第七講 語句和類
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我們這樣說，也許容易引起大家産生一個想法，以為所謂類，就是分子之集合。
如果我們這樣想，那麼就是把思想泥陷于常識之中，因而未免有時失之粗忽。
因為一個類（class），并不僅僅是一堆分子之集合（collection）。
一堆東西之集合，更不容易說是一個類。
例如，把豬猡、孔雀、電燈和鋼筆堆在一起，我們簡直說不出這一堆是什麼類。
另外，我們所經驗到的大多數的類固然有分子，但是并非所有的類都有分子。
例如，恐龍、獨角獸、現在法國的王，等等，都無任何分子可言。
“我們現在可用符号來表示許多類，以及類與類之間的關系，小楷字母a、b、c分别用來表示任何類。
相等記号‘=’表示一種關系。
如果a=b，而且b=a，那麼a和b二者是同一的。
這也就是說，在此a的分子即b的分子，而且b的分子即a的分子。
等邊三角形的類之分子即等角三角形的類之分子。
反之亦然。
記号‘×’，表示邏輯積（logicalproduct）。
a×b這個類為既是a又是b之類。
記号‘＋’表示邏輯和（logicalsum），a＋b為a或b之類。
記号‘－’表示‘非’。
a×－b意即，是a而又非b的類。
記号‘○’表示沒有分子的類，記号‘I’表示論域。
依此，我們可以表示一些不同的類。
”而老教授在紙上慢慢畫着、寫着： “可是，無論空類或全類都是獨類（uniqueclass）。
”老教授說，“所謂獨類，意即沒有兩個與之相同的類。
依此，沒有兩個空類，也沒有兩個全類。
空類隻有一個，全類也隻有一個。
” “在實際上，有這樣的類嗎？”王蘊理問。
“有的。
”老教授點點頭，“地球就是獨類。
在一方面，地球自成一類。
在另一方面，宇宙間沒有兩個行星叫作地球，所以它是獨類……”老教授說到這裡又寫下去： “吳先生，最後這四條，不就是您在上面已經說過的E、I、A、O四種語句嗎？”王蘊理問。
“對了！對了！你看出來了！”老教授很高興，“我在這裡所寫的最後四條，正是上述四種語句之邏輯代數學（algebraoflogic）的表示。
換句話說，我是用邏輯代數學的方式來表示E、I、A、O四種語句的。
這種表現方式便于演算些。
……除此以外，還有一種好處，即E與I是相反的，A與O也是相反的。
這兩對語句之相反，在符号方式上可以一目了然。
是不是？” “什麼叫作邏輯代數學呢？吳先生！”周文璞問。
“這個……等我們以後有機會再說。
……除了上述以邏輯代數學的方式表示類以及類與類之間的關系以外，我們還可以用圖解方法來表示。
現在我們可以試試。
”老教授換了一張紙連寫帶畫： 表示除a以外皆是非a。
圓圈以内系a的範圍，圓圈以外方形以内的範圍系非a的範圍。
a與非a二者共同構成一個論域。
在此論域以内，除了a便是非a，除了非a便是a。
如以a代表任何東西，那麼我們談及任何東西，不能既不是a又不是非a。
a或非a，二者必具其一。
一棵樹，要麼是活的，要麼不是活的；總不能既活又不活。
所以，a與非a既然互相排斥，而又共同盡舉可能。
“上面所畫的，隻限于一個類a。
假定有a與b兩個類，那麼怎樣畫呢？”老教授提出這個問題，看了看他們兩個，然後又畫着： “請注意呀！”他說，“在這個圖解中，一共有兩個類，而每一個類又有正反兩面。
二乘二等于四。
于是，兩個類共有四個範圍。
計有1.a；2.ab；3.b；4.-a-b。
這也就是說：一、有是a而不是b的部分；二、有既是a而又是b的部分；三、有是b而不是a的部分；四、有既非a又非b的部分。
” “如果我們明白了這個構圖，那麼，就可以利用它來表示A、E、I和O四種語句了。
”老教授又興緻勃勃地換了一張紙畫着： a-b=○ 在這個圖解中，是a而非b的部分被黑線塗去了，結果，凡a皆b。
ab=○ 在此圖解中，既是a又是b的部分被塗去。
結果，沒有a是b。
ab&ne○ 既是a又是b的部分未被塗去。
“×”表示“有”。
即有些a是b。
a-b&ne○ 此圖表示，是a而又不是b者并非沒有。
即有些a不是b。
“這種圖解是邏輯家維恩（Venn）所用的，所以又叫作維恩圖解。
