九章録要卷六
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并旁帶縱得一百二十一為亷法以亷法除積四百八十四得四為次商而以隅四自乗得一十六減積盡得東長六十四〈各加減較得南廣五十四北廣六十八西長七十二〉
又如偏斜田積一萬一千四百步東長盈於南廣一百三十步盈於北廣一百一十步朒於西長二十步求長廣者以東與南北兩較相并半之得一百二十為負縱以東西較半之得一十為旁帶縱初商一百〈此因負縱多而初商少兼用益積法〉先以負縱乗旁帶縱得一千二百益積〈凡帶縱皆用之減積也此旁帶縱何以益積葢以方法相乗則減積耳方法之中有商有帶縱方也商也帶縱也皆正也兩正相乗宜減積一正一負相乗宜益積也〉次以商乗旁帶縱得一千減積又以負縱乗商得一萬二千益積乃以商自乗得一萬減積再開倍前商得二百減負縱得八十并旁帶縱得九十為亷法以亷法除積七千二百得八十為次商而以隅八十自乗得六千四百減積盡得東長一百八十〈南廣五十北廣七十西長二百〉
又如偏斜田積八千一百步東長盈於南廣一百二十五步盈於北廣一百一十五步盈於西長一十六步求長廣者以東與南北兩較相并半之得一百二十為負縱以東西較半之得八為旁負縱初商一百先以負縱乗旁負縱得九百六十減積〈凡負縱皆用之益積此旁負縱何以減積葢一正一負相乗宜益積則兩負相乗又宜減積也兩負如無負也〉次以商乗旁負縱得八百益積又以負縱乗商得一萬二千益積乃以商自乗得一萬減積再開倍前商得二百減負縱得八十又減旁負縱得七十二為亷法以亷法除積五千零四十得七十為次商而以隅七十自乗得四千九百減積盡得東長一百七十〈南廣四十五北廣五十五西長一百五十四〉 按右三例第一例以負縱減方亷兼帶縱減積并亷也其第二例第三例亦是負縱兼旁縱而初開以負縱減商商皆不足當以所負商數各二十為負方第二例以負方乗旁帶縱得二百益積又以負方乗商得二千益積第三例以負方乗旁負縱得一百六十減積又以負方乗商得二千益積即初開各畢矣前著例頗詳者欲使其中條理顯然而?徑自出也
三廣田以積與三廣和兩廣較及長廣較求長廣 法以四乗積為實以和為帶縱一為隅算〈凡三廣必倍中廣并邊兩廣而四除之以為廣今四乗積則可以當四除矣乃以三廣和為帶縱而猶少一中廣即以一隅算并縱隅算固所求之中廣也〉以中廣與長之較為旁帶縱〈如中廣反盈於長則為負也〉用隅算雙帶縱并方亷兼減積開之得中廣〈以加長廣較得長以減三廣和得南北二廣和欲知南北各廣數以兩廣較推之其較非必南北之較而皆可以次第推也 按此以長廣較為旁縱者和不得為旁縱也凡和為帶縱必加隅算及負隅而隅算負隅勢不得在旁也此隅算隻一猶與無隅算同縱與旁縱可以互換非負隅之比負隅雖隻一其縱亦不可移耳〉
方長帶偏斜田以積與三邊和及長較廣較求長廣法以二乗積為實以和為帶縱一為負隅〈以三邊和為帶縱非有二長即有二廣故以二乗積而有二長者一為負隅以求廣因以減縱中之廣有二廣者一為負隅以求長因以減縱中之長〉以長較或廣較半之為旁縱〈求長則取長較求廣則取廣較〉其為帶縱負縱以所求一邊之盈朒分之乃用帶縱負隅減縱兼旁縱開之得一邊長廣 