卷四

五尺也餘同前則○改設前積為三千二百四十三尺三寸七分五厘初商十尺次商五尺仍餘積三百一十八尺三寸七分五厘又以朒二尺減初次兩商十五尺餘十三尺倍之加十五尺共四十一尺為方廉法倍十五尺加十三尺共四十三尺為長廉法三商五寸于初次兩商一十五尺之次以初次兩商十五尺乘方廉法得六百一十五尺以三商五寸乘長廉法得二十一尺五寸并兩數共六百三十六尺五寸又以三商五寸乘之得三百一十八尺二寸五分除實餘一寸二分五厘陞二位作一百二十五寸又置三商五寸自乘再乘得一百二十五寸除實恰盡合初次三商得一十五尺五寸為底方之度減高朒二尺餘一十三尺五寸為高度○餘積一寸二分五厘陞二位何也葢體以縱廣及高各一尺為積一尺一尺實積千寸取十分尺之一為寸是一寸而實積百寸也故寸以下皆陞二位二十七則 方體以積求邊二法 設方體積四千二百七十五尺長廣相等高多四尺求各度法曰置積于中為實初商十尺自乘又以多四尺并十尺共十四尺乘之【得一千四百尺】除實【餘二千八百七十五尺】倍十四尺加初商十尺【共三十八尺】為方廉法倍初商十尺加十四尺【共三十四尺】為長廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法【得三百八十尺】以次商五尺乘長廉法【得一百七十尺】兩數并【共五百五十尺】又以次商五尺乘之【得二千七百五十尺】除實【餘一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】為隅法除實恰盡合初次兩商共得一十五尺即底方之度加高多四尺共一十九尺即高度解同前 二十八則 直體以積求邊一法 設直體積七千二百尺高一十二尺廣朒于長十尺求長廣法曰置積以高除之【得六百尺】四因之【得二千四百尺】叧置廣朒于長十尺自乘【得一百尺】兩數并平方開之【得五十尺】減廣朒于長十尺【餘四十尺】折半得二十尺即廣加十尺得三十尺即長 解曰以高除積所得者直體底積也故平方帶縱開之即得所求也 二十九則 直體以積求邊二法 設直體積三千一百三十五尺高多長四尺長多廣四尺求各度法曰置積于中為實初商十尺以十尺減長多廣四尺餘六尺乘之又以十尺加高多長四尺共十四尺乘之【得八百四十尺】除實【餘二千二百九十五尺】列十尺六尺十四尺為方廉法并十尺六尺十四尺共三十尺為長廉法次商五尺置于初商之次方廉法維乘以六尺乘十尺【得六十尺】十尺乘十四尺【得一百四十尺】十四尺乘六尺【得八十四尺】并之【共二百八十四尺】又以次商五尺乘長廉法【得一百五十尺】兩數并【共四百二十四尺】再以次商五尺乘之【得二千一百七十尺】除實【餘一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百十五尺】　為隅法除實恰盡合初次兩商共一十五尺即長増四尺共一十九尺即高減長四尺餘一十一尺即廣 解曰初商十尺為大方之長減四尺餘六尺為廣増 四尺共一十四尺為高故兩乘 得大方積大方三面之平積即 三方廉之底積也而大方之三 面各不等以廣六尺乘長十尺 得甲乙丙丁面平積以長十尺乘高一十四尺得戊己甲乙面平積以高一十四尺乘廣六尺得已庚乙丁面平積故列三位為方廉法維乘也又大方三棱之度即三長廉之高也而大方三棱亦不等甲乙棱十尺乙丁棱六尺乙己棱一十四尺故并三數為長 廉法也餘同前解 三十則 渾圓以積求徑 設渾圓積一千七百六十七尺八分五厘七毫有奇求圓徑法曰置積二十一乘十一除【得三千三百七十五尺】立方開之得一十五尺即所求 解曰十一與二十一渾圓立方之比例也【本卷十三則】二十一乘十一除令渾圓化為相當之立方故立方開之得方邊即得圓徑也 三十一則 渾撱圓以積求徑 設渾撱圓積二千二百三十九尺二寸八分五厘有奇大徑多小徑四尺求兩徑法曰置積二十一乘十一除【得四千二百七十五尺】以帶縱立方開之得一十五尺即小徑加多四尺得一十九尺即大徑 解曰渾防圓與方體之比例亦若渾圓與立方故二十一乘十一除帶縱立方開之得方體之廣及高即渾撱圓之兩徑也 三十二則 三乘還原【即開三乘方】 設三乘積六百二十五尺求還原法曰置積為實平方開之【得二十五尺】再以平方開之得五尺即所求解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所謂三乘方也反求元數即所謂開三乘方也三乘原無形體可言但法類于開平方立方故亦謂之方耳○從此推之一次平方一次立方可開五乘方三次平方可開七乘方 三十三則 委粟求積 設委粟底周八十八尺高八尺八寸求積法曰置周自乘【得七千七百四十四尺】以高乘之【得六萬八千一百四十七尺二寸】再七乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有奇即所求 解曰此即圓錐也圓形與周上方形之比例若七與 八十八【二卷五則】凡兩體等高者體與 體之比例若底與底圓體與周上 等高方體之比例必亦若七與八 十八今圓錐居圓體三之一以三 乘八十八得二百六十四則是圓錐與周上等高方體之比例必若七與二百六十四矣 二十四則 倚壁委粟求積 設倚壁委粟周四十 四尺高八尺八寸求 積法曰置周自乘【得一 千九百三十六尺】以高乘之 【得一萬七千零三十六尺八寸】再七乘一百三十二除得九百零三尺四寸六分有奇即所求 解曰此圓錐之半也半錐居全錐二之一半周上方體【與圓錐等高下同】居全周上方體四之一故其比例為七與一百三十二也 三十五則 倚外角委粟求積 設倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求積法曰 置周自乘【得四千三百五十六 尺】以高乘之【得三萬八千三 百三十二尺八寸】再七乘一 百九十八除得一千 三百五十五尺二寸即所求 解曰此圓錐四之三也與全周上方體【與圓錐等高下同】之