這種圖解法的妙處，就是利用空間關系來表示類的關系，可使我們一目了然。
……二位自己也可依樣畫葫蘆吧！”
如果我們這樣想，那麼就是把思想泥陷于常識之中，因而未免有時失之粗忽。
因為一個類（class），并不僅僅是一堆分子之集合（collection）。
一堆東西之集合，更不容易說是一個類。
例如，把豬猡、孔雀、電燈和鋼筆堆在一起，我們簡直說不出這一堆是什麼類。
另外，我們所經驗到的大多數的類固然有分子，但是并非所有的類都有分子。
例如，恐龍、獨角獸、現在法國的王，等等，都無任何分子可言。
“我們現在可用符号來表示許多類，以及類與類之間的關系，小楷字母a、b、c分别用來表示任何類。
相等記号‘=’表示一種關系。
如果a=b，而且b=a，那麼a和b二者是同一的。
這也就是說，在此a的分子即b的分子，而且b的分子即a的分子。
等邊三角形的類之分子即等角三角形的類之分子。
反之亦然。
記号‘×’，表示邏輯積（logicalproduct）。
a×b這個類為既是a又是b之類。
記号‘＋’表示邏輯和（logicalsum），a＋b為a或b之類。
記号‘－’表示‘非’。
a×－b意即，是a而又非b的類。
記号‘○’表示沒有分子的類，記号‘I’表示論域。
依此，我們可以表示一些不同的類。
”而老教授在紙上慢慢畫着、寫着： “可是，無論空類或全類都是獨類（uniqueclass）。
”老教授說，“所謂獨類，意即沒有兩個與之相同的類。
依此，沒有兩個空類，也沒有兩個全類。
空類隻有一個，全類也隻有一個。
” “在實際上，有這樣的類嗎？”王蘊理問。
“有的。
”老教授點點頭，“地球就是獨類。
在一方面，地球自成一類。
在另一方面，宇宙間沒有兩個行星叫作地球，所以它是獨類……”老教授說到這裡又寫下去： “吳先生，最後這四條，不就是您在上面已經說過的E、I、A、O四種語句嗎？”王蘊理問。
“對了！對了！你看出來了！”老教授很高興，“我在這裡所寫的最後四條，正是上述四種語句之邏輯代數學（algebraoflogic）的表示。
換句話說，我是用邏輯代數學的方式來表示E、I、A、O四種語句的。
這種表現方式便于演算些。
……除此以外，還有一種好處，即E與I是相反的，A與O也是相反的。
這兩對語句之相反，在符号方式上可以一目了然。
是不是？” “什麼叫作邏輯代數學呢？吳先生！”周文璞問。
“這個……等我們以後有機會再說。
……除了上述以邏輯代數學的方式表示類以及類與類之間的關系以外，我們還可以用圖解方法來表示。
現在我們可以試試。
”老教授換了一張紙連寫帶畫： 表示除a以外皆是非a。
圓圈以内系a的範圍，圓圈以外方形以内的範圍系非a的範圍。
a與非a二者共同構成一個論域。
在此論域以内，除了a便是非a，除了非a便是a。
如以a代表任何東西，那麼我們談及任何東西，不能既不是a又不是非a。
a或非a，二者必具其一。
一棵樹，要麼是活的，要麼不是活的；總不能既活又不活。
所以，a與非a既然互相排斥，而又共同盡舉可能。
“上面所畫的，隻限于一個類a。
假定有a與b兩個類，那麼怎樣畫呢？”老教授提出這個問題，看了看他們兩個，然後又畫着： “請注意呀！”他說，“在這個圖解中，一共有兩個類，而每一個類又有正反兩面。
二乘二等于四。
于是，兩個類共有四個範圍。
計有1.a；2.ab；3.b；4.-a-b。
這也就是說：一、有是a而不是b的部分；二、有既是a而又是b的部分；三、有是b而不是a的部分；四、有既非a又非b的部分。
” “如果我們明白了這個構圖，那麼，就可以利用它來表示A、E、I和O四種語句了。
”老教授又興緻勃勃地換了一張紙畫着： a-b=○ 在這個圖解中，是a而非b的部分被黑線塗去了，結果，凡a皆b。
ab=○ 在此圖解中，既是a又是b的部分被塗去。
結果，沒有a是b。
ab&ne○ 既是a又是b的部分未被塗去。
“×”表示“有”。
即有些a是b。
a-b&ne○ 此圖表示，是a而又不是b者并非沒有。
即有些a不是b。
“這種圖解是邏輯家維恩（Venn）所用的，所以又叫作維恩圖解。
這種圖解法的妙處，就是利用空間關系來表示類的關系，可使我們一目了然。
……二位自己也可依樣畫葫蘆吧！”