九章録要卷六

負積也〉以五十為次商〈長不合止一百四十故不用四〉以再減餘縱得四十而以除積二千合次商積負五十六三開以亷減縱縱負一十以負縱除負積四十得四為三商而以隅四自乗得一十六減負積盡為長一百五十四葢始終用減縱法以得廣始於減縱終於翻法以得長非可執一雲〈右一條及下四條所舉假例皆以一為負隅故例中不言負隅之乗取省文便覽也又自此以下凡積縱商亷諸數百則曰百千則曰千而不復著甲乙之位非前後互異正取參觀以相發明耳〉 一負積當以負縱除而以亷減縱適盡者約負積得次商以乗負隅為隅法以乗商減負積〈既無負縱則獨用隅法減負積也或以負隅除負積以常法平方開之亦可〉如實八百六十四初商三十而負積三十六再開以亷減縱適盡即約負積得次商六為隅法自乗得三十六減負積盡為長三十六又如實九千三百七十五和二百初商一百而負積六百二十五再開以亷減縱適盡即約負積得次商二十為隅法自乗得四百減負積三開以亷減縱縱負四十乃以負縱除負積二百得五為三商而以隅五自乗得二十五減負積盡為長一百二十五〈負積六百二十五常法開平方亦得二十五平方再開亷法之四十猶翻法三開負縱之四十也葢縱亷相減負縱即是餘亷而在負隅法中方亷隅皆負也縱乃正也以相減則負縱固是餘負亷也〉 一以亷減縱有餘縱不可以除負積者約計當得次商若幹以乗負隅為隅法再減餘縱縱負則以負縱除負積合次商〈負縱與隅法皆所用以除負積者也無負縱則獨用隅法有餘縱則以隅法相減〉如實一千六百六十六和八十三初商四十而負積五十四再開以亷減縱餘三即約九為次商以再減餘縱縱負六乃以負縱除負積合次商為長四十九也 一以亷減縱有餘縱不可以除負積再以隅減縱適盡者此為有商無除〈隅與縱相減並盡既無負縱即無餘隅矣無可用以除負積者也〉而其負積則續商以除之如實五萬五千五百七十五和四百八十初商二百而負積四百二十五再開以亷減縱餘八十即以八十為次商〈若以九十為次商則減縱而縱負一十矣然以一十除負積欲合次商之九十當有負積九百乃足除耳今隻四百二十五是負積又負於法不得行也〉以再減餘縱適盡無可除三開以亷減縱縱負八十乃以負縱除負積四百得五為三商而以隅五自乗得二十五減負積盡為長二百八十五一以亷減縱有餘縱再以隅減縱仍有餘縱者以餘縱乗商益負積〈餘縱以減積負縱以減負積然則餘縱當以益負積矣〉而續商以除之如實一萬六千一百二十八和二百六十四初商一百而負積二百七十二再開以亷減縱餘六十四即以六十為次商〈不以七十為次商者猶前例不可以九十為次商也〉以再減餘縱仍餘四則以餘縱乗商得二百四十以益負積得五百一十二三開以亷減縱縱負五十六乃以負縱除負積四百四十八得八為三商而以隅八自乗得六十四減負積盡為長一百六十八 右自帶縱并方亷開平方至此凡有縱方七法六法所以禦平方之變而翻法又所以通縱方之窮也此外更有隅算開平方一法其以商亷相乗與負隅同而負隅則以益積及減帶縱隅算則以除積而并帶縱葢隅有正負猶縱有正負也〈若以一為隅算則與無隅算同商亷固即是隅算之一也〉以此八法為綱領而錯綜變化其用不窮矣隅算法前未有例於後見之雲 平方以斜徑求方　法以斜徑自乗為實以二為隅算開方　假如方田斜徑七十步求方者以斜徑自乗得四千九百為實以二為隅算初商四十以乗隅算得八十為方法以方法乗商得三千二百減實再開倍前商得八十以乗隅算得一百六十為亷法以亷法除實一千四百四十得九為次商又以次商乗隅算得一十八為隅法以隅法乗商得一百六十二減實不盡九十八倍商加隅仍乗隅算以命分為一百九十八之九十八約為九十九之四十九得方四十九零九十九之四十九也　