假如偏斜田積四千一百四十八步東南北三邊和一百八十六步東長朒於西八步南廣朒於北一十四步求各長廣者以二乗積得八千二百九十六為實以一為負隅以和一百八十六為帶縱以東西較半之得四為旁帶縱初商六十以乗負隅仍得六十為方法以方法減縱餘一百二十六先以餘縱乗旁帶縱得五百零四減實乃以餘縱乗商得七千五百六十減實再開倍前商得一百二十以乗負隅仍得一百二十為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法以亷法減縱餘六十六又以隅法減縱餘六十二乃先以隅法乗旁帶縱得一十六益實〈在負隅法中方亷隅皆負也旁帶縱以正而與負乗故宜益實也〉而以餘縱減實二百四十八合次商得東長六十四〈以減和更以廣較推之得南廣五十四北廣六十八以長較見西長七十二〉或再開以旁帶縱乗負隅仍得四〈凡縱不與隅算及負隅二者相乗而旁縱自再開以後欲與亷縱相并減則必與二者相乗也前以隅法乗之而益積隅法固已先乗負隅矣〉以減縱餘五十八〈帶縱而乗負隅故以減縱〉而以除實二百三十二合次商亦便
又如偏斜田積三千二百五十步東南北三邊和一百七十四步東長朒於西一十二步南廣朒於北六步此須用帶縱負隅減縱翻法〈倍積為實則除實宜有餘實一長二廣為縱則減縱宜有餘縱而或須用翻法者必其田狹長之甚也〉而兼旁縱開之以二乗積得六千五百為實以一為負隅以和一百七十四為帶縱以東西較半之得六為旁帶縱初商一百〈若商八十或九十則負積愈多而八十且有餘縱無以置之九十雖有負縱其數甚少不能除盡負積故定商一百〉以乗負隅仍得一百為方法以方法減縱餘七十四先以餘縱乗旁帶縱得四百四十四減實乃以餘縱乗商得七千四百減實實負一千三百四十四再開倍前商得二百以乗負隅仍得二百為亷法以亷法減縱縱負二十六約計次商當得二十以乗負隅仍得二十為隅法先以隅法乗旁帶縱得一百二十減負實乃以負縱除負實五百二十合次商又以隅法乗商得四百減負實三開倍前商得二百四十以乗負隅仍得二百四十為亷法以亷法減縱縱負六十六約計三商當得四以乗負隅仍得四為隅法先以隅法乗旁帶縱得二十四減負實乃以負縱除負實二百六十四合三商又以隅法乗商得一十六減負實盡得東長一百二十四〈南廣二十二北廣二十八西長一百三十六〉或再開以旁帶縱乗負隅仍得六以并負縱得三十二以除負實六百四十得二十為次商而以隅法減負實四百三開以旁帶縱乗負隅仍得六以并負縱得七十二以除負實二百八十八得四為三商而以隅法減負實盡尤便 按算術固不能盡言即如偏斜田設舉積及東南和東北和東西較則并兩和為帶縱以二為負隅而依前半較為旁縱倍積為實開之得東長或舉積及東南和東北和東西和則以四乗積為實以東西和除之得南北和而并東南和東北和以南北和減之半其餘得東長如三廣田舉積與三廣之兩較及長廣和則以和為帶縱一為負隅并兩較而四除之為旁縱以開積得中廣神而明之法隨問變豈可限也茲因偏斜田而引伸其説凡諸條例莫不皆然請以俟通人之自悟焉
長方以重長重廣共步及積求長廣 法以共步為帶縱而求長則以長數〈重幾長則為幾數也下廣數同〉為負隅以廣數乗積為實求廣則以廣數為負隅以長數乗積為實用帶縱負隅減縱及翻法開之〈不論求長求廣但負隅數少乗積數多者積與縱常有餘往往用帶縱負隅減縱法負隅數多乗積數少者積與縱常不足往往用翻法惟田形狹長之甚者則不然臨算當自知之不可預定耳〉 假如長方積八百六十四步二長五廣共一百九十二步為帶縱以五乗積得四千三百二十為實〈五乗積則得長乗廣之數五而可以五廣為帶縱也〉以二為負隅〈實中無長自乗之數而帶縱有二長故以二為負隅不益實即減縱也〉用帶縱負隅減縱開之得長三十六或以二乗積得一千七百二十八為實以五為負隅用翻法開之得廣二十四 更有重長重廣重和重較共步及積求長廣者如積八百六十四步一和二較三長四廣共二百八十八步法先約一和得一長一廣并三長四廣得四長五廣又以二較益廣為長共得六長三廣乃如前求之若重較數多既益廣盡為長而尚有餘較者此則不可求長但可求廣〈原積無長乗較之數故不可求長原積有廣自乗及廣乗較之數各一故可求廣〉且如積八百六十四步一和六較三長四廣共三百三十六步約一和三長四廣得四長五廣又以六較之五益廣為長共得九長而餘一較則以九長減較為廣乃得九廣十較而以十乗積得八千六百四十為實以一為隅算〈十乗積則得廣自乗及廣乗較之數各十而帶縱少一廣故以一為隅算并縱也〉以共步為帶縱用隅算帶縱并方亷開之得廣二十四
