卷六

丁乙若己庚與戊庚也又丁乙與丙丁若戊庚與丙戊平之即甲乙與丙丁若己庚與丙戊也又丙丁與甲乙若丙戊與戊丁平之即甲乙與甲乙若己庚與戊丁也甲乙與甲乙同線必等即己庚與戊丁必等而己庚與辛壬又等戊丁與己辛庚壬亦等則辛庚形必勾股所容之方形而戊丁即方邊之度法以?乗垂線而并?與垂線除之者借甲乙與丙丁之比例因丙丁以求戊丁也 二十八則 勾股求容圓 設勾二十七尺股三十六尺?四十五尺求容圓法曰置勾股相乗【得九百七十二尺】為實并勾股?【共一百零八尺】除之得九尺即容圓之半徑倍之得一十八尺即全徑解曰甲乙丙勾股形自三角各出一線平分各角相 遇于丁即分勾股形為甲丁 乙乙丁丙丙丁甲三三角形 一以全形之勾為底一以股 為底一以?為底各角既平 分而複有一邊同線則三形 必等高令三形各倍積求對角之垂線【本卷二十四則】一得丁戊一得丁已一得丁庚三垂線必等何也三垂線即三形之正高三形既等高故垂線必等也三線既等其相遇處必容圓之心【幾何原本雲凡圓内出三線至界而皆等者其防必是圓心】而三線皆半徑也然分求之如是合求之亦必如是若并三形之倍積為實并三底除之亦得容圓之半徑與丁戊【或丁已或丁庚】等夫三分形之倍積即勾與股相乗之積也三分形之底即勾股?也故置勾股相乗并勾股?除之得容圓之半徑也 二十九則 勾股求外切圓 設勾股?長二十八尺求外切圓周法曰置?二十二乗七除得八十八尺即所求 解曰此圓徑求周法也【二卷一則】今以之求勾股外切圓 形何也凡圓内以徑為底任 作三角形皆成勾股如甲乙 丙形丙為方角甲乙丁形丁 為方角甲乙戊形戊為方角 反之以?為徑作圓必外切 勾股形之方角 三十則 容方之勾股以餘勾餘股求方邊及全勾全股 設容方之餘勾二尺餘股八尺求方邊及全勾股法曰置餘勾餘股相乗【得一十六尺】平方開之得四尺即方 邊以四尺加餘勾得六 尺即全勾以四尺加餘 股得一十二尺即全股 解曰甲乙丙勾股形容 壬巳方形自甲作甲丁 線以丙丁線聯之成乙 丁直形複于己庚壬庚 兩線引之至戊至辛必分乙丁直形為四形其甲庚庚丙同依甲丙對角線為兩角線形其乙庚庚丁為兩餘形兩餘形之容必相等防何原本雲甲丙對角線必分乙丁全形為丁甲丙乙丙甲相等兩勾股形亦分庚丙角線形為辛庚丙巳丙庚相等兩勾股形亦分甲庚角線形為戊甲庚壬庚甲相等兩勾股形試于乙丙甲形内減去己丙庚形于丁甲丙形内減去辛庚丙形乙丙甲丁甲丙兩形既等減去之己丙庚辛庚丙兩形複等則所餘之甲乙庚巳甲丁庚辛兩斜方形必相等再于甲乙庚己形内減去甲庚壬形于甲丁庚辛形内減去戊甲庚形兩斜方既等減去之甲庚壬戊甲庚兩形複等所餘戊辛直形與壬巳方形安得不等夫甲乙丙勾股形之甲乙勾減去壬巳方形之壬乙邊餘甲壬即餘勾丙乙股減去己乙邊餘丙巳即餘股辛庚與餘股等戊庚與餘勾等則戊辛直形之容必即餘勾餘股相乗之積而戊辛直形又與壬巳方形等則壬巳方形之容亦必餘勾餘股相乗之積也故置餘勾股相乗平方開之得容方邊也 三十一則 容方之勾股以餘股及方邊求餘勾 設容方之餘股八尺方邊四尺求餘勾法曰置方邊自乗【得　十六尺】以餘股除之得二尺即所求 解曰壬己方形既等于戊辛直形【圖同前】而直形以餘股為長以餘勾為濶故以餘股除積得餘勾 三十二則 容方之勾股以餘勾及方邊求餘股 設容方之餘勾二尺方邊四尺求餘股法曰置方邊自乗【得一十六尺】以餘勾除之得八尺即所求 解同前 三十三則 日晷測高 設物不知高止得物景一十二尺立表八尺表景二尺四寸求物高法曰置物景為實以表高乗之【得九十六尺】以表景除之得四十尺即所求 解曰物高與物景表高與表景各以日光聯之必皆 成勾股形而 體勢等凡兩 形體勢等者 其比例必等 物高與物景 之比例必若表高之與表影也又表影與物景之比例必若表高之與物高也今物景既五倍于表景因知物高亦必五倍于表高矣法以表高乗物景而以表景除之者借表景與物景之比例因表高以求物高也 三十四則 一表測高 設物不知高距物二十五尺立表十尺又退行五尺立窺表四尺自窺表望之物末與表末相齊成一直線求物高法曰置表距高物二十五尺為實以窺表減表【餘六尺】乗之【得一百五十尺】以退行五尺除之得三十尺為表外之高加表高共四十尺即物高 解曰癸丁為物高壬子為表高乙醜為窺表乙丁對 角線為視線戊壬為表距高 物之二十五尺壬辛為窺表 減表所餘之六尺乙辛為退 行之五尺也甲丙一形分為 四形其辛巳戊庚為兩角線 形其甲壬壬丙為兩餘形兩 餘形之容必相等【本卷三十則】法 以窺表減表以乗距高物之 度必得甲壬餘形之積甲壬 既等于壬丙則甲壬餘形之積亦即壬丙餘形之積矣故