按斜徑自乗之實倍方積故以二為隅算開之〈或不用隅算以斜徑實半之開方亦得〉舊説率方五斜徑七然方五則斜七而強斜七則方五而弱未可為密率不若方斜積率方一斜二無黍絲差也 平方以方求斜徑　法倍方積開方 大小兩方以共積及兩方互乗數求大小方　法倍兩方互乗數減共積開方得兩方較乃以兩方互乗數為實以較為帶縱用帶縱并方亷開之〈言并方亷而或用減積可知不待言也他倣此〉得小方或以較為負縱用負縱減方亷開之得大方 又法倍兩方互乗數并共積開方得兩方和乃以兩方互乗數為實以和為帶縱一為負隅用帶縱負隅減縱開之得小方或用翻法開之得大方〈按此葢以句股法通之大方股也小方句也共積弦實也兩方互乗數句股相乗長方積也故倍互乗數則與共積相并減而開方可得和與較也或和或較但得其一即以互乗數為實用縱方開之自見大小方矣若兼求和與較以見大小方不用縱方之法亦可耳〉 大小兩方以共積及兩方較求大小方　法以較實減共積餘為實以二為隅算倍較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之得小方或倍較為負縱用隅算負縱減方亷開之得大方　假如大小兩方田共積七千五百九十二步兩方較二十八步求大方者以較自乗得七百八十四以減共積得六千八百零八為實以二為隅算倍較得五十六為負縱初商七十以乗隅算得一百四十為方法先以負縱乗商得三千九百二十益實乃以方法乗商得九千八百減實再開倍前商得一百四十以乗隅算得二百八十為亷法約計次商當得四以乗隅算得八為隅法先以負縱乗商得二百二十四益實乃以亷法除實一千一百二十合次商又以隅法乗商得三十二減實盡得大方七十四〈此以隅算負縱益積法為例餘可類推〉 大小兩方以共積及兩方和求大小方　法以和實減共積餘為實以二為負隅倍和為帶縱用帶縱負隅減縱開之得小方或用翻法開之得大方〈按右二條但倍共積以減較實開方得兩方和以減和實開方得兩方較兼和較以見大小方最為便易然欲倣此意而推之三方以上則格而難通矣若以較和實減共積為實倍較和為帶縱負縱則推之三方以上總用此法不過遞增其隅算負隅之數及中方以較較為縱微不同耳合下二條觀之乃知法之妙也〉 大小三方以共積及三方之兩較求各方　法以兩較實減共積餘為實以三為隅算而視其較若係大與小中與小之兩較則倍兩較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之得小方係大與中大與小之兩較則倍兩較為負縱用隅算負縱減方亷開之得大方或係大與中中與小之兩較而大與中之較盈於中與小之較〈可知中方近小方也〉則倍兩較之較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之大與中之較朒於中與小之較〈中方近大方也〉則倍較較為負縱用隅算負縱減方亷開之大與中之較中與小之較等則直用隅算開之得中方 大小三方以共積及三方之兩和求各方　法以兩和實減共積餘為實以三為負隅倍兩和為帶縱用帶縱負隅減縱開之得中方及小方或用翻法開之得大方〈按并兩和實其數自多雖以共積減之猶多也以此為實則除之常有餘實矣并兩和又倍之其數亦復不少以此為縱則減之常有餘縱矣故舉大與中與小之兩和往往隻用負隅減縱法即得大方不須翻法也惟大方與中小二方盈朒迥殊者乃間用翻法耳〉 右四條以較求方以和求方其法兩兩相對由二方以推之三方更推之多方皆可以一理貫也但較有帶縱負縱之分和則惟有帶縱而已又中方以較較為縱與大小方固殊而以和和為縱則與大小方不異故以較求者其緒繁以和求者其術簡也且如甲乙丙丁戊五方舉甲與戊乙與戊丙與戊丁與戊之四較即先求戊方以四較實減共積餘為實以五為隅算倍四較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之求甲方者用負縱〈若四較皆以甲方為主即先求甲方也　