卷三十四

】 設如有銀大小共九百二十四錠重二百七十六兩大錠重三分兩之一小錠重七分兩之二問大小錠各若幹 法借一根為大錠數則小錠為九百二十四錠少一根因大錠重三分兩之一小錠重七分兩之二其分母不同乃以兩分母三與七相乗得二十一為共母數又以小錠分母七互乗大錠分子一得七即變三分之一為二十一分之七為大錠之重數又以大錠分母三互乗小錠分子二得六即變七分之二為二十一分之六為小錠之重數乃以一根與大錠分子七相乗得七根為大錠之重數以九百二十四錠少一根與小錠分子六相乗得五千五百四十四少六根為小錠之重數兩數相加得五千五百四十四多一根為共重數又各重數既皆通為二十一分則共重二百七十六兩亦以分母二十一通之得五千七百九十六是為五千五百四十四多一根與五千七百九十六相等五千五百四十四與五千七百九十六各減五千五百四十四則餘一根與二百五十二相等即大錠之共數與共九百二十四錠相減餘六百七十二為小錠之共數以大錠重三分兩之一與大錠共數相乗得八十四兩為大錠之共重數以小錠重七分兩之二與小錠共數相乗得一百九十二兩為小錠之共重數相加得二百七十六兩以合原數也【此和較比例法】 設如衆人雇船每人出銀一兩二錢則少四兩四錢每人出銀一兩五錢則多八兩二錢問人數及船價銀各若幹 法借一根為人數以一根與一兩五錢相乗得十五根則船價銀為十五根少八兩二錢又以一根與一兩二錢相乗得十二根則船價銀又為十二根多四兩四錢此二數為相等兩邊各加八兩二錢得十五根與十二根多十二兩多錢相等兩邊再各減十二根則餘三根與十二兩六錢相等三根既與十二兩六錢相等則一根必與四兩二錢相等前既借一根為人數則此四兩二錢即為四十二人為雇船之人數以每人出一兩二錢乗之得五十兩零四錢再加四兩四錢得五十四兩八錢為船價以每人出一兩五錢乗之得六十三兩減去八兩二錢亦為五十四兩八錢兩數相同也【此盈朒法】 設如有銀買緞二色下号緞每疋價銀八兩上号緞每疋價銀十一兩若俱買下号者則銀多二百九十六兩若俱買上号者則銀多三十二兩問緞數及銀數各若幹 法借一根為緞數以一根與十一兩相乗得十一根為上号緞共價則共銀為十一根多三十二兩又以一根與八兩相乗得八根為下号緞共價則共銀為八根多二百九十二兩此二數為相等兩邊各減三十二兩得十一根與八根多二百六十四兩相等兩邊再各減八根則餘三根與二百六十四兩相等三根既與二百六十四兩相等則一根必與八十八兩相等前既借一根為緞數則此八十八兩即為八十八疋為緞之總數以每疋八兩乗之得七百零四兩為下号緞共價數加多二百九十六兩得一千兩為共有銀數以每疋十一兩乗之得九百六十八兩為上号緞共價數加多三十二兩亦得一千兩兩數相同也【此盈朒法】 設如有井一口不知其深有繩一條不知其長但知取繩六分之一比井深少三尺四寸取繩四分之一比井深适等問井深及繩長各若幹 法借二十四根為繩長數【兩分母相乗之數】取其四分之一得六根則井深即為六根又取其六分之一得四根則井深又為四根多三尺四寸此二數為相等兩邊各減四根得二根與三尺四寸相等二根既與三尺四寸相等則一根必與一尺七寸相等而二十四根必與四丈零八寸相等即繩之長數也取其六分之一得六尺八寸再加三尺四寸共得一丈零二寸為井深或取其四分之一亦得一丈零二寸兩數相同也【此盈朒法】 設如有人買房用本銀三分之二則比房價多五十九兩用本銀五分之二則比房價少四十九兩八錢問本銀房價各若幹 法借十五根為本銀數【兩分母相乗之數】以用本銀三分之二比房價多五十九兩計之則房價為十根少五十九兩以用本銀五分之二比房價少四十九兩八錢計之則房價又為六根多四十九兩八錢此二數為相等兩邊各加五十九兩得十根與六根多一百零八兩八錢相等兩邊再各減去六根則餘四根與一百零八兩八錢相等四根既與一百零八兩八錢相等則一根必與二十七兩二錢相等而十五根必與四百零八兩相等即本銀數取其三分之二得二百七十二兩減多五十九兩得二百一十三兩為房價數又将本銀取其五分之二得一百六十三兩二錢加少四十九兩八錢亦得二百一十三兩兩數相同也【此盈朒法】 