長方以長廣母子分數之共步及積求長廣 法以長母乗廣子為廣率為廣數以廣母乗長子為長率為長數以兩母相乗為總率以乗共步為帶縱乃如前重長重廣例求之 假如長方積八百四十步五分長之二四分廣之一共二十步求長廣者以五乗一得五為廣率為五廣以四乗二得八為長率為八長以五與四乗得二十為總率以乗共步得四百為帶縱而此帶縱之數凡有八長五廣也乃以八乗積得六千七百二十為實以五為負隅用帶縱負隅減縱開之得廣二十四或以五乗積得四千二百為實以八為負隅用翻法開之得長三十五
長方匿原積以長乗重長重廣積步及較或以廣乗重長重廣積步及較求長廣 法以乗積為實并長廣數為隅算而長乗求長則以廣數乗較為負縱用隅算負縱減方亷開之廣乗求廣則以長數乗較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之若廣乗求長則以廣數乗較為負縱又以較為旁負縱用隅算雙負縱減方亷兼益積開之長乗求廣則以長數乗較為帶縱又以較為旁帶縱用隅算雙帶縱并方亷兼減積開之假如長方匿其原積而以廣乗六長三廣得六千
九百一十二步其長廣較一十二步求長者以乗積六千九百一十二為實以九為隅算以三乗較得三十六為負縱又以較一十二為旁負縱初商三十以乗隅算得二百七十減負縱得二百三十四為方法先以方法乗旁負縱得二千八百零八益實乃以方法乗商得七千零二十減實再開倍前商得六十以乗隅算得五百四十減負縱得五百零四為亷法約計次商當得六以乗隅算得五十四為隅法先以隅法乗旁負縱得六百四十八益實乃以亷法除實三千零二十四合次商又以隅法乗商得三百二十四減實盡得長三十六或再開以旁負縱乗隅算得一百零八以減亷法得三百九十六以除實二千三百七十六得六為次商而以隅法減實盡尤捷 右法更有以長乗重長重廣重和重較或以廣乗之而以其積步及較求長廣者並先約和較為長廣不待言矣若以較益廣盡為長而尚有餘較如前九長一較之比者别自有法且如九長一較法以九為隅算而長乗求長則以一乗較為帶縱廣乗求廣則以十乗較為帶縱〈九廣十較也〉廣乗求長則以一乗較為帶縱又以較為旁負縱長乗求廣則以十乗較為帶縱又以較為旁帶縱依例開之
長方匿原積以長乗重長重廣積步及和或以廣乗重長重廣積步及和求長廣 此與前一條相似而不同以長乗者但可求長以廣乗者但可求廣〈隅算及負隅無旁加者勢不能也故長乗不便於求廣廣乗不便於求長矣〉法亦以乗積為實而長乗求長則以廣數乗和為帶縱廣乗求廣則以長數乗和為帶縱又以長廣數相減餘數為隅算不足數為負隅求長取長求廣取廣為之乃用隅算帶縱并方亷或用帶縱負隅減縱及翻法開之如六長三廣長乗求長則以三乗和為帶縱以三為隅算〈六長三廣相減長餘三以為隅算之數葢并三長於帶縱得六長三廣也〉廣乗求廣則以六乗和為帶縱以三為負隅〈六長三廣相減廣不足三以為負隅之數葢減三廣於帶縱亦得六長三廣也〉開之是也 右法長廣所乗若更兼重和重較者先約和較為長廣而約得餘較如前九長一較之比亦别有法且如九長一較長乗求長則以一乗和為負縱以十一為隅算〈減一長一廣於隅算得九長一較也〉廣乗求廣則以十乗和為帶縱以十一為負隅〈減十一廣於帶縱亦得九長一較也〉依例開之
九章録要卷六