卷二十四

之髙與闊一丈二尺三寸自乘得一丈五十一尺二十九寸又以初商次商三商之長一丈三尺五寸再乘得二丈零四十二尺四百一十五寸與原積相減恰盡即知立方之高與闊俱一丈二尺三寸其長為一丈三尺五寸也 設如帶兩縱相同立方積五百六十七尺其長與闊俱比髙多二尺問長闊髙各防何 法列積如開立方法商之共積五百六十七尺可商八尺因留兩縱積故取略小之數商七尺乃以七尺書于原積七尺之上而以所商七尺為高加縱多二尺得九尺為長與闊即以長與闊九尺自乘得八十一尺又以髙七尺再乘得五百六十七尺書于原積之下相減恰盡是知立方之高為七尺加縱多二尺得九尺即立方之長與闊也如圖甲乙丙丁戊己扁方體形容積五百六十七尺其甲乙為高甲子為闊甲巳為長甲乙七尺甲子甲己皆比甲乙多二尺即所帶之縱其甲乙癸壬辛庚正方形即初商之積庚辛壬癸丙丁戊已磬折體形即所帶之縱積也此法因長闊俱比高多故初商所得為髙于高加縱多即長與闊也 設如帶兩縱相同立方積三千四百六十八尺其長與闊俱比高多五尺問長闊高各防何 法列積如開立方法商之其三千尺為初商積可商十尺乃以十尺書于原積三千尺之上而以初商十尺為初商之髙加縱多五尺得十五尺為初商之長與闊即以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺書于原積之下相減餘一千二百一十八尺為次商廉隅之共積乃以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺【此一方廉長闊皆帶一縱也】又以初商之髙十尺與初商之長與闊十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺【加倍為帶縱兩方廉即初商加縱多也】兩數相并得五百二十五尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積一千二百一十八尺足二尺則以二尺書于原積八尺之上而以初商之長與闊十五尺倍之得三十尺【此兩長廉即長闊各帶一縱也】與初商之髙十尺相并【此一長廉初商數也】得四十尺以次商之二尺乘之得八十尺為次商三長廉面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六百零九尺為廉隅共法以次商之二尺乘之得一千二百一十八尺書于餘積之下相減恰盡是知立方之高為十二尺加縱多五尺得十七尺為立方之長與闊也如圖甲乙丙丁扁方體形容積三千四百六十八尺其甲乙髙十二尺甲戊長甲已闊俱十七尺甲戊比甲辛所多辛戊甲已比庚己所多甲庚俱五尺即縱多之數其從一角所分壬乙子癸扁方體形癸子與壬乙皆十尺即初商數壬癸與癸申皆十五尺即初商加縱多之數壬乙子癸扁方積二千二百五十尺即初商加縱多自乘又以初商再乘之數所餘醜形寅形夘形為三方廉其中寅形為一正方廉每邊十五尺即初商加縱多之數醜形夘形為二長方廉每高十尺長十五尺其長比髙多五尺即縱多之數其厚皆二尺即次商數辰形巳形午形為三長廉巳形長十尺即初商數辰形午形比巳形俱長五尺即縱多之數其闊與厚皆一尺亦即次商數其巳形一小正方體為隅其長闊高皆二尺亦即次商數合醜寅夘三方廉辰巳午三長廉巳一小方隅共成一磬折體形附于初商長方體之三面而成甲乙丙丁之總扁方體積也三商以後皆仿此遞析開之 