設如有銀分給二等人其上等人比下等人多一倍上等人比下等人每人多得四兩今欲與下等人每人三兩則銀多七十三兩每人四兩則銀少二十兩問人數及銀數各若幹 法借一根為下等人數則上等人數為二根以一根與四兩相乗得四根為下等人所得共銀數以二根與八兩【下等每人四兩上等多四兩故每人八兩】相乗得十六根為上等人所得共銀數兩數相加得二十根為上下二等人所得共銀數則原銀數即為二十根少二十兩又以一根與三兩相乗得三根為下等人所得共銀數以二根與七兩相乗得十四根為上等人所得共銀數兩數相加得十七根為上下二等人所得共銀數則原銀數即為十七根多七十三兩此兩數為相等兩邊各加二十兩得二十根與十七根多九十三兩相等兩邊再各減十七根則餘三根與九十三兩相等三根既與九十三兩相等則一根必與三十一兩相等前既借一根為下等人數則此三十一兩即為三十一人為下等人數倍之得六十二人即上等人數以下等三十一人用三兩乗之得九十三兩以上等六十二人用七兩乗之得四百三十四兩兩數相加共得五百二十七兩再加所多七十三兩得六百兩為原銀數若以下等三十一人用四兩乗之得一百二十四兩以上等六十二人用八兩乗之得四百九十六兩兩數相加共得六百二十兩減去所少二十兩亦得六百兩兩數相同也【此盈朒法】 設如有人分銀不言人數亦不言銀數但知毎四人分銀十八兩則銀少八兩每三人分銀十一兩則銀多十二兩問人數及銀數各若幹 法借十二根為人數以四人分銀十八兩計之則每人應得四兩五錢爰以四兩五錢乗十二根得五十四根為共分銀之數而原銀即為五十四根少八兩以三人分銀十一兩計之則每人應得三兩又三分兩之二爰以三兩又三分兩之二乗十二根得四十四根為共分銀之數而原銀又為四十四根多十二兩此兩數為相等兩邊各加八兩得五十四根與四十四根多二十兩相等兩邊各減四十四根得十根與二十兩相等十根既與二十兩相等則十二根必與二十四兩相等前既借十二根為人數則此二十四兩即為二十四人為共人數也以三人為一率十一兩為二率二十四人為三率求得四率八十八兩加多十二兩共一百兩為原銀數或以四人為一率十八兩為二率二十四人為三率求得四率一百零八兩減少八兩亦得一百兩兩數相同也【此雙套盈朒法】 設如有一商人販緞不言每疋價銀之數亦不言每疋稅銀之數但知販緞八十疋納稅用緞四疋則多銀二兩販緞三百一十疋納稅用緞十四疋則少銀六兩五錢問每疋價銀及稅銀幾何 法借一根為緞一疋之價銀數以納稅用緞四疋多銀二兩計之則緞八十疋之稅銀數為四根少銀二兩以納稅用緞十四疋少銀六兩五錢計之則緞三百一十疋之稅銀數為十四根多銀六兩五錢此兩緞數不相等故難用比例須用互乗法以八十疋與三百一十疋相乗得二萬四千八百疋為共緞數乃以三百一十疋乗四根少銀二兩得一千二百四十根少銀六百二十兩為二萬四千八百疋之稅銀數又以八十疋乗十四根多銀六兩五錢得一千一百二十根多五百二十兩亦為二萬四千八百疋之稅銀數此兩緞數既為相等故乗出之稅銀數亦為相等兩邊各加六百二十兩得一千二百四十根與一千一百二十根多一千一百四十兩相等兩邊再各減一千一百二十根則餘一百二十根與一千一百四十兩相等一百二十根既與一千一百四十兩相等則一根必與九兩五錢相等即緞一疋之價銀數以緞四疋與銀九兩五錢相乗得三十八兩減去多二兩餘三十六兩即緞八十疋之稅銀數以八十疋除三十六兩得四錢五分即緞一疋之稅銀數以四錢五分與緞三百一十疋相乗得一百三十九兩五錢即緞三百一十疋之稅銀數又以緞十四疋與九兩五錢相乗得一百三十三兩再加少六兩五錢亦得一百三十九兩五錢兩數相同也【此雙套盈朒法】 設如有銀一千二百零九兩令甲乙二人分之取甲四分之一與乙三分之一相加即與甲銀等問二人各得幾何 法借十二根【兩分母相乗數】為甲銀數則乙銀為一千二百零九兩少十二根取甲銀四分之一為三根取乙銀三分之一為四百零三兩少四根相加得四百零三兩少一根是為十二根與四百零三兩少一根相等十二根與少一根各加一根得十三根與四百零三兩相等十三根既與四百零三兩相等則十二根必與三百七十二兩相等即甲銀數于總銀内減甲銀數餘八百三十七兩即乙銀數取甲銀四分之一得九十三兩取乙銀三分之一得二百七十九兩相加得三百七十二兩與甲銀等也【此借衰互征法用方程法算之亦可】 