卷十二

勾股形之甲丙?與甲丁勾之比而為相當比例四率也 設如有勾六尺股八尺?十尺欲自直角對?界作垂線分?為二?問所分二?大小各幾何法以勾六尺自乗得三十六尺以?十尺除之得三尺六寸為垂線所分之小界以股八尺自乗得六十四尺以?十尺除之得六尺四寸為垂線所分之大界也如圖甲乙丙勾股形作甲丁垂線則分甲乙丙勾股形為甲丁乙甲丁丙兩勾股形皆與原形為同式故原甲乙丙勾股形之乙丙?與甲乙勾之比同于今所分甲丁乙勾股形之甲乙?與乙丁勾之比為連比例三率而原甲乙丙勾股形之乙丙?與甲丙股之比又同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙?與丙丁股之比亦為連比例三率是以原甲乙丙勾股形之甲乙勾又為今所分甲丁乙勾股形之?者為中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙?為首率除之得末率乙丁為甲丁垂線所分之小界原甲乙丙勾股形之甲丙股又為今所分甲丁丙勾股形之?者為中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙?為首率除之得末率丁丙為甲丁垂線所分之大界也 設如有勾五尺股十二尺問内容方邊幾何 法以勾五尺與股十二尺相加得十七尺為一率勾五尺為二率股十二尺為三率推得四率三尺五寸二分九厘有餘為内容方邊也如圖甲乙丙勾股形甲乙為股十二尺乙丙為勾五尺試依乙丙勾數将甲乙股引長作甲戊線為勾股和十七尺自戊與乙丙勾平行作戊丁線又将甲丙?引長作甲丁線則成甲戊丁同式勾股形複自丙角與甲戊線平行作丙壬線則成丙壬戊乙正方即為甲戊丁勾股形所容之方故甲戊丁勾股形之甲戊股與乙丙方邊之比同于甲乙丙勾股形之甲乙股與己辛方邊之比也 設如有方城一座四正有門自南門直行八裡有一塔自西門直行至二裡切城角亦望見塔問城每面幾何 法以西門外二裡與南門外八裡相乗得十六裡開方得四裡倍之得八裡即為城每一面之數也如圖甲乙丙勾股形乙己為西門外二裡甲丁為南門外八裡戊己與戊丁皆為城之每邊之一半而甲丁戊勾股形與戊己乙勾股形為同式故乙己與己戊之比同于戊丁與丁甲之比為相當比例四率且己戊與戊丁皆為一體故又為相連比例三率是以乙己首率與甲丁末率相乗開方而得戊丁或戊己皆為中率為城之每邊之一半也 設如有甲乙丙勾股形内容丁己丙戊長方形但知丁戊寛為戊丙長四分之一從甲至戊為四尺從乙至己為九尺問長方及勾股各幾何 法以甲戊四尺與乙己九尺相乗得三十六尺為内容長方之積用四歸之得九尺開方得三尺為己丙即長方之闊以四因之得十二尺為戊丙即長方之長以戊丙十二尺加甲戊四尺得十六尺為股以己丙三尺加乙己九尺得十二尺為勾也葢丁己乙勾股形與甲戊丁勾股形皆與甲乙丙勾股形為同式故丁己乙勾股形之乙己勾與丁己股之比即同于甲戊丁勾股形之丁戊勾與甲戊股之比而乙己首率與甲戊四率相乗之數必與丁己二率與丁戊三率相乗之數相等是以乙己與甲戊相乗即為丁己丙戊長方形之積也丁戊既為戊丙之四分之一則以四歸之即成丁戊線所作之正方形積故開方得丁戊之闊又四因之而得戊丙之長也既得丁戊而丁戊與己丙等故己丙與乙己相加得乙丙之勾而戊丙與甲戊相加得甲丙之股也 設如有勾八尺股十五尺?十七尺問内容圓徑幾 何 法以勾八尺與股十五尺相乗得一百二十尺乃以勾八尺股十五尺?十七尺三數相加共四十尺除之得三尺為容圓半徑倍之得六尺為容圓全徑也如圖甲乙丙勾股形内容丁圜形試自圜中心至甲乙丙三角作丁甲丁乙丁丙三線則分甲乙丙勾股形為甲丁乙甲丁丙乙丁丙三三角形勾股?三線皆為三角形之底邊而丁戊半徑皆為其垂線矣今勾股相乗所得之長方積原比甲乙丙勾股形積大一倍即如将所分三三角形各用垂線乗底邊所得之三長方積合為一長方也三長方之長雖不同而闊則一故各以長除積而得闊者即如合勾股?三邊除勾股相乗之積而得半徑也 又法以勾八尺與股十五尺相加得二十三尺内減?十七尺餘六尺即為内容圓之全徑也如圖甲乙丙勾股形自圜中心作丁甲丁乙丁丙三線又作丁戊丁己丁庚三垂線則丙戊與丙己等甲戊與甲庚等乙己與乙庚原等甲乙股與乙丙勾相并比甲丙?所多者惟乙己乙庚二?今于甲乙股乙丙勾相并度内減去甲丙?即如甲乙股内減去與甲戊等之甲庚乙丙勾内減去與丙戊等之丙己所餘者止乙庚與乙己皆為圓之半徑二半徑相合非全徑耶 勾股?和較相求法【上】 勾股?