又法以初商積三千尺商十尺書于原積三千尺之上而以所商十尺為初商之髙加縱多五尺得十五尺為初商之長與闊即以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺書于原積之下相減餘一千二百一十八尺為次商積乃以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之高十尺與初商之長與闊十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺兩數相并得五百二十五尺為次商三方廉面積以除次商積一千二百一十八尺足二尺則以二尺書于原積八尺之上合初商次商共十二尺為初商次商之髙加縱多五尺得十七尺為初商次商之長與闊乃以初商次商之長與闊十七尺自乘得二百八十九尺又以初商次商之高十二尺再乘得三千四百六十八尺與原積相減恰盡即知立方之高為十二尺其長與闊得十七尺也 設如帶兩縱相同立方積一百零三萬四千二百八十九寸其長與闊俱比高多三百三十寸問長闊髙各防何 法列積如開立方法商之其一百萬寸為初商積可商一百寸乃以所商一百寸為高加縱多三百三十寸得四百三十寸為長與闊即以長與闊四百三十寸自乘得一十八萬四千九百寸又以高一百寸再乘得一千八百四十九萬寸大于原積十倍有餘是初商不可商一百寸也乃改商十寸為高【既大于原積十倍有餘故取十分之一商之為十寸】加縱多三百三十寸得三百四十寸為長與闊即以長與闊三百四十寸自乘得一十一萬五千六百寸又以髙十寸再乘得一百一十五萬六千寸仍大于原積是亦不可商一十寸也乃改商九寸書于原積九寸之上而以所商九寸為髙加縱多三百三十寸得三百三十九寸為長與闊即以長與闊三百三十九寸自乘得一十一萬四千九百二十一寸又以髙九寸再乘得一百零三萬四千二百八十九寸書于原積之下相減恰盡是知立方之髙為九寸加縱多三百三十寸得三百三十九寸為立方之長與闊也 設如帶兩縱相同立方積一十一丈五百零九尺二百六十八寸其長與闊俱比高多二尺一寸問長闊髙各防何 法列積如開立方法商之其一十一丈為初商積可商二丈乃以二丈書于原積一丈之上而以所商二丈為初商之髙加縱多二尺一寸得二丈二尺一寸為初商之長與闊乃以初商之長與闊二丈二尺一寸自乘得四丈八十八尺四十一寸又以初商之髙二丈再乘得九丈七百六十八尺二百寸書于原積之下相減餘一丈七百四十一尺零六十八寸即一千七百四十一尺零六十八寸為次商廉隅之共積乃以初商之長與闊二丈二尺一寸作二十二尺一寸自乘得四百八十八尺四十一寸又以初商之髙二丈作二十尺與初商之長與闊二十二尺一寸相乘得四百四十二尺倍之得八百八十四尺兩數相并得一千三百七十二尺四十一寸為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積一千七百四十一尺零六十八寸足一尺則以一尺書于原積九尺之上而以初商之長與闊二十二尺一寸倍之得四十四尺二寸與初商之髙二十尺相并得六十四尺二寸以次商之一尺乘之得六十四尺二十寸為次商三長廉面積又以次商之一尺自乘仍得一尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千四百三十七尺六十一寸為廉隅共法以次商之一尺乘之得一千四百三十七尺六百一十寸書于餘積之下相減仍餘三百零三尺四百五十八寸即三十萬三千四百五十八寸為三商廉隅之共積其初商次商所得之二丈一尺為髙加縱多二尺一寸得二丈三尺一寸為長與闊乃以初商次商之長與闊二丈三尺一寸作二百三十一寸自乘得五萬三千三百六十一寸又以初商次商之髙二丈一尺作二百一十寸與初商次商之長與闊二百三十一寸相乘得四萬八千五百一十寸倍之得九萬七千零二十寸兩數相并得一十五萬零三百八十一寸為三商三方廉面積以除三商廉隅之共積三十萬零三千四百五十八寸足二寸則以二寸書于原積八寸之上而以初商次商之長與闊二百三十一寸倍之得四百六十二寸與初商次商之髙二百一十寸相加得六百七十二寸以三商之二寸乘之得一千三百四十四寸為三商三長廉面積又以三商之二寸自乘得四寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一十五萬一千七百二十九寸為廉隅共法以三商之二寸乘之得三十萬三千四百五十八寸書于餘積之下相減恰盡是知立方之高得二丈一尺二寸加縱多二尺一寸得二丈三尺三寸即立方之長與闊也 