設如有銀一千兩令甲乙丙三人分之乙所得之數倍于甲仍多三十兩丙所得之數倍于乙問每人各得若幹 法借一根為甲銀數則乙為二根多三十兩丙為四根多六十兩三數相并共得七根多九十兩而與一千兩相等九十兩與一千兩各減九十兩餘七根與九百一十兩相等七根既與九百一十兩相等則一根必與一百三十兩相等即甲所得銀數倍之再加三十兩得二百九十兩為乙所得銀數又倍之得五百八十兩為丙所得銀數也【此借衰互征法用方程法算之亦可】 設如甲乙丙三人分銀六千兩乙得甲三分之一丙得乙二分之一問三人各得幾何 法借一根為甲銀數則乙銀為三分根之一丙銀為六分根之一三數相加得六分根之九【以甲一根為六分則乙為六分根之二丙為六分根之一共得六分根之九即一根半】與六千兩相等各以六乗之得九根與三萬六千兩相等九根既與三萬六千兩相等則一根必與四千兩相等即甲銀數三分之得一千三百三十三兩又三分兩之一為乙銀數又二分之得六百六十六兩又三分兩之二為丙銀數也 又法借一根為丙銀數則乙銀為二根甲銀為六根相加得九根與六千兩相等九根既與六千兩相等則一根必與六百六十六兩又三分兩之二相等即丙銀數倍之得一千三百三十三兩又三分兩之一為乙銀數三因之得四千兩即甲銀數也【此借衰互征法】 設如有金銀錫銅四色不言重數但知共數五分之二為銅數金銀錫共數七分之四為錫數金銀共數八分之五為銀數金重三千零二十四兩問四色各重若幹 法借二百八十根為共數【用三分母連乗之數取其可以度盡也】取其五分之二得一百一十二根為銅數與二百八十根相減餘一百六十八根為金銀錫之共數取其七分之四得九十六根為錫數與一百六十八根相減餘七十二根為金銀之共數又取其八分之五得四十五根為銀數與七十二根相減餘二十七根為金數是為二十七根與三千零二十四兩相等二十七根既與三千零二十四兩相等則一根必與一百一十二兩相等四十五根必與五千零四十兩相等即銀數九十六根必與一萬零七百五十二兩相等即錫數一百一十二根必與一萬二千五百四十四兩相等即銅數四數相加共得三萬一千三百六十兩以所借共重二百八十根與每一根之一百一十二兩相乗亦得三萬一千三百六十兩為四色之共數也【此借衰互征法】 設如有銀三百五十六兩分與三等人一等五人二等四人三等三人一等所得倍于二等内少二兩二等所得倍于三等又多四兩問三等人每人各得幾何 法借一根為三等一人所得銀數則二等一人所得銀數為二根多四兩一等一人所得銀數為四根多六兩以各等共人數因之則三等所得共銀數為三根二等所得共銀數為八根多十六兩一等所得共銀數為二十根多三十兩三數相加共得三十一根多四十六兩為與三百五十六兩相等三十一根多四十六兩與三百五十六兩各減去四十六兩則餘三十一根與三百一十兩相等三十一根既與三百一十兩相等則一根必與十兩相等即三等一人所得銀數倍之加四兩得二十四兩即二等一人所得銀數又倍之減二兩得四十六兩即一等一人所得銀數三等三人共得三十兩二等四人共得九十六兩一等五人共得二百三十兩三數相加共得三百五十六兩以合原數也【此借衰互征法】 設如甲丙二人共有米三百八十四石甲納官八分之一丙納官六分之一共納五十四石問二人原米及納官米各若幹 法借一根為甲納米數則丙納米為五十四石少一根将甲納米一根八因之得八根為甲原米數丙納米五十四石少一根六因之得三百二十四石少六根為丙原米數相加得三百二十四石多二根為甲丙共米數是為三百二十四石多二根與三百八十四石相等三百二十四石與三百八十四石各減去三百二十四石餘二根與六十石相等二根既與六十石相等則一根必與三十石相等即甲所納米數八因之得二百四十石為甲原米數以甲原米數與三百八十四石相減餘一百四十四石為丙原米數六歸之得二十四石即丙所納米數也【此疊借互征法用方程法算之亦可】 設如甲乙二人不言本銀若幹但知以乙本銀三分之一與甲本銀相加再加六十兩共得一千兩以甲本銀五分之一與乙本銀相加亦得一千兩問二人本銀各幾何 法借十五根【兩分母相乗數】為乙本銀數以乙三分之一與甲本銀相加又加六十兩共得一千兩計之則甲本銀應得九百四十兩少五根取其五分之一則為一百八十八兩少一根以甲本銀五