卷一

欽定四庫全書 數學鑰卷一 柘城杜知耕撰 方田上【直線類】 一則 實積求畝 設田積二萬九千五百二十步求畝法曰置積為實以畝法二四除之得一百二十三畝即所求 解曰五尺為步二百四十步為畝如自甲至乙濶一 步【即五尺】餘三邊各與甲乙等則甲丙 方形為積一步二百四十倍之則為 一畝故畝法用二四也本卷及二卷 皆言求積之法得積以此法求之即 得畝數 二則 直形求積 設直田長十步濶八步求積法曰置長為實以濶乘之得八十步即所求 解曰直田長濶不等求積之法任取 一邊為此一邊之倍數【或以濶乘長或以長乘濶】如甲戊形之戊乙己甲各二步則二 倍甲乙邊八步之數而甲戊形得積 一十六步今丙乙丁甲各十步是十倍甲乙邊八步之數故得積八十步也 三則 方形求積 設方田方八步求積法曰置八步自乘得六十四步 即所求 解曰方田四邊皆等以此邊為此邊 之倍數與以他邊為此邊之倍數同 故法用自乘也 四則 勾股求積 設勾股田股長十二步勾濶八步求積法曰置股為實以勾乘之【得九十六步】折半得四十八步即所求解曰勾股形當等高等濶直形之半如甲乙丙勾股 形另作丁己直形 與之等高【謂丁庚與甲丙 等】等濶【謂丁戊與甲乙等】以庚戊線分之則 成丁戊庚庚己戊兩勾股形皆與甲乙丙勾股形等夫丁己一直形當甲乙丙勾股形二而甲乙丙勾股形不當丁己直形之半乎法以勾乘股所得者丁己直形積也故半之得勾股積又法置股為實以半勾【四步】乘之所得同前【半股為實以勾乘之亦得】 解曰丁己直形再以壬辛線中分之成丁壬辛己兩分形法以半勾乘股所得即分形積也勾股既為丁己直形之半而分形亦為丁己直形之半故分形積即勾股積也 五則 三角形求積 設三角田中長一十二步底濶八步求積法同勾股田 解曰甲乙丙三角形依底線作甲丁直形從角以丙 己線分之則三角 形内成甲己丙乙 己丙兩勾股形直 形内成甲丙己丁 兩分形從前解推 之甲己丙勾股形 當甲丙分形之半 乙己丙勾股形當 己丁直形之半兩勾股形既當兩分形之半而三角全形不為甲丁全形之半乎故求積之法與勾股同也　或兩邊等【如第一圖】或三邊等【如第二圖】或三邊俱不等【如第三圖】法皆同 六則 斜方形求積 設斜方田長一十 五步上濶六步下 濶十步求積法曰 置長為實以兩濶 相并【共一十六步】折半【得八步】為法乘之得一百二十步即所求 解曰甲乙丁庚斜方形減去辛丁直形所餘必甲庚辛勾股形勾股形既為等高等濶直形之半【本卷四則】則己庚直形必與甲庚辛勾股形等又己庚直形與辛丁直形并亦必與甲庚辛勾股形與辛丁直形并等法并兩濶折半者乙己之度也以乙己乘丁乙所得乃己丁直形也而己丁直形即己庚辛丁兩形并也安得不與甲乙丁庚斜方形等乎 七則 梯形求積 設梯田長一十五步上濶六步下濶十步求積法同斜方田 解曰甲乙丙丁梯形減去戊丁直形餘甲丙戊乙丁 己兩勾股形必與 辛丙己庚兩分形 等今戊丁直形與 兩分形并則與全 梯形等矣故并兩濶折半乘長得積也 八則 象目形求積 設象目田濶八步正長一十二步求積法曰置正長 為實以濶乘之得 九十六步即所求 解曰幾何原本雲 甲乙丙丁象目形 甲戊為正長自乙 作乙己線與甲戊平行次于丁丙線引長之至戊成甲乙己戊甲乙丁丙兩形在平行線内【等高即在平行線内】而同底【等濶即同底】則兩形必相等何也甲戊乙己兩線既平行則戊己必與甲乙等而丙丁元等于甲乙則丙丁與戊己必亦等丙丁既與甲乙等則甲丙乙丁兩線必平行而亦相等因顯甲丙戊乙丁己兩三角形亦等于兩形内每減一己丙庚三角形所餘甲庚己戊庚乙丙丁兩無法四邊形亦等次于兩無法形每加一甲庚乙三角形則成甲乙丙丁甲乙戊己兩形安得不等法以濶乘正長得甲己直形之積即甲乙丙丁象目形之積 又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自丙量至戊得六步兩數相乘亦得九十六步與前同 解曰象目田以甲丁線分之則成相 等之兩三角形甲丁即底丙戊即中 長也故以底乘長得全積也【三角法以底乘 長折半得積今不折故得兩形之共積】 九則 諸直線形求積 第一圖 可作三 三角形 第二圖 可作一 斜方形 一三角 形第三圖可作一三角形而減一小三角形第四圖可作一方形而減一勾股形第五圖可作一直形一勾股形第六圖可作兩三角形其餘千形萬狀凡屬直線邊者皆依方直三角勾股裁之 十則 積求方邊【即開平方】 設方田積三萬六千一百步求方邊法曰置積于中為實初商一百步于實左亦置一百步于實右為方法左右對呼除實一萬步【餘二萬六千一百步】倍方法【得二百步】為 亷法次商九十步于左初商 之次【共一百九十步】亦置九十步于 右亷法之次為隅法【共二百九十步】以左次商與亷法對呼除實 一萬八千步【餘八千一百步】又以左 次商與隅法對呼除實八千 一百步恰盡于左得一百九十步即所求方邊之數解曰初商與方法對呼所除者己辛方形也【即大方積】次商與亷法對呼所除者甲壬壬丁兩直形也【即兩亷】必倍方法為亷法者以亷有二也次商與隅法對呼所除者庚戊方形也【即隅方】四形恰盡實積則初次兩商 之數為方田邊無疑矣 又設方田積七萬一千八百 二十四步求方邊法曰置積 于中為實初商二百步于左 亦置二百步于右為方法左 右對呼除實四萬步【餘三萬一千八 百二十四步】倍方法【得四百