甲大戊小〉並如右法至於求乙丙丁三方者當倍較較為縱而欲得較較固自有説假使求乙方即并乙與丙與丁與戊之三較而以甲與乙之較減之餘則較較也葢以大於乙之較與小於乙之較相減既得較較且可知乙方為近大方為近小方而較較為帶縱為負縱矣〈乙下於甲一等似近大方而較較當為負縱然使并乙與丙丁戊之三較不及甲與乙一較之數即乙近小方而當為帶縱也并三較與一較之數等者但用隅算開之〉丙丁倣此其以和求者隻如 右法雲 三廣田以積與三廣之兩較及長廣較求長廣　法以中廣與長之較為帶縱〈必以中廣為主此算三廣之定法　既稱長廣則中廣必朒於長故直稱帶縱而下文立法皆就帶縱言之也然亦或有中廣反盈於長者自當為負縱耳〉以中廣與南北廣之兩較并而四除之為旁縱〈長既有縱廣不當又稱縱而廣之有較亦縱也故謂之旁縱〉而中廣朒則為旁帶縱中廣盈則為旁負縱又有不同旁帶縱者用雙帶縱并方亷兼減積開之〈帶縱法以并方亷為便而兩縱分屬長廣兩邊則初開未可皆并入方故兼用減積法至再開或減積或并亷者亷固統長廣兩邊不妨并兩縱也〉旁負縱者用帶縱并方亷兼負縱益積減亷開之〈帶縱既用并方亷法而兩縱分屬長亷兩邊則初方不可一并一減故負縱必用益積法至再開或益積或減亷者亷統長廣兩邊不妨且并且減也〉得中廣　假如三廣田積二千四百六十五步中廣朒於南廣八步朒於北廣三十六步朒於長六十七步求三廣及長者以長廣較六十七為帶縱以兩廣較并而四除之得一十一為旁帶縱初商一十并帶縱得七十七為方法先以方法乗旁帶縱得八百四十七減積乃以方法乗商得七百七十減積再開倍前商得二十并帶縱得八十七為亷法約計次商當得八為隅法先以隅法乗旁帶縱得八十八減積乃以亷法除積六百九十六合次商又以隅八自乗得六十四減積盡得中廣一十八〈各加較得南廣二十六北廣五十四長八十五〉或再開以旁帶縱并入亷法得九十八以除積七百八十四得八為次商而以隅法減積盡尤簡捷 又如三廣田積二千四百六十五步中廣盈於南廣一十五步盈於北廣九步朒於長五十步求長廣者以長廣較五十為帶縱以兩廣較并而四除之得六為旁負縱初商三十并帶縱得八十為方法先以方法乗旁負縱得四百八十益積乃以方法乗商得二千四百減積再開倍前商得六十并帶縱得一百一十為亷法約計次商當得五為隅法先以隅法乗旁負縱得三十益積乃以亷法除積五百五十合次商又以隅五自乗得二十五減積盡得中廣三十五〈各加減較得南廣二十北廣二十六長八十五〉或再開以旁負縱減亷法得一百零四以除積五百二十得五為次商而以隅法減積盡尤便〈按右條之法亦可以縱為旁縱以旁縱為縱也雖縱有帶負之分而帶縱兼旁負縱者易為負縱兼旁帶縱於算亦通然長廣之較自當為縱廣與廣之較自當為旁縱理固如此耳且如下文各條例中其法更加隅算及負隅者縱與旁縱斷不可移易也〉 方長帶偏斜田以積及四邊之三較求長廣　法以一邊為主若主東一邊即以東長與南北廣之兩較俱盈俱朒者并而半之一盈一朒者相減而以所餘盈朒之數半之為縱以東西之較半之為旁縱其為帶縱負縱並以東一邊之盈朒分之先求東長如前三廣田法　假如偏斜田積四千一百四十八步東長盈於南廣十步朒於北廣四步朒於西長八步求各長廣者以東與南北兩較相減得盈六半之得三為負縱以東西較半之得四為旁帶縱初商六十減負縱得五十七為方法先以方法乗旁帶縱得二百二十八減積乃以方法乗商得三千四百二十減積再開倍前商得一百二十減負縱得一百一十七