和較相求之法錯綜變換共有六十舊算書所有者八按舊法可以變通者三十有四舊法所無今創立者一十有八依題比類列目于前按法循序設問于後以備人之觀覽焉 有勾有股?較求股?【第一舊有】 有勾有股?和求股?【第二舊有】 有股有勾?較求勾?【第三舊有】 有股有勾?和求勾?【第四舊有】 有?有勾股較求勾股【第五舊有】 有?有勾股和求勾股【第六舊有】 有勾?和有股?和求勾股?【第七舊有】 有勾股和有股?和求勾股?【第八新立】 有勾股和有勾?和求勾股?【第九新立】 有勾?較有股?較求勾股?【第十舊有】 有勾股較有勾?較求勾股?【第十一按舊法變通】有勾股較有股?較求勾股?【第十二按舊法變通】有勾股和有勾?較求勾股?【第十四新立】 有勾股和有股?較求勾股?【第十五新立】 有勾?和有股?較求勾股?【并見第十五新立】有勾?和有勾股較求勾股?【第十三按舊法變通】有股?和有勾?較求勾股?【并見第十四新立】有股?和有勾股較求勾股?【并見第十三按舊法變通】有勾有勾股?總和求股?【第十八按舊法變通】 有勾有?與勾股和之較求股?【第十六按舊法變通】有勾有?與勾股較之和求股?【第十九按舊法變通】有勾有?與勾股較之較求股?【第十七按舊法變通】有股有勾股?總和求勾?【第二十二按舊法變通】有股有?與勾股和之較求勾?【第二十按舊法變通】有股有?與勾股較之和求勾?【第二十三按舊法變通】有股有?與勾股較之較求勾?【第二十一按舊法變通】有?有勾股?總和求勾股【第二十六按舊法變通】有?有?與勾股和之較求勾股【第二十四按舊法變通】有?有?與勾股較之和求勾股【第二十七按舊法變通】有?有?與勾股較之較求勾股【第二十五按舊法變通】有勾股和有勾股?總和求勾股?【并見第二十六按舊法變通】 有勾股和有?與勾股和之較求勾股?【并見第二十四按舊法變通】 有勾股和有?與勾股較之和求勾股?【第三十八新立】 有勾股和有?與勾股較之較求勾股?【第三十七新立】 有勾?和有勾股?總和求勾股?【并見第二十二按舊法變通】 有勾?和有?與勾股和之較求勾股?【第三十九新立】 有勾?和有?與勾股較之和求勾股?【第十四新立】 有勾?和有?與勾股較之較求勾股?【并見第二十一按舊法變通】 有股?和有勾股?總和求勾股?【并見第十八按舊法變通】 有股?和有?與勾股和之較求勾股?【第四十一新立】 有股?和有?與勾股較之和求勾股?【并見第十九按舊法變通】 有股?和有?與勾股較之較求勾股?【第四十二新立】 有勾股較有勾股?總和求勾股?【第三十四新立】有勾股較有?與勾股和之較求勾股?【第四十三新立】 有勾股較有?與勾股較之和求勾股?【并見第二十七按舊法變通】 有勾股較有?與勾股較之較求勾股?【并見第二十五按舊法變通】 有勾?較有勾股?總和求勾股?【第三十五新立】有勾?較有?與勾股和之較求勾股?【并見第二十按舊法變通】 有勾?較有?與勾股較之和求勾股?【并見第二十三按舊法變通】 有勾?較有?與勾股較之較求勾股?【第四十四新立】 有股?較有勾股?總和求勾股?【第三十六新立】有股?較有?與勾股和之較求勾股?【并見第十六按舊法變通】 有股?較有?與勾股較之和求勾股?【第四十五新立】 有股?較有?與勾股較之較求勾股?【并見第十七按舊法變通】 有勾股?總和有?與勾股和之較求勾股?【第三十三按舊法變通】 有勾股?總和有?與勾股較之和求勾股?【第三十按舊法變通】 有勾股?總和有?與勾股較之較求勾股?【第三十一按舊法變通】 有?與勾股和之較有?與勾股較之和求勾股?【第二十九按舊法變通】 有?與勾股和之較有?與勾股較之較求勾股?【第二十八按舊法變通】 有?與勾股較之和有?與勾股較之較求勾股?【第三十二按舊法變通】 設如有勾十五尺股?較五尺求股?各幾何【第一】法以勾十五尺自乗得二百二十五尺以股?較五尺除之得四十五尺為股?和與股?較五尺相加得五十尺折半得二十五尺為?于?二十五尺内減股?較五尺餘二十尺為股也如圖甲乙為勾十五尺丁乙為股?較五尺試自甲至丁作甲丁線則成甲乙丁勾股形複以丁乙線引長而以甲為直角作甲丙線則又成丙甲丁勾股形爰以丁丙線折半于戊而以戊為心甲為界作丙甲丁半圜則丁乙甲乙乙丙即為連比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率丁乙股?較除之得末率乙丙為股?和也乙