卷六

欽定四庫全書 數學鑰卷六 柘城杜知耕撰 勾股 一則 勾股求? 設勾六尺股八尺求?法曰置勾股各自乗【勾得三十六尺股得六十四尺】兩數并【共一百尺】平方開之得十尺即所求解曰不論勾股相等與否勾上方形及股上方形并 必與?上方形等如甲乙丙 勾股形甲乙勾與丙乙股等 試作乙丁等高同底方形其 邊與甲乙等必為勾上方又 與丙乙等亦必為股上方再 作戊巳外切方形其邊與甲丙等即為?上方若于形内減去乙丁方形餘甲乙戊等四三角形并之複等一乙丁方形【一卷十一則】以乙丁為勾方以等乙丁之四三角形為股方并之不等于戊巳?方乎又如庚 辛壬勾股形庚辛短辛壬長 勾與股不相等者于庚辛勾 辛壬股庚壬?上各作方形 為庚癸辛子辛醜次作辛寅 辛癸辛辰壬醜庚子五線幾 何原本雲庚辛壬與庚辛午既皆方角即午辛辛壬是一直線依顯庚辛辛巳亦一直線又壬庚辰與辛庚醜既皆方角而每加一辛庚壬角即辛庚辰與壬庚醜兩角亦等依顯辛壬癸庚壬子兩角亦等又庚 辛辰三角形之辛庚庚 辰兩邊與庚壬醜三角 形之醜庚庚壬兩邊等 辛庚辰與壬庚醜兩角 複等則對等角之辛辰 與壬醜兩邊亦等而此 兩三角形亦等矣夫辛 醜方形倍大于同庚醜底同在平行線内之庚壬醜三角形【一卷八則既謂直形等于平行線内同底之象目形則必能倍大于平行線内同底之三角形】而辰卯直形亦倍大于同庚辰底同在平行線内之庚辛辰三角形則辛醜方形不與辰卯直形等乎依顯辛子方形與癸卯直形等則癸庚一形與辛子辛醜兩形并等矣法以勾股各自乗求勾股上兩方形也兩形并則為?上之方積故平方開之得?也二則 勾?求股 設勾六尺?十尺求股法曰置勾?各自乗【勾得三十六尺?得一百尺】兩數相減【餘六十四尺】平方開之得八尺即所求解曰?上方積當一勾一股上方積于?積内減去勾積所餘非股積而何故平方開之得股 三則 股?求勾 設股八尺?十尺求勾法曰置股?各自乗【股得六十四尺?得一百尺】兩數相減【餘三十六尺】平方開之得六尺即所求解曰?積内減去股積所餘必勾積故平方開之得勾 四則 勾股積及勾股較求? 設勾股積二十四尺勾股較二尺求?法曰置勾股積四因之【得九十六尺】另置勾股較自乗【得四尺】兩數并【共一百尺】平方開之得十尺即所求 解曰甲乙丙 勾股形與戊 巳甲丁庚戊 乙辛丁三勾 股形等甲丙 為甲乙丙形之股甲巳為戊巳甲形之勾于甲丙截甲巳餘己丙則勾股較也丙辛辛庚庚巳各與己丙等是己辛為勾股較上方形又甲乙為甲乙丙形之?而丁乙戊丁甲戊各與甲乙等是甲丁為?上方形今并五形成一甲丁方形則是一?上方形與四 勾股積一勾股較上方積并等矣 故四因勾股積并入勾股較自乗 之積平方開之得?也又如壬子 癸勾股形壬子勾與子癸股等四 形并即成一壬醜?上方形而無餘凡遇勾股相等之勾股形四因積平方開之即得?度 五則 ?及勾股較求勾股積 設?十尺勾股較二尺求勾股積法曰置?與勾股較各自乗【?得一百尺勾股較得四尺】兩數相減【餘九十六尺】以四歸之得二十四尺即所求 解曰?上方積減去勾股較上方積必餘四勾股積故四歸之得一勾股積 六則 ?及勾股積求勾股較 設?十尺勾股積二十四尺求勾股較法曰置?自乗【得一百尺】另置勾股積四因之【得九十六尺】兩數相減【餘四尺】平方開之得二尺即所求 解曰?上方積減去四勾股積所餘必勾股較上方積故平方開之得勾股較 七則 ?及勾股和求勾股較 設?十尺勾股和一十四尺求勾股較法曰置?自乗 【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股和 自乗【得一百九十六尺】兩數相減【餘四尺】平方開之得二尺即所求 解曰甲巳方形内凡八勾股 形而皆等乙戊為戊丁乙形 之股甲乙為乙丙甲形之勾甲乙乙戊并得甲戊乃勾股和也餘三邊皆等于甲戊是甲己為勾股和上方形又丙丁為?上方形辛壬為勾股較上方形【本卷 四則】夫?上方形内得勾股形 四及勾股較上方形一勾股 和上方形内得勾股形八及 勾股較上方形一是一勾股 和上方形當?上方形二而 少一勾股較上方形也故倍 ?羃減勾股和自乗之積平方開之得勾股較八則 勾股和及勾股積求? 設勾股和一十四尺勾股積二十四尺求?法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股積四因之【得九十六尺】兩數相減【餘一百尺】平方開之得十尺即所求 解曰勾股和上方大于?上方者四勾股積也故相減開方得? 九則 勾股和及勾股積求勾股較 設勾股和一十四尺勾股積二十四尺求勾股較法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股積八因之【得一百九十二尺】兩數相減【餘