要系集十九世紀以來數理邏輯諸研究的大成。
二人合著《數學原理》。
這部著作，凡三巨冊，被公認為亞裡士多德的《工具論》以後邏輯研究中的裡程碑。
這部著作實證地證明，用系統建構的方法，可以把全部純數學從邏輯推論出來。
這部著作對于現代純數學家與邏輯家發生了決定性的激勵作用。
由于羅素的倡導，四十年來，從事數學基礎與邏輯研究的西方學者，數目一天比一天多。
“自從《數學原理》問世以來，邏輯的研究呈現一種分殊（ramification）的趨勢。
在羅素以後，最堪注意的，而且影響最大的人物有三個：一個是羅素的門人路德維希·維特根斯坦。
他的重要著作是《邏輯哲學論》（TractatusLogico&ndashPhilosophicus）。
現代邏輯中最有影響的套套邏輯（tautology）概念，是他明顯地提出的。
維特根斯坦之倡導，促成維也納學派（ViennaCircle）之興起。
由于維也納學派之興起，促成解析哲學之創建。
還有一個是奧國邏輯家哥德爾（K.Gödel），另外一個是卡爾納普（R.Carnap）。
哥德爾的重要貢獻是不全定理
”老教授說，“我已經說過，邏輯學的鼻祖是亞裡士多德。
亞裡士多德關于邏輯的研究收集在《工具論》裡。
自亞裡士多德以後，邏輯在中世紀沒有什麼進步。
中世紀學者對于亞裡士多德的邏輯，隻做了一些煩瑣的注釋工作。
這期間邏輯之所以沒有什麼進步，最大的原因是将邏輯的題材囿限于自然語言界域中，而沒有開辟那邏輯題材豐富的數學園地。
“到了十七世紀，德國數學家萊布尼茨（Leibnitz）提出普遍數學（mathesisuniversalis）和普遍語言（characteristicauniversalis）的觀念。
這算是開近代邏輯之先河。
可惜，萊布尼茨隻提了一個頭，他并沒有把他的想法發展出來。
到了十九世紀，英國數學家喬治·布爾出現，才開始大規模地正式用數學方法研究邏輯。
從他開始，邏輯和純數學才逐漸合流。
邏輯上有名的布爾代數（BooleanAlgebra）就是布爾創建的。
他在這方面的重要著作有《邏輯之數學的解析》（MathematicalAnalysisofLogic），一八四七年出版；《思考規律》（LawsofThought），一八五四年出版。
那個時候，學者對于邏輯的性質沒有現在這麼清楚。
邏輯的研究受哲學上的知識論甚至于形而上學的影響。
哲學家多以為邏輯是思維之學，所以，布爾的邏輯書，也被冠以思考規律的名稱。
其實，這本書所講的内容，與思考之心理曆程毫不相幹，與思考之知識論的問題也毫不相幹，而主要是邏輯之代數學的表示。
繼布爾而起的，有德國數學家施羅德。
他在這方面的著作，有三巨冊的《邏輯代數學》（AlgebraderLogik）。
“布爾以後，最大的邏輯家是弗雷格（GottlobFrege）。
弗雷格是十九世紀中葉到二十世紀初葉的人。
他的貢獻頗多，有邏輯系統構造方法、語句演算、語句函數、量化項（Quantifiers）、推論規律，并從邏輯推出算術等。
因為弗雷格的著作艱深，所用符号繁雜，所以不大為同時的人所知悉，甚至被人誤解。
” “學者常有這類不幸。
”王蘊理說。
“是的……到了本世紀，由于羅素之發現，弗雷格大為受人重視。
現在，弗雷格的著作被翻譯出來，學理一一被人介紹與闡釋。
時至今日，研究邏輯與數學基礎的人，沒有不研究弗雷格的。
比弗雷格稍晚的，有意大利的皮亞諾（G.Peano），他對邏輯代數學有所革新。
“到了二十世紀，羅素和懷特海出現。
他們的工作，主要系集十九世紀以來數理邏輯諸研究的大成。
二人合著《數學原理》。
這部著作，凡三巨冊，被公認為亞裡士多德的《工具論》以後邏輯研究中的裡程碑。
這部著作實證地證明，用系統建構的方法，可以把全部純數學從邏輯推論出來。
這部著作對于現代純數學家與邏輯家發生了決定性的激勵作用。
由于羅素的倡導，四十年來，從事數學基礎與邏輯研究的西方學者，數目一天比一天多。
“自從《數學原理》問世以來，邏輯的研究呈現一種分殊（ramification）的趨勢。
在羅素以後，最堪注意的，而且影響最大的人物有三個：一個是羅素的門人路德維希·維特根斯坦。
他的重要著作是《邏輯哲學論》（TractatusLogico&ndashPhilosophicus）。
現代邏輯中最有影響的套套邏輯（tautology）概念，是他明顯地提出的。
維特根斯坦之倡導，促成維也納學派（ViennaCircle）之興起。
由于維也納學派之興起，促成解析哲學之創建。
還有一個是奧國邏輯家哥德爾（K.Gödel），另外一個是卡爾納普（R.Carnap）。
哥德爾的重要貢獻是不全定理