劉徽割圓術
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術曰：半周半徑相乘得積步。
按：半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步也。
假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，與圓徑之半，其數均等。
合徑率一而外周率三也。
又按：為圖，以六觚之一面乘一弧半徑，三之，得十二觚之幂。
若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半徑，六之，則得二十四觚之幂。
割之彌細，所失彌少。
割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。
觚面之外，又有馀徑。
以面乘馀徑，則幂出觚表。
若夫觚之細者，與圓合體，則表無馀徑。
表無馀徑，則幂不外出矣。
以一面乘半徑，觚而裁之，每辄自倍。
故以半周乘半徑而為圓幂。
此一周、徑，謂至然之數，非周三徑一之率也。
周三者，從其六觚之環耳。
以推圓規多少之覺，乃弓之與弦也。
然世傳此法，莫肯精核；學者踵古，習其謬失。
不有明據，辯之斯難。
凡物類形象，不圓則方。
方圓之率，誠著于近，則雖遠可知也。
由此言之，其用博矣。
謹按圖驗，更造密率。
恐空設法，數昧而難譬，故置諸檢括，謹詳其記注焉。
割六觚以為十二觚術曰：置圓徑二尺，半之為一尺，即圓裡觚之面也。
令半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之求股。
以句幂二十五寸減弦幂，馀七十五寸，開方除之，下至秒、忽。
又一退法，求其微數。
微數無名知以為分子，以十為分母，約作五分忽之二。
故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二。
以減半徑，馀一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小句。
觚之半面又謂之小股。
為之求弦。
其幂二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽，馀分棄之。
開方除之，即十二觚之一面也。
割十二觚以為二十四觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。
置上小弦幂，四而一，得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽，馀分棄之，即句幂也。
以減弦幂，其馀開方除之，得股九寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四。
以減半徑，馀三分四釐七秒四忽五分忽之一，謂之小句。
觚之半面又謂之小股。
為之求小弦。
其幂六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽，馀分棄之。
開方除之，即二十四觚之一面也。
割二十四觚以為四十八觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。
置上小弦幕，四而一，得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽，馀分棄之，即句幂也。
以減弦幂，其馀，開方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四。
以減半徑，馀八釐五毫五秒五忽五分忽之一，謂之小句。
觚之半面又謂之小股。
為之求小弦。
其幂一百七十一億一千二十七萬八千八百一十三忽，馀分棄之。
開方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，馀分棄之，即四十八觚之一面。
以半徑一尺乘之，又以二十四乘之，得
按：半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步也。
假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，與圓徑之半，其數均等。
合徑率一而外周率三也。
又按：為圖，以六觚之一面乘一弧半徑，三之，得十二觚之幂。
若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半徑，六之，則得二十四觚之幂。
割之彌細，所失彌少。
割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。
觚面之外，又有馀徑。
以面乘馀徑，則幂出觚表。
若夫觚之細者，與圓合體，則表無馀徑。
表無馀徑，則幂不外出矣。
以一面乘半徑，觚而裁之，每辄自倍。
故以半周乘半徑而為圓幂。
此一周、徑，謂至然之數，非周三徑一之率也。
周三者，從其六觚之環耳。
以推圓規多少之覺，乃弓之與弦也。
然世傳此法，莫肯精核；學者踵古，習其謬失。
不有明據，辯之斯難。
凡物類形象，不圓則方。
方圓之率，誠著于近，則雖遠可知也。
由此言之，其用博矣。
謹按圖驗，更造密率。
恐空設法，數昧而難譬，故置諸檢括，謹詳其記注焉。
割六觚以為十二觚術曰：置圓徑二尺，半之為一尺，即圓裡觚之面也。
令半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之求股。
以句幂二十五寸減弦幂，馀七十五寸，開方除之，下至秒、忽。
又一退法，求其微數。
微數無名知以為分子，以十為分母，約作五分忽之二。
故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二。
以減半徑，馀一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小句。
觚之半面又謂之小股。
為之求弦。
其幂二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽，馀分棄之。
開方除之，即十二觚之一面也。
割十二觚以為二十四觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。
置上小弦幂，四而一，得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽，馀分棄之，即句幂也。
以減弦幂，其馀開方除之，得股九寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四。
以減半徑，馀三分四釐七秒四忽五分忽之一，謂之小句。
觚之半面又謂之小股。
為之求小弦。
其幂六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽，馀分棄之。
開方除之，即二十四觚之一面也。
割二十四觚以為四十八觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。
置上小弦幕，四而一，得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽，馀分棄之，即句幂也。
以減弦幂，其馀，開方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四。
以減半徑，馀八釐五毫五秒五忽五分忽之一，謂之小句。
觚之半面又謂之小股。
為之求小弦。
其幂一百七十一億一千二十七萬八千八百一十三忽，馀分棄之。
開方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，馀分棄之，即四十八觚之一面。
以半徑一尺乘之，又以二十四乘之，得