卷二

數者也兩直形并再以矢乘之必半矢?較以截積三十二為倍數者也何也弧矢之積元以矢乘半?半矢而得故也甲乙大方形減去丁己乙戊與庚丙戊辛兩直形餘甲丙小方形為甲丁半矢之幂法所謂負隅也負隅既為半矢之幂必為全矢幂四分之一故法以二分五厘為負隅也法用矢自乘以乘餘徑與用矢乘餘徑再以矢乘之得數同也○按元注雲所得之矢過于所商之矢為約矢太短不及所商之矢為約矢太長宜更商之商約之法既無一定惟以意斟酌之若整齊之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商不能得者古人于此條實無善法姑以此考驗所商之合否耳若止欲考驗所商之合否又何如以所商之矢求半?【本卷二十則】再加半矢以矢乘之【本卷二十七則】合積為準過積為約矢太長不及積為約矢太短不較捷乎 三十三則 弧矢截雜線三角形 設半圓弧矢田?二十步自心截雜線三角形背長一十步零四分七厘六毫一絲六忽求截積法曰置 截背以?折半【得十步】乘之【得一百零四步七分 六厘一毫六絲】折半得五十二步三分八厘 零八絲即所求 解曰雜線三角形為圓之分形故求 積之法同圓【本卷三則】 三十四則 方内減圓以餘積求圓積 設方田減去内切圓田四隅餘積一百六十八步求圓積法曰置積為實以圓法十一乘之【得一千八百四十八步】 以圓法十一與方法十四相減餘三 為法除之得六百一十六步即所求 解曰圓既為方十四分之十一則方 内減圓之餘積必為方十四分之三 圓十一分之三矣故十一乘三歸得圓積也 三十五則 方内減圓以餘積求方積【求方邊圓徑附】 設方田減去内切圓田四隅餘積一百六十八步求方積法曰置積為實以十四乘之【得二千三百五十二步】以圓法十一與方法十四相減餘三為法歸之得七百八十四步即所求 解同前○置方積平方開之即方邊亦即圓徑三十六則 圓内減方以餘積求方積【求方邊圓徑附】 設圓田減去内切方田餘積二百二 十四步求方積法曰置積為實以七 乘之【得一千五百六十八步】以七與圓法十一 相減餘四為法歸之得三百九十二 步即所求 解曰内切方形之?與外切方形之邊等則内切方形必倍小于外切方形而若七之與十四夫圓既為外方十四分之十一而内方不為圓十一分之七乎圓内減方之餘積為圓十一分之四即為内方七分之四故七乘四除得内切方積也○置方積平方開之即得方邊倍方積平方開之即得圓徑 三十七則 圓内減方以餘積求圓積 設圓田減去内切方田餘積二百二十四步求圓積法曰置積為實以圓法十一乘之【得二千四百六十四步】以圓法十一與七相減餘四為法歸之得六百一十六步即所求 解同前 三十八則 方内減不相切之圓以餘積求方邊及圓徑 設方田内減圓田方邊至圓周五步餘積一千七百二十五步求方邊及圓徑法曰置五步自乘【得二十五步】以三因之【得七十五步】與餘積并【共一千八百步】另置五步以六因之【得三十步】為縱方以平方帶縱開之【得九十步　一卷十三則】減 去縱方餘六十步即方邊再 減兩邊各五步【共十步】餘五十 步即圓徑 解曰依圖分之成甲乙等方 形四子醜等直形八幹坎等 雜線三角形四其甲乙等四形即方邊至圓周五步自乘之方形也子醜等八形亦各以五步為濶其長 則圓之半徑也幹坎等四形 為方減内切圓形之餘積以 方四圓三推之【舊法謂方内容圓圓居方 四分之三】四形并必當方四分之 一幹坎艮三形并必足以補 癸形之阙而與一小方二直 形一雜形并共湊成一坤震 方形矣次移甲于丁移乙于 戊移丙于己移子于午移醜于未移寅于申移夘于酉移辰于戌移巳于亥尚阙庚辛壬三形故法取方邊至圓周之五步自乘以三因之加入積内也自壬至丁凡六形每形濶五步共計三十步故法取方邊至圓周之五步以六因之為縱方也帶縱開方法置積四因之縱方自乘兩數并平方開之得長濶相和之度【即兌巽與巽震并】減去縱方【即兌坤】餘兩濶【即坤巽與巽震并】即方邊方邊之大于圓徑者為兩邊之各五步故減之得圓徑【本則及下則皆用周三徑一法】 三十九則 圓内減不相切之方以餘積求圓徑及方? 設圓田内減方田圓周至方角一步餘積四十三步 求圓徑及方?法曰置一步 自乘【仍得一步】以二因之【得二步】與 餘積并【并四十五步】另置一步以 四因之【得四步】為縱方以平方 帶縱開之【得一十四步】減去縱方 即圓徑再減圓周至方角各一步【共二步】餘八步即方? 解曰依内方角作一圓線此圓線偕外圓周必成一圓環形次依環濶改作方環圓環當方環四分之三 故止作方環之三隅即與圓 環等依圖分之成甲乙丙三 方形丁戊己庚辛壬六直形 尚餘癸子醜寅四弧矢形為 圓減内切方形之餘積以圓 三方二推之【舊法謂圓内容方方居圓三分 之二】四弧矢形并當圓三分之 一必當内方二分之一而夘癸辰方形亦當内方二分之一則四弧矢形必能補夘癸辰方形之阙而與辛壬丙三形并共辏成一震坎方形矣次移甲于巳移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于幹尚阙未申二形故法取圓周至方角一步自乘二因之補入積内也自巳至申凡四形每形濶一步共四步故取圓周至方角之一步四因之為縱方也以平方帶縱開之得巽艮艮坎長濶相和之度減去縱方巽震餘震艮艮坎兩濶即圓徑圓徑之大于方?者為兩邊之各一步故減之得方? 四十則 諸雜線形求積 第一圖可作一弧矢形而減一弧矢形第二圖可作半弧矢形而減半弧矢形第三圖可作兩弧矢形第四圖移甲丙實形補乙丁虛形成戊三角形又移己實形補庚虛形成辛三角形壬癸子各成三角形醜自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第五圖甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移 戊實形補 己虛形庚 亦成三角 形癸借壬 虛形亦成 三角形【得積 減去壬圓形】此 一大形内 成弧矢形二三角形五而減一圓形凡屬雜線形者【裁之數學鑰卷二】 皆依五形例