設如帶兩縱不同立方積一百九十二尺其闊比高多二尺其長比闊又多二尺問髙闊長各防何法列積如開立方法商之其積一百九十二尺可商五尺乃以所商五尺為髙加闊比髙多二尺得七尺為闊再加長比闊多二尺得九尺為長即以高五尺與闊七尺相乘得三十五尺又以長九尺再乘得三百一十五尺大于原積乃改商四尺書于原積二尺之上而以所商四尺為髙加闊比髙多二尺得六尺為闊再加長比闊多二尺得八尺為長即以髙四尺與闊六尺相乘得二十四尺又以長八尺再乘得一百九十二尺書于原積之下相減恰盡是知立方之髙為四尺其闊為六尺其長為八尺也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積一百九十二尺其甲乙為髙四尺甲已為闊六尺己戊為長八尺甲已比甲庚所多庚已二尺即闊比髙所帶之縱己戊比己辛所多辛戊四尺即長比髙所帶之縱甲乙子癸壬庚正方形即初商之正方積庚壬癸子丙丁戊辛已磬折體形即長闊兩縱所多之長方積也此法因長比闊多闊又比髙多故初商所得即為髙于髙加闊縱為闊于闊加長縱為長也 設如帶兩縱不同立方積三千零二十四尺其闊比髙多二尺其長比闊又多四尺問髙闊長各防何法列積如開立方法商之其三千尺為初商積可商十尺乃以十尺書于原積三千尺之上而以所商十尺為初商之髙加闊比髙多二尺得十二尺為初商之闊再加長比闊多四尺得十六尺為初商之長乃以初商之高十尺與初商之闊十二尺相乘得一百二十尺又以初商之長十六尺再乘得一千九百二十尺書于原積之下相減餘一千一百零四尺為次商廉隅之共積乃以初商之髙十尺與初商之闊十二尺相乘得一百二十尺【此帶闊縱一方廉也】又以初商之高十尺與初商之長十六尺相乘得一百六十尺【此帶長縱一方廉也】又以初商之闊十二尺與初商之長十六尺相乘得一百九十二尺【此帶長闊兩縱一方廉也】三數相并得四百七十二尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積一千一百零四尺足二尺則以二尺書于原積四尺之上而以初商之髙十尺【此一長廉初商數也】與初商之闊十二尺相并【此帶闊縱一長廉也】得二十二尺又與初商之長十六尺相并【此帶長縱一長廉也】得三十八尺以次商之二尺乘之得七十六尺為次商三長廉面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五百五十二尺為廉隅共法以次商之二尺乘之得一千一百零四尺書于原積之下相減恰盡是知立方之高得十二尺加闊比髙多二尺得十四尺為闊又加長比闊多四尺得十八尺為長也如圖甲乙丙丁長方體形容積三千零二十四尺其甲乙髙十二尺甲戊闊十四尺甲已長十八尺甲戊比甲庚所多二尺即闊比髙所多之數甲已比辛己所多六尺即長比髙所多之數其從一角所分壬乙子癸長方體形壬乙與癸子皆十尺即初商之數壬未與癸申皆十二尺即初商之髙加闊多之數壬癸與未申皆十六尺即初商之髙加闊多又加長多之數壬乙子癸長方體形所容一千九百二十尺即初商積所餘醜形寅形夘形為三方廉其夘形之髙十尺即初商之數其帶闊縱二尺如酉即闊多之數其醜形之髙十尺亦即初商之數其帶長縱六尺如戌即長多之數其寅形之闊十尺又帶闊多二尺如亥即初商之髙加闊多之數其帶長縱六尺如幹即初商之髙加闊多又加長多之數其厚皆二尺即次商之數辰形巳形午形為三長廉其辰形之長十尺即初商之數巳形比辰形所多二尺如坎即闊多之數其午形比辰形所多六尺如艮即長多之數其闊與厚皆二尺亦